1、专题专题 4 4图形的分割与拼接图形的分割与拼接 破解策略破解策略 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割图形的分割 ； 反过来，按一定的要求也可 以把几个图形拼接成一个完美的图形，就叫做图形的拼接图形的拼接通常，我们会将一个或多个图形 先分割，再拼接成一种指定的图形 常见的图形的分割与拼接有： 1三角形分割成两个等腰三角形三角形分割成两个等腰三角形 （1）已知：RtABC，BAC90 作法：取斜边BC的中点D，连结AD 结论：DAB和DAC是等腰三角形 D A BC （2）已知：ABC，BACB，C2B 作法：在边BC上作一点D，使得点D在AB的垂直平分线上，连结AD 结论：
2、DAB和DAC是等腰三角形 D C B A （3）已知：ABC，ACB3B 作法：在边AB上作一点D，使得点D在BC的垂直平分线上，连结CD 结论：DBC和CAD是等腰三角形 A B D C 2三角形分割成多个等腰三角形三角形分割成多个等腰三角形 （1）已知：任意等腰ABC，ABAC 作法：一条垂线两条斜边中线 结论：EAD，FAD，EBD，FCD均为等腰三角形 A B F C E D 作法：一条角平分线两条平行线 结论：AFD，FBD，EBD，DEC均为等腰三角形 D E C F B A 作法：两条角平分线一条平行线 结论：AEF，EBD，FCD，DBC均为等腰三角形 A B F C E D
3、 （2）已知：等腰ABC，BC36 作法：在BC上取两点D，E，使得其分别在AB，AC的垂直平分线上，连结AD，AE 结论：DAB，ADE，EAC均为含36内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形 3636 A BCDE （3）已知：等腰ABC，ABAC，A36 作法：作ABC的平分线BD，交AC于点D 结论：DAB，BCD均为含36内角的等腰三角形，所以可以无限分等腰三角形 A B 36 D C （4）已知：任意ABC 作法：一条垂线两条斜边中线 结论：EAD，FAD，EBD，FCD均为等腰三角形 A BCD E F 3三角形的剪拼三角形的剪拼 （1）剪拼成直角三角形 作法：取AB，AC的
4、中点D，E；过D作BC的垂线，垂足为点F；过点A作BC的平行线，分 别交直线DF，EF于点G，H 结论：FGH为直角三角形 D HG E FCB A （2）剪拼成等腰三角形 作法 ： 取AB、AC的中点D、E，连结DE的垂直平分线FG交BC于点G;过点A作BC的平分线， 分别交直线GD、GE于点H、I 结论：GHI为等腰三角形 F G IH D E CB A （3）剪拼成平行四边形 作法：取BC、AC的中点D、E，分别过点A作BC的平行线，交直线DE于点F 结论：四边形ABDF为平行四边形 E F DCB A （4） 剪拼成矩形 作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足
5、为F、G过点A作BC 的平行线，分别交直线FD、GE于点H、I 结论：四边形HFGI为矩形 IH E D G F A BC 作法：取AB、AC的中点D、E，分别过点B、C作直线DE的垂线，垂足为F、G 结论：四边形FBCG为矩形 FG E D CB A 作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行线，交直线DE于点F;分别过点A、F 作BC的垂线，垂足为G、H 结论：四边形AGHF为矩形（先将ABC剪拼成平行四边形ABDF，再将平行四边形剪拼成矩 形AGHF） E F HDGCB A （5）剪拼成正方形（三角形一边上的高是该边长的一半） 作法：取BC、AC的中点D、E，过点A作BC的平行
6、线，交直线DE于点F，分别过A、F 作BC的垂线，垂足为G、H 结论：四边形AGHF为正方形 A BCGDH F E 作法 ： 取AB、AC的中点D、E，分别过点D、E作BC的垂线，垂足为F、G;过点A作BC的 平行线，分别交直线FD、GE于点H、I 结论：四边形HFGI为正方形 CB A F G D E HI （6）剪拼成等腰梯形 作法：作ADAB交BC于点D，取AC的中点E，过点E作AD的平行线，交BC于点F，过点 A作BC的平行线，交直线FE于点G 结论：四边形AGFB为等腰梯形 G FD E CB A 4矩形的剪拼 （1）剪拼成直角三角形 作法：取AD中点E，连结CE并延长，交直线AB
