1、 中考数学压轴题破解策略中考数学压轴题破解策略专题专题 1 1一元二次方程的特殊根一元二次方程的特殊根 破解策略破解策略 1一元二次方程的有理根一元二次方程的有理根 关于x的一元二次方程ax 2bxc0（a0，a，b，c 为有理数）存在有理根的条件 为：b 24ac 是一个有理数的平方 解决一元二次方程ax 2bxc0（a0，a，b，c 为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，求出判别式； 根据已知条件得待定系数的取值范围， 再求出判别式的取值范围， 筛选出其中为有理 数的平方的数； 求出待定系数的可能取值，并检验
2、（2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，将方程的系数整数化，求出判别式； 将判别式写成M 2t 的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M 2t m 2（m 为非负有理数） 可得（m）（）t，解此不定方程； 求出待定系数的可能取值，并检验 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 对于一元二次方程ax 2bxc0（a0，a，b，c 为有理数）而言，方程的根为整数 且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件 解决方程ax 2bxc0 的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是 一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的
3、关系”和“因式分解”来解决问题 （1）利用“根与系数的关系”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； 将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； 由分式的结果一定为整数， 根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数， 从而 求出待定系数的可能取值； （2）利用“因式分解”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，将方程化为（m1xn1）（m2xn2）0 的形式； 求出方程的两根，x1 1 1 m n 和x2 2 2 m n ； 利用分离常量的方法，将 1 1 m n ， 2 2 m n 变成一个常数与一个分式的和； 根据整除的
4、性质， 得到分式的分母一定是分子的约数， 从而求出待定系数的可能取值； 将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数 3分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量， 所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： 1 3 1 1 3 1 1 1 31 1 2 mmm m m m m m ； 1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 11 1 2 mmm m m m m m ； 1 1 2 1 1 1 ) 1(2 1 122 1 32 mmm m m m m m ； 1 2 3 1 2 1 ) 1
5、( 3 1 233 1 13 mmm m m m m m 例题讲解：例题讲解： 例例 1 1 已知整数m满足 6m20，如果关于x的一元二次方程mx 2（2m1）xm2 0 有有理根，求m的值及方程的根 解： 若原方程的根为有理数， 则（2m1） 4m（m2）4m1 应为某个有理数的平方 已知 6m20，所以 254m181， 而 4m1 是奇数，从而 4m149， 得m12， 所以原方程变为 12x 223x100， 解得x1 3 2 ，x2 4 5 故m12 时，方程有有理根，此时方程的根为x1 3 2 ，x2 4 5 例例 2 2 设m是不为零的整数，关于x的一元二次方程mx 2（m1）
6、x10 有有理根， 求m的值 解 若原方程的根为有理数， 则（m1） 4m（m3）8 应为某个有理数的平方 令（m3） 8n2 （n0），显然 n也为整数， 所以（m3n）（m3n）8 由于m3nm3n，并且（m3n）（m3n）2（m3）是偶数， 所以m3n和m3n同奇偶， 所以 2n3-m 4n3-m 或 43 23 nm nm ；解得 1 6 1 1 n m ， 1 0 2 2 n m （舍） 所以当m6 时，方程有两个有理根，分别为x1 2 1 ，x2 3 1 例例 3 3 关于x的一元二次方程rx 2（r2）xr10 有且只整数根，求整数 r的值 解： 当r0 时，原方程无整数根； 当
7、r 0 时，由根与系数的关系可得 x1x2 r r2 1 r 2 ，x1x2 r r1 1 r 1 因为x1，x2都是整数， 所以x1x2和x1x2均为整数，从而 r 2 ， r 1 均为整数 而r为整数，所以r1 当r1 时，原方程的解不为整数，不符合条件； 当r1 时，原方程的解为x10，x23 综上可得，整数r1 例例 4 4 在平面直角坐标系中， 我们不妨将横坐标、 纵坐标均为整数的点称之为 “中国结” ， 若二次函数y（k 23k2）x2（2k24k1）xk2k（k 为常数）的图象与x轴相交得 到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一 共包含有
8、多少个“中国结”？ 解：令y0，即（k 23k2）x2（2k24k1）xk2k0， 因式分解，得（k1）xk（k2）xk10 解得x1 1 1 1 1 kk k ，x2 2 1 1 2 1 kk k ， 由题意可得x1，x2均为整数，所以 1 1 k ， 2 1 k 也均为整数， 设 1 1 k m（m0，m为整数），则k m 1 1， 所以 mm m m m m k 1 1 1 1 1)1 ( 1 21 1 1 2 1 ， 所以 1m1，即m10（舍），m22， 从而得到k 2 3 所以二次函数表达式为y 4 1 x 2 2 1 x 4 3 4 1 （x1） 21 二次函数图象如下图所示，则
9、该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一 共包含 6 个“中国结”，分别为：（3，0），（2，0），（1，0），（1，1），（0， 0），（1，0） 进阶训练进阶训练 1已知m为有理数，问：k为何值时，关于x的方程x 24mx4x3m2m4k0 的根为有理数？ 解：k 4 5 【提示】 若原方程的根为有理数， 则4m 6m4 （1k） 应为某个有理数的平方 所以 4（1k）9，即k 4 5 2已知关于x的方程x 22（2m3）x4m14m80（m0）有两个不相等的实数 根，若 12m40，且方程的两个根均为整数，求整数m的值 解：m24 【提示】若原方程的根为有理数，则4（2m1）应
10、为某个有理数的平方，由 12m 40，所以 252m181，而 2m1 为奇数，则 2m149，即m24 3已知方程（k 1）x23（3k1）x180 有正整数根，求整数 k的值 解：k0，1，2，4，5 【提示】先讨论二次项系数是否为 0，当k1 时，方程有正整数根，当k 210 时， 原方程可整理为（k1）x6（k1）x30，解得x1 1 6 k ，x2 1 3 k ，而方程 有正整数根，所以k0，1，2，4，5，综上，k0，1，2，4，5 4求使关于x的方程（a1）x 2（a21）x2a260 的根均为整数的所有整数 a 解：a3，2，0，1 【提示】当a1 时，方程变为2x40，解得x2，符合要求；当a 1 时， 设方程的两个整数根为x1，x2， 则由根与系数的关系可得x1x2 1 1 2 a a a1 1 2 a ， x1x2 1 62 2 a a 2（a1） 1 4 a 因为x1，x2都是整数，所以x1x2和x1x2均为整数，即 1 2 a 为整数，所以a3， 2，0，1 经检验，得到当a3，2，0，1 时，方程的根均为整数
