1、2024浙江中考数学二轮专题训练 题型五 与特殊四边形有关的证明及计算 类型一纯几何图形的证明及计算母题变式练母题1 (2023余杭区二模改编)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上(不与点A、D、C重合)，连接并延长AF，分别交BE于点G，交BC延长线于点H.(1)若AEDF，请判断BE与AF的位置关系，并说明理由【思维教练】要判断BE与AF的位置关系，由已知条件易证明ABEDAF，再通过证明DAFAEB90即可得到BEAF.母题1题图(2)连接EH，若EBEH2，求GE的长【思维教练】要求GE的长，过点E作EMBC于点M，易知四边形ABME为矩形，由矩形的性质和等腰三角形三线
2、合一可得AEGHBG，BH2AE，再根据相似三角形的性质即可求解母题变式【变式角度】(1)设问变已知；(2)由利用等腰三角形求得相似比变为直接给出中点求得相似比1. 如图，在正方形ABCD中，点E是AD上一点(不与A，D重合)，连接BE，过点A作AFBE于点G，交CD边于点F，交对角线BD于点H.(1)求证：BEAF；(2)若点E是AD的中点，当BE12时，求线段FH的长第1题图【变式角度】(1)设问变已知；(2)利用相似的性质求“线段长”改为求“面积比值”；(3)新增利用相似及全等的性质，证明线段之间的数量关系.2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，
3、DC上(不与A，D，C重合)，连接BE，AF，BE与AF交于点G，与AC交于点H.已知AFBE，CFDF.(1)求证：AFBE；(2)若BHO的面积为S1，BDE的面积为S2，求的值；(3)设AF与BD交于点P，求证：DE2PO.第2题图针对演练3. 如图，在ABC中，ACB90，分别以AB和AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG.(1)求证：ACEAGB；(2)若AC3，BC5，求CE的长第3题图类型二与函数结合的证明及计算母题变式练母题2 (2022杭州23题12分)如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上(不与点B、C重合)，连接AG，作DEAG于点E，BFAG于点F，设k.(1)求证
4、：AEBF；【思维教练】要证AEBF，结合正方形性质易联想到需证明ABFDAE，再根据三角形全等得到对应边相等即可得证母题2题图(2)连接BE、DF，设EDF，EBF，求证：tanktan；【思维教练】要证明tanktan，需先找到，所在的直角三角形，用相应的线段长度表示出tan，tan，再求两者之比，在含有多个直角三角形的图形中，注意同一个角的三角函数值可以用不同的线段比值来表示即可转化求解母题2题图(3)设线段AG与对角线BD交于点H，AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2，求的最大值【思维教练】要求的最大值，需先表示出S1，S2，根据k，再结合相似三角形的性质用含k的式子表示出S1
5、，而S2可用BCD的面积减去BGH的面积，进而用含k的式子表示，求出的函数表达式，根据函数性质求最值即可母题2题图母题变式【变式角度】背景图形由正方形变为矩形，设问由正切值的证明改为正切值的计算、由利用相似比得出面积关系改为利用三角函数得出面积关系1. (万唯原创) 如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上(不与点B、C重合)，连接AE，分别过点B、D作BFAE于点F，DGAE于点G，连接CF.已知AB6，BC8.(1)若AEAD，求证：ABDG；(2)若点E为BC的中点，求tanCFE的值；(3)设ABF和CEF的面积分别为S1，S2，y ，求y的最小值第1题图针对演练2. (2023滨江区三
6、模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点E在AB上，点F为BC上一个动点，且满足条件EPF45，图中两块阴影部分图形关于直线AC对称，设它们的面积和为S1.(1)求证：APECFP；(2)设四边形CMPF的面积为S2，CFx，y.求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值第2题图参考答案类型一纯几何图形的证明及计算母题1解：(1)AFBE.理由：四边形ABCD是正方形，ABAD，BAEADF90，在ABE和DAF中，ABEDAF(SAS)，DAFABE，AEBABE90，DAFAEB90，AGE90，BE