7、于点F 结论：FBC是直角三角形 F E D CB A （2）剪拼成等腰三角形 作法：延长CD至点E，使得DECD，连结AC、AE 结论：ACE为等腰三角形，其中ACAE A BC D E 作法：取AB、CD、AD的中点E、F、G，连结GE、GF并延长，分别交直线BC于点H、I 结论：GHI为等腰三角形，其中GHGI IH G A BC D EF 作法：取AD的中点E，向矩形外作AD的垂线EF，使得EFAB，连结FB、FC 结论：FBC为等腰三角形，其中FBFC A BC D E F 作法：取BC、CD、AD的中点E、F、G，连结FE、FG并延长，分别交直线AB于H、L 结论：FHI为等腰三角
8、形，其中FHFI G H L F E D CB A （3）剪拼成菱形 作法：取BC的中点E，向矩形外作BC的垂线EG，使得EGAB，取AD的中点F，连结BG、 GC、CF、FB 结论：四边形BGCF为菱形 G A BC D E F （4）剪拼成正方形 作法：延长CB至点E，使得BEAB，以EC为直径作圆，交BA的延长线于点F;在BC上取 一点G，使得BGBF，过点F作BF的垂线，过点G作BG的垂线，两线交于点H 结论：四边形BGHF为正方形 G A BC D E FH 5正方形的剪拼 （1）两个正方形剪拼成一个正方形 作法：连结AE，过点A作AI丄AE交CB的延长线于点I;分别以E，I;为圆心
9、AE长为半径 画弧，交于点H，连结HI、HE 结论：四边形AEHI为正方形 N H L G F E D C B A （2）一个正方形剪拼成两个正方形 作法：以B为端点在正方形ABCD内部作射线，分别过A、C、D作射线的垂线，垂足分别为 E、F、G，再分别过点A、C作DG的垂线，垂足分别为H、I 结论：四边形AEGH和四边形CFGI为正方形 A BC D E F G I H 进阶训练进阶训练 1. 在ABC中，ABCACB63，如图 1，取三边中点，可以把ABC分割成四个等 腰三角形，请你在图 2 中，用另外四种不同的方法把ABC分割成四个等腰三角形，并标明 分割后的四个等腰三角形的底角的度数
10、（如果经过变换后两个图形重合， 则视为同一种方法） 图 2 图 1 C B A CB A A BC A B C C B A 答案： 2727 27 27 63636363 31.5 31.5 31.5 31.5 63 63 63 63 C B A CB A 72 54 54 36 36 27 27 63 63 72 72 36 36 27 27 2727 A BC A B C 2. 小明在研究四边形的相关性质时发现， 在不改变面积的条件下， 一般梯形很难转化为菱 形，但有些特殊的梯形通过分割可以转化为菱形，如图 1，已知在等腰梯形ABCD中，AD BC，CD2AD，C60 图 2 图 1 CB
11、 AD DA BC （1）果将该梯形分割成几块，然后可以重新拼成菱形，试在图 1 中画出变化后的图形； （2）在完成上述任务后，他又试着在直角梯形（如图 2，ADBC，CD2AD，C60） 中，将梯形分成几块，拼成新的图形； 它能拼成一个菱形吗？如果能，请画出相应的图形； 它能拼成一个正方形吗？如果能，请画出相应的图形 答案：（1）能拼成菱形： CB AD （2）能拼成菱形： DA BC 能拼成正五边形 DA BC 3 下列网格中的六边形ABCDEF是由一个边长为 6 的正方形剪去左上角一个边长为 2 的正方 形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形 （1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长； （2） 如图甲， 把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成， ， 三个部分， 请在图甲中画出将， 与拼成的正方形，然后标出，变动后的位置； （3） 在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条剪裁线， 并画出将此六边形剪拼成的正方形 图甲 图乙 答：（1）； 4 2 （2）如图； （3）如图：
