1、 专题专题 2525全等三角形的存在性全等三角形的存在性 破解策略破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有： （1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解 （2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等 例题例题讲解讲解 例例 1 1 如图， 在平面直角坐标系中， 抛物线yax 2bx4
2、 与 x轴的一个交点为A（2， 0），与y轴的交点为C，对称轴是x3，对称轴与x轴交于点 B （1）求抛物线的表达式； （2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点 N问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意可列方程组 4240 3 2 ab b a ， 解得 1 4 3 2 a b ， 所以抛物线的表达式为 2 13 4 42 yxx （2）显然OA2， OB3，
3、 OC4 所以 22 5BCOBOCBA 若P BDPBC，则BD BC5，PDPC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上， 若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合 如图 1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2y2）两点 此时P1BCP1BD，P2BCP2 BD 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（1，2） 所以直线BE的表达式为 13 22 yx 联立方程组 2 13 22 13 4 42 yx yxx ，解得 1 1 426 126 2 x y ， 2 2 426 126 2 x y 所以点P1，P2的坐标分别为（4 一2
4、6， 126 2 ）（426， 126 2 ） 若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0） 如图 2，取CD的中点F作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，y4）两点 此时P3BCP3BD，P4BCP4 BD 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y2x6 联立方程组 2 26 13 4 42 yx yxx ，解得 3 3 141 82 41 x y ， 4 4 141 82 41 x y 所以点P3，P4的坐标分别为 （141， 8241） ， （ 141， 8241）， 综上可得，满足题意的点P的坐标为（4 一26， 126 2 ），
5、（426， 126 2 ）， （141，8241）或（141，8241） （3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m0， 则AM 24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN与ABN全等有两种可能： 当AMAB，MNBN时， 可列方程组 2 22 425 9() m mnn ，解得 1 1 21 5 21 7 m n ； 2 2 21 5 21 7 m n （舍）， 所以此时点M的坐标为（0，21） 当AMNB，MNBA时，可列方程组： 22 2 4 9()25 mn mn 解得 1 1 3 2 5 2 m n ， 2 2 3 2 5 2 m n （舍）
6、 所以此时点M的坐标为（0， 3 2 ） 综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，21）或（0， 3 2 ） 例例 2 2 如图，在平面直角坐标系xoy中，ABO为等腰直角三角形，ABO 90 0，点 A的坐 标为（40），点B在第一象限若点D在线段BO上，OD 2DB，点E，F在OAB的边上， 且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标 图 1 图 2 解： 由题意可得OA4，从而OBAB2 2所以OD 2 3 OB 4 2 3 ，BD 1 3 OB 2 2 3 当点F在OA上时， （）若DFODFE，点E在OA上如图 1 此时DFOA，所以OF 2 2 OD 4 3 ，所以OE2OF 8 3 ，
7、即点E的坐标为（ 8 3 ，0） （）若DFODFE，点F在AB上，如图 2 此时EDOD2BD，所以 sinBED BD ED 1 2 ；所以BED30 0， 从而BE3BD 2 6 3 ，AE 6 22 6 3 过点E作EGOA于点G则EGAG 2 2 AE 2 3 2 3 ， 所以OG 2 3 2 3 ，即点E的坐标为（ 2 3 2 3 ， 2 3 2 3 ） 图 3 图 4 （）若DFOFDE，点E在AB上，如图 3 此时DEOA，所以BDBE 从而AEOD 4 2 3 ， 过点E作EGOA于点G， 则EGAG 2 2 AE 4 3 ， 所以OG 8 3 ，即点E的坐标为（ 8 3 ，
8、 4 3 ） 当点F在AB上时，只能有ODF AFD，如图 4 此时DF0A且点E与点A重合， 即点E的坐标为（4，0） 综上可得，端足条件的点E的坐标为（ 8 3 ，0）， （ 2 3 2 3 ， 2 3 2 3 ），（ 8 3 ， 4 3 ）或（4，0） 进进阶训练阶训练 1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 1 38 2 yxx=-与y轴变于点 C 直线l； 4 3 yx=-与抛物线的对称轴交于点E连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F， 使得FOEFCE若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由 y x l E C O 答案： 存在点F的坐标为（317-，4）或（317+
9、，4） 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行直线l2 过点B（0， 2） 且与x轴平行， 直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点， 反比例函数 k y x = （k0）的图象过点E且与直线l1相交干点F （1）若点E与点P重合，求k的值； （2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与PEF全等？ 若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由 F E A l2 B y x l1 P O 备用图备用图 A l2 B y x l1 P O 答案： （1）k2 （2）存在点E的坐标为（ 3 8 ，2）或（ 8 3 ，2） 【提示】 （2）
10、易得点E（ 3 k ， 2） ，F（1，k） 如图 1， 当k2 时， 只能有MEFPEF 过 点F作FHy轴于点H，易证BMEHFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM 1 2 ， 再解 RtBME，得k 3 4 ，所以点E的坐标为（ 3 8 ，2）；如图 2，当k2 时，只能有 MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q，同可得点E的坐标为（ 8 3 ，2） 图图1 H F M P l2 E y x l1 B O 图图2 M Q F A P l2 E y x l1 B O 3如图，抛物线 2 yaxbxc=+经过A（3-，0），B（3 3，0），C（0，3）三 点，线段BC与抛物线的对称轴交干
11、D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD线段AD与y轴 相交于点E （1）求该抛物线的表达式； （2） 在平面直角坐标系中是否存在一点Q 使以Q，C，D为顶点的三角形与ADP全等？ 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 B D A y x P C O 答案： （1）抛物线的表达式为 2 12 3 3 33 yxx=-+ （2）存在点Q的坐标为（3 3，4），（3，2），（2 3-，1）或（0，7） 【提示】（2）方法一：易求直线BC： 3 3 3 yx=-+，从而点D的坐标为（3，2），可 得CDPD， 所以QCD与ADP全等有两种情况 设点Q坐标， 通过两点间距离公式列出QC， QD，AP，AD的长再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标 方法二：连接CP，易证CDP为等边三角形，ADC60，所以PDA120 QCD与ADP全等有两种情况，如图 1，DCQ120，CQDA4，此时点Q1的坐标为 （0，7），点Q2的坐标为（2 3-，1）； 如图 2， CDQ120，DQDA4， 此时点Q3的坐标为 （3， 2） ， 点Q4的坐标为 （3 3， 4） 图图1 Q2 Q1 D A y x P C O 图图2 Q4 Q3 D A y x P C O
