中考数学压轴题破解策略专题训练

1、专题专题 2929函数与圆函数与圆 破解策略破解策略 直线与圆位置关系的解题策略： （1）利用圆的切线性质“圆心到直线的距离等于半径”解决问题； （2）联立直线方程和圆的方程构成方程组，通过该方程组的解来解决问题； （3）利用勾股定理或勾股定理逆定理，建立未知量的方程解决问题； （4）构造相似三角形，列比例式解决问题 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图，直线l：y 4 3 x4 与x轴、y轴分别交于点A，B，O的半径为 1，C是y 轴正半轴上的一个点，如果C与D相切，又与直线l相切，求圆心C的坐标 解 如图 1，过点C作CDAB于点 D易证CDBAOB所。

2、专题专题 2626相似三角形的存在性相似三角形的存在性 破解策略破解策略 探究两个三角形相似时， 一般情况下首先寻找一组对应角相等， 然后根据对应边成比例 分两种情况列方程掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题， 相似三角形的基本模型有： 1“A”字形 已知：在ABC中点D在AB上，点E在AC上DEBC 结论：ABCADE D E C B A 2反“A”字形 （1）已知：在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AEDABC 结论：ABCAED A B C D E （2）已知：在ABC中，点D在AB上，ACDABC 结论：ABCA（：D A BC D 3“8”字形 已知：在ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA。

3、专题专题 2424特殊平行四边形的存在性特殊平行四边形的存在性 破解策略破解策略 在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形 因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在 性”来解决这类问题 例题讲解例题讲解 例例 1 1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 22ax3a（a0）与 x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧）经过点A的直线l：yaxa与抛物线的另一交点为C，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否 成为矩形?若能，求出点P的坐标。

4、专题专题 2121等腰三角形的存在性等腰三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图 1 所示： 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径 的圆上（不与线段AB共线） AB 图 1 A BC D 图 2 解等腰三角形的存在性问题时， 若没有明确指出等腰三角形的底或腰， 就需要进行分类 讨论通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算 如图 2，若ABAC，过点A作ADBC，垂足为D，则BDCD，BADCAD，从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题 （2）代。

5、专题专题 1818弦图模型弦图模型 破解策略破解策略 1内弦图 如图， 在正方形ABCD中，BFCG，CGDH，DHAE，AEBF， 则ABEBCFCDGDAH 证明 因为ABCBFC90 所以ABEFBCFBCFCB90 所以ABEFCB 又因为ABBC所以ABEBCF， 同理可得ABEBCFCDGDAH H G F E D C B A 2外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则QBMMCNNDPPAQ 证明 因为BQMNC90， 所以BQMQMBQMBNMC90， 所以BQMNMC 又因为QM MN，所以QBMMCN 同理可得QHMMCNNDPPAQ N M Q P D C B A 3括展 （1）如图，在 RtABH中ABH90，BEAH于点E所以 A BEBHE。

6、专题专题 2828函数与角函数与角 破解策略破解策略 1、特殊角问题 （1）运用三角函数值； （2）遇 45构造等腰直角三角形； （3）遇 30，60构造等边三角形； （4）遇 90构造直角三角形 2、角的数量关系问题 （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三 角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角 例题讲解例题讲解 例例 1 1、如图，抛物线43 2 xxy与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧。

7、专题专题 1717一线三等角模型一线三等角模型 破解策略破解策略 在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的1，2，3 相等，1，2 的一条边在直 线AB上，另一条边在AB同侧，3 两边所在的直线分别交1，2 非公共边所在的直线于 点C，D 1当点当点P在线段在线段AB上，且上，且3 两边在两边在AB同侧时同侧时 （1）如图，若1 为直角，则有ACPBPD 3 2 1 D B P A C （2）如图，若1 为锐角，则有ACPBPD 3 C D BPA 证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13 CDPB， 12，ACPBPD （3）如图，若1 为钝角，则有ACPBPD 2 3 1 D BPA C 2当点当点P在在AB或或BA的延长线上，。

8、专题专题 2525全等三角形的存在性全等三角形的存在性 破解策略破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解 （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等 例。

