1、类型三 与折叠有关的探究题（专题训练）1（2023山东枣庄统考中考真题）问题情境：如图1，在中，是边上的中线如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H猜想证明：(1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积2.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）第二步：再一次折叠纸片
2、，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图13-2）猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（1）中的等边三角形？3（2023辽宁大连统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰中，由翻折得到（1
3、）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为中点，求的长问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展问题2：如图3，在等腰中，若，则求的长4.（2021山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在中，垂足为，为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图，点A的对应点为，
4、使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积请你思考此问题，直接写出结果5（2023广西统考中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折
5、痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，展平纸片，连接，请完成：(3)证明是的一条三等分线6.(2022重庆市A卷)如图，在锐角ABC中，A=60，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F(1)如图1，若ABAC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若AB=AC，且BD=AE，将ABC沿直线AB翻折至ABC所在
6、平面内得到ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将PHK沿直线HK翻折至PHK所在平面内得到QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QKPF时，请直接写出PQBC的值7.(2022广东省深圳市)(1)发现：如图所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交CD边于G点求证：BFGBCG；(2)探究：如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长(3)拓展：如图，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三
7、等分点，D=60.将ADE沿AE翻折得到AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长8.(2021湖北省荆州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到GEF，点G在射线AD上，连接CG(1)如图1，若点A的对称点G落在AD上，FGC=90，延长GF交AB于H，连接CH求证：CDGGAH；求tanGHC(2)如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF=90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由9.(2022四川省成都市)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处(1)如图
8、1，若BC=2BA，求CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AFFD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求ABBC的值10.在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F(1)求证：ABFFCE；(2)若AB=23，AD=4，求EC的长；(3)若AEDE=2EC，记BAF=，FAE=，求tan+tan的值11.已知：在矩形中，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为（1）如图1，当点与点重合时，则线段_，_；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，
9、连接并延长与的延长线交于点，连接，求证：四边形是平行四边形：当时，求四边形的面积12.（2021湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，（1）如图，若，证明：（2）如图，若，求的值（3）如图，若，是否存在点，使得若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由13.（2021浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G（1）求证：（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H若，求线段DE的长（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，求的值（用含k的代数式表示）14.（2021湖北中考真题）在矩形中，是对角线上不与点，重合的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接（1）如图1，若点的对称点落在上，延长交于，连接求证：；求（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，判断与是否全等，并说明理由15.如图，在ABC中，AB42，B45，C60（1）求BC边上的高线长（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将AEF折叠得到PEF如图2，当点P落在BC上时，求AEP的度数如图3，连结AP，当PFAC时，求AP的长