7、AF；(2)如解图，过点E作EMBC于点M，母题1解图EBEH，EMBC，BMMHBH，EMBC，ABCBAD90，四边形ABME是矩形，AEBM，BH2AE，ADBC，AEGHBG，2，BE2，GEBE.1. (1)证明：AFBE，AEBDAF90，四边形ABCD为正方形，DABADF90，ABAD，AEBABE90，ABEDAF，在BAE和ADF中，BAEADF(ASA)，BEAF；(2)四边形ABCD是正方形，ABADDC，ABCD，由(1)得BAEADF，AEDF，点E是AD的中点，点F是DC的中点，DFAB，即2，ABCD，AHBFHD.2，AFBE12，FHAF4.2. (1)证明
8、：四边形ABCD为正方形，BEAF，ADFAGEEAB90，ADAB，ABEGABDAFGAB90，ABEDAF，在ADF和BAE中，ADFBAE(ASA)，AFBE；(2)解：如解图，过点F作FMAC于点M，过点O作ONAD，交BE于点N，第2题解图在RtCFM中，FCM45，CFFM，CFDF，DFFM，在RtADF和RtAMF中，ADFAMF(HL)，DAFFAC，AFBE，AGEAGH90，AEH是等腰三角形，AEAH，AEHAHE，ONAD，AEHONH，AHEOHN，OHNONH，OHON，ONAD，DB2OB，DE2ON，DE2OH.S1OHOB，S2DEAB，设ADABx，在R
9、tABD中，由勾股定理得DBx，OBDBx.；(3)证明：AOPAMF90，PAOFAM，APOAFM，设DFm，则FMDFMCm，FCm，ADDC(1)m，ACAD(2)m，AMACMC(1)m，AOACm，POFMmm，由(1)知ADFBAE，DFAE，DEFCm，即DE2PO.3. (1)证明：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AEAB，ACAG，EABCAG90，EACCABBAGCAB，EACBAG，在EAC与BAG中，EACBAG(SAS)；(2)解：ACB90，AC3，BC5，CFACFG3，FBBCCF2，在RtBFG中，由勾股定理得BG，由(1)知EACBAG，CEBG.类
10、型二与函数结合的证明及计算母题2(1)证明：如解图，记BAF1，EAD2，ABF3，ADE4，母题2解图四边形ABCD为正方形，BADABC90，ABAD，又BFAG，DEAG，12132490，14，23，在ABF和DAE中，ABFDAE(ASA)，AEBF；(2)证明：如解图，记FBG5，BAG1，母题2解图由(1)知ABFDAE，AFDE，1ABFABF590，51，tan，tan ，tan1，tan1k，k，即tanktan ；(3)解：如解图，记BAG1，EAD2，ADE4，母题2解图四边形ABCD为正方形，ADBC，2AGB，ADBDBG，GBHADH，k，k，()2k2，设SBH
11、Ga，S1a，则SABHa，S2SBCDSBHGSABDSBHGSABHSAHDSBHGaaa，k1k2(k)2，10，当k时，有最大值，最大值为.1. (1)证明：四边形ABCD为矩形，ABC90，ADBC.GADBEA.DGAE，DGAABE90，在ABE和DGA中，ABEDGA(AAS)ABDG；(2)解：当点E为BC的中点时，如解图，过点C作CHAE交AE的延长线于点H，第1题解图BECE4，BEFCEH，BFAE，BFECHE90.在BEF和CEH中，BEFCEH(AAS)EFEH，CHBF，AB6，AE2.ABBEAEBF，BF.tanBEF，EF.tanCFE；(3)设FBE，B
12、Ex，则CE8x，BFxcos.BAFBEF90，FBEBEF90，BAFFBE.AF.S1AFBF.如解图，过点F作FPBC于点P，第1题解图FPBFsin xsin cos .S2CEFP(8x)xsin cos .8xx2(x4)216，当x4时，8xx2有最大值16，当x4时，有最小值，为.2. (1)证明：EPF45，APEFPC18045135.而在PFC中，由于PC为正方形ABCD的对角线，则CFPFPC18045135，APECFP；(2)解：APECFP，且FCPPAE45，APECFP，则，而在正方形ABCD中，AC为对角线，ACAB4，又点P为对称中心，则APCP2，CF
13、x，AE.如解图，过点P作PHAB于点H，PGBC于点G，第2题解图点P为AC中点，则PHBC，PHBC2，同理PG2.SAPEPHAE2，阴影部分关于直线AC轴对称，APE与APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN2SAPE；而S22SPFC22x，S1S正方形ABCDS四边形AEPNS2162x，y1.点E在AB上运动，点F在BC上运动，2x4.令a，则y8a28a1，当a时，y取得最大值而x2在x的取值范围内，代入x2，则y最大4211.y关于x的函数解析式为y1(2x4)，y的最大值为1；图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EBBF，即AEFC，x，解得x2或x2(舍去)，把x2代入y1得y22.