9、专题专题 1515角含半角模型角含半角模型 破题策略 1 等腰直角三角形角含半角 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D，E在BC上且DAE45 （1） BAEADECDA （2）BD2CE2DE2 45 E A B C D 证明（1）易得ADCBBADEAB， 所以BAEADECDA （2）方法一（旋转法）：如图 1，将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACF，连结EF 45 F E A B C D 则EAFEAD45，AFAD， 所以ADEFAE （ SAS ） 所以DE EF 而CFBD，FCEFCAACE90， 所以BD2 CE2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻折法）：如图 2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF 45 F E A B C D 因为BADEACDAFEAF， 又因为BADDAF， 。

10、专题专题 2323平行四边形的存在性平行四边形的存在性 破解策略破解策略 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知 识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高， 这类题，一般有两个类型： （1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题： 以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有： _x0001_ 作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线， 三条直线的交点为D，E，F则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形 F E D C B A 倍长中线：如图，延长边AC，AB。

11、专题专题 1414共顶点模型共顶点模型 破解策略破解策略 1等边三角形共顶点等边三角形共顶点 等边ABC与等边DCE，B、C、E三点共线 H G F E D C B A 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBDFE60； （4）FC平分BFE； （5）BFAFFC，EFDFFC； （6）CGH为等边三角形 证明证明 （1）由已知条件可得，则BCDACE CACB ACEBCD ECDC （2）由（1）得AEBD； （3）由（1）得GAFGBC，而AGFBGC，所以DFEAFBACB60 （4）方法一方法一 如图 1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N 由（1）知S。

12、专题专题 2121等腰三角形的存在性等腰三角形的存在性 破解策略破解策略 以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图 1 所示： 等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径 的圆上（不与线段AB共线） 解等腰三角形的存在性问题时， 若没有明确指出等腰三角形的底或腰， 就需要进行分类 讨论通常这类问题的解题策略有： （1）几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算 如图 2，若ABAC，过点A作ADBC，垂足为D，则BDCD，BADCAD，从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题 （2）代数法：先罗列三边长，。

13、专题专题 1313“Y Y”形模型”形模型 破解策略破解策略 当图形具有邻边相等的这一特征时， 可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位 置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题 因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换 （1）如图，等边ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转 60得 到BPA，则BPP是等边三角形；APP的形状由AP，BP，CP的长度决定 P A B C P （2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转 90得 到BPA，则BPP是等腰直角三角形；APP的形状由AP。

14、专题专题 1818弦图模型弦图模型 破解策略破解策略 1内弦图 如图， 在正方形ABCD中，BFCG，CGDH，DHAE，AEBF， 则ABEBCFCDGDAH 证明 因为ABCBFC90 所以ABEFBCFBCFCB90 所以ABEFCB 又因为ABBC所以ABEBCF， 同理可得ABEBCFCDGDAH H G F E D C B A 2外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则QBMMCNNDPPAQ 证明 因为BQMNC90， 所以BQMQMBQMBNMC90， 所以BQMNMC 又因为QM MN，所以QBMMCN 同理可得QHMMCNNDPPAQ N M Q P D C B A 3括展 （1）如图，在 RtABH中ABH90，BEAH于点E所以 A BEBH。

15、专题专题 1111轴对称轴对称 破题策略破题策略 成轴对称的两个图形全等； 如果两个图形关于某条直线对称， 那么对成轴是任何一对对应点 所连线段的垂直平分线通常所说的翻折实质上就是轴对称变换图形沿着某条直线翻折， 这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题 例题讲解例题讲解 例 1 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中 DE交直线AP于点F （1）如图 1，若PAB20，求ADF的度数； （2）如图 2，若 45PAB90，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明； 解 （1）如。

16、专题专题 1616对角互补模型对角互补模型 破解策略破解策略 1全等型之全等型之“90” 如图，AOBDCE90，OC平分AOB，则 A O B D C E （1）CDCE； （2）ODOEOC； 2 （3） 2 1 2 OCDOCE SSOC 证明证明 方法一：方法一：如图，过点C分别作CMOA，CNOB，垂足分别为M，N 由角平分线的性质可得CMCN，MCN90 所以MCDNCE， 从而MCDNCE（ASA）， 故CDCE 易证四边形MONC为正方形 所以ODOEODONNE2ONOC 2 所以 22 1 2 OCDOCEMONC SSSONOC 正方形 方法二：方法二：如图，过C作CFOC，交OB于点F 易证DOCEFC45，COCF，DCOECF 所以DCOECF（ASA） 所以CDCE，ODFE。

17、专题专题 9 9费马点费马点 破解策略破解策略 费马点费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 这个最小的距离叫做费马距离 若三角形的内角均小于 120，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在 的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和 最小的点 1.若三角形有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在ABC中，BAC120，求证：点A为ABC的费马点 证明： 如图，在ABC内有一点P延长BA至C，使得ACAC，作CAP CAP，并且使得AP AP，连结PP 则APCAPC，PCPC 因。

18、专题专题 1414共顶点模型共顶点模型 破解策略破解策略 1等边三角形共顶点等边三角形共顶点 等边ABC与等边DCE，B、C、E三点共线 H G F E D C B A 连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则： （1）BCDACE； （2）AEBD； （3）AFBDFE60； （4）FC平分BFE； （5）BFAFFC，EFDFFC； （6）CGH为等边三角形 证明证明 （1）由已知条件可得 CACB ACEBCD ECDC ，则BCDACE （2）由（1）得AEBD； （3）由（1）得GAFGBC，而AGFBGC，所以DFEAFBACB60 （4）方法一方法一 如图 1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N 由（1）知。

19、1 专题专题 8 8“PAPAk kPBPB”型的最值问题”型的最值问题 破解策略破解策略 “PAkPB”型的最值问题，当k1 时通常为轴对称之最短路径问题，而当k0 时，若 以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路 1 当点P在直线上 如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知 sinMBN k 过点A作ACBN于点C，交BM于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC的长 P C B A M N 证明证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QDBN于点 D N M A B C P D Q 由 sinMBNk，可得QD kQB 所以QAkQBQAQDAC，即得证 2 当点P在圆上 如。

20、专题专题 1212旋转旋转 破解策略破解策略 经过旋转，对应线段相等，对应角相等；任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角； 旋转前后的图形全等 l旋转的基本图形有： （1）如图，将AOB旋转至A OB ，则AOABOB （2）如图，将AOB旋转至 AOB ，连结AA， BB，则AOA BOB 2利用旋转性质解题的步骤为： （1）找旋转点，得等边、等角； （2）证全等或相似； （3）利用全等或者相似得到边、角关系 例题讲解例题讲解 例 1 已知：在ABC中，AB6，ACBC5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到 ADE，旋转角为a（0a180），点B的对应点为点D，点C的对应点。

21、专题专题 6 6轴对称之最短路径轴对称之最短路径 破解策略破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题常见的题型有： 1已知：在直线l同恻有 AB两点，在l上找一点P，使得APPB最小 作法：如图作点A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线，的交点就是点P 2已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|APPB|最小 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点P 3已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P使得|APPB|最大 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P A 。

22、专题专题 1010平移平移 破解策略破解策略 经过平移，对应线段平行（或共线）且相等 ； 对应角相等 ； 对应点所连结的线段平行（或 共线）且相等 ； 平移前后的图形全等平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将分散 的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化 通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法， 其中， 通过平移构造辅助线比 较线段大小的常见类型有： （1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可 以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比。

23、专题专题 5 5等分图形面积等分图形面积 破解策略破解策略 等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为： 如图， 12 ll，点 123 AAA， ，在 1 l上，点B，C在 2 l上，则 123 A BCA BCA BC SSS 图形等分面积的常见类型有： （1）已知：ABC 作法：作中线AD 结论：直线AD平分ABC的面积 （2）已知：平行四边形ABCD 作法：过对角线交点O作直线 结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积 （3）已知：梯形ABCD，ADBC 作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下 底均相交 结论：过点O且与上、下。

24、专题专题 9 9费马点费马点 破解策略破解策略 费马点费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距 离 若三角形的内角均小于 120，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在 的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和 最小的点 1.若三角形有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在ABC中，BAC120，求证：点A为ABC的费马点 证明： 如图，在ABC内有一点P延长BA至C，使得ACAC，作CAP CAP，并且使得AP AP，连结PP 则APCAPC，PCPC 因。

25、专题专题 3 3函数图象的公共点函数图象的公共点 破解策略破解策略 根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为： （1）画图 （2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势 例如： 直线y2xb其中待定系数是b则直线y2xb与直线y2x是平行或重合的； 直线ykx1，其中待定系数是k，则直线ykx1 是绕着固定点（0，l）旋转的； 抛物线yax25其中待定系数是a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是 变化的； 抛物线yx2bxc，其中待定系数是b，c则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y x2 上下左右平移得到 （3）找临界点， 例题讲解例题。

26、专题专题 7 7旋转之求线段最值旋转之求线段最值 破解策略破解策略 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图，线段OA， OB为定长，则A， B， O三点共线时，AB取得最值 ： 当点B位于处B1时， AB取得最小值OAOB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OAOB 值 值 值 值 值 值 B1O B2 A B 常见的题型有： 1 如图，RtABC大小固定，其中ABC90，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上 滑动 n m O B A C 取AB中点D， 连接OD， CD 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值ODCD m n D O B A C 2 如图，等边ABC大小固定，点A， B分别在互。

27、中考数学压轴题破解策略中考数学压轴题破解策略专题专题 1 1一元二次方程的特殊根一元二次方程的特殊根 破解策略破解策略 1一元二次方程的有理根一元二次方程的有理根 关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件 为：b24ac是一个有理数的平方 解决一元二次方程ax2bxc0（a0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，求出判别式； 根据已知条件得待定系数的取值范围， 再求出判别式的取值范围， 筛选出其中为有理 数的平方的数。

28、专题专题 6 6轴对称之最短路径轴对称之最短路径 破解策略破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题常见的题型有： 1已知：在直线l同恻有 AB两点，在l上找一点P，使得APPB最小 作法：如图作点A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线，的交点就是点P 2已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|APPB|最小 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点P 3已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P使得|APPB|最大 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P A 。

29、专题专题 4 4图形的分割与拼接图形的分割与拼接 破解策略破解策略 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割图形的分割 ； 反过来，按一定的要求也可 以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接图形的拼接通常，我们会将一个或多个图形 先分割，再拼接成一种指定的图形 常见的图形的分割与拼接有： 1三角形分割成两个等腰三角形三角形分割成两个等腰三角形 （1）已知：RtABC，BAC90 作法：取斜边BC的中点D，连结AD 结论：DAB和DAC是等腰三角形 D A BC （2）已知：ABC，BACB，C2B 作法：在边BC上作一点D，使得点D。

30、专题专题 3 3函数图象的公共点函数图象的公共点 破解策略破解策略 根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为： （1）画图 （2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势 例如： 直线y2xb其中待定系数是b则直线y2xb与直线y2x是平行或重合的； 直线ykx1，其中待定系数是k，则直线ykx1 是绕着固定点（0，l）旋转的； 抛物线yax 25其中待定系数是 a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是 变化的； 抛物线yx 2bxc，其中待定系数是 b，c则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y x 2 上下左右平移得到 （3）找临界点， 例题讲。

31、中考数学压轴题破解策略中考数学压轴题破解策略专题专题 1 1一元二次方程的特殊根一元二次方程的特殊根 破解策略破解策略 1一元二次方程的有理根一元二次方程的有理根 关于x的一元二次方程ax 2bxc0（a0，a，b，c 为有理数）存在有理根的条件 为：b 24ac 是一个有理数的平方 解决一元二次方程ax 2bxc0（a0，a，b，c 为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，求出判别式； 根据已知条件得待定系数的取值范围， 再求出判别式的取值范围， 筛选出其中为有理 数的平。

32、专题专题 2727函数与线段函数与线段 破解策略破解策略 常见的有三类问题： 1距离问题 （1）点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出PAB的面积，则该三角形 AB边上的高线就是点P到直线l的距离 PP BA （2）点到点的距离（线段长度）： 若点 00 ,A x y， 11 ,B x y，则 22 0101 ABxxyy； 若点A在直线ykxb上，点B在抛物线 2 ymxnxc上，设点 00 ,A x kxb， 2 121 ,B x mxnxc，则 2 2 2 01021 ABxxkxbmxnxc， 当点A，B横坐标相同时， 2 021 ABkxbmxnxc 当点A，B纵坐标相同时， 01 ABxx 2线段定值问题 （1）单独的线段定值：线段的定值。