1、2024长沙中考数学二轮专题复习 题型四 圆的综合题 类型一与圆的基本性质结合典例精讲例已知A、B、C是O上的三点，ABAC，BAC120. (1)如图，连接OA，OB，求证：ABO是等边三角形；例题图【思维教练】利用有一个角为60的等腰三角形为等边三角形进行求证 (2)连接BC，若O的半径为2，求线段BC的长；【思维教练】连接OB，OA，利用垂径定理求解 (3)如图，若点D是BAC所对弧上的一动点，连接DA，DB，DC.探究DA，DB，DC三者之间的数量关系，并说明理由；若AB3，点E是CD的中点，当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长 例题图【思维教练】将ABD绕点A逆时针旋转120
2、，结合圆内接四边形及三角函数求解；点D为主动点，点E为从动点，由点D的运动轨迹可知点E的运动轨迹也为圆弧，找出圆心及半径，利用弧长公式求解针对训练1. (2023长沙25题10分)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ.(1)求sinAOQ的值；(2)求的值；(3)令MEx，QDy，直径AB2R (R0，R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围第1题图2. (2022长沙25题10分)如图，半径为4的O中，弦AB
3、的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE.(1)求AOB的度数；(2)当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求ODE的外心P所经过的路径的长度；(3)分别记ODE，CDE的面积为S1，S2，当SS21时，求弦AC的长度 第2题图类型二与切线的性质结合(10年3考)典例精讲例如图，AB是O的直径，AB16，点C在O的半径OA上运动，PCAB，垂足为C，PC10，PT为O的切线，切点为T，连接OP.(1)当C点运动到O点时求PT的长；延长AB、PT，交于点D，求证：POTPDO；例题图【思维教练】运用勾股定理求解；运用切线的性质证明两
4、三角形的角相等，即可求证 (2)当C点运动到A点时，连接BT，求证：POBT；【思维教练】证明两三角形全等，得到等弧所对的圆心角、圆周角之间的关系，利用同位角相等，两直线平行求证 (3)设PTy，ACx，求y关于x的函数解析式，并求出y的最小值【思维教练】运用切线的性质及勾股定理求解 针对训练1. (2023长沙模拟)如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作ECOB，交O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分FAB；(2)求证：BC2CECP；(3)当AB4且时，求弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面积第1题
5、图2.如图，点C是以AB为直径的半圆O上圆心右侧的一点，连接BC，在BC的上方作BCM45，CM交半圆O于点M，过点M作半圆O的切线，与AC的延长线交于点D，当点C与点A重合时，ADAB，且ADAB.连接MB，BD.(1)求证：；MDAB；(2)当sinCBM时，求tanCBD的值；(3)若AB5，求点C在半圆O上，从点A移动到AD的中点时，点D移动的路径的长第2题图类型三与切线的判定结合(10年3考)典例精讲例如图，在ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O与边BC相交于点D，与边AB相切于点E，ACAE，连接OA交O于点F，连接CF并延长交线段AB于点G. (1)求证：AC
6、是O的切线；例题图【思维教练】已知点E是切点，则可连接OE，证明两三角形全等，可得到OCA90即可求证(2)若AB5，tanB，求O的半径；【思维教练】由题意可得两直角边的比例关系，利用勾股定理即可求解 (3)若CD3BD，求sinOAB的值；【思维教练】根据题中所给线段数量关系，利用勾股定理及相似三角形的性质求解 (4)如图，若F是OA的中点，CG3，求阴影部分的面积；例题图【思维教练】求出扇形圆心角度数，利用S阴影SBCGSCOFS扇形DOF求解(5)如图，若G是AB的中点，连接EF，求证：CFGE.例题图【思维教练】利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质求证针对训练1. 如图，已知ABC
7、内接于O，CD平分ACB交O于点D，过点D作PQAB分别交CA、CB的延长线于点P、Q，连接BD，OB. (1)求证：PQ是O的切线；(2)若tanACD，求的值；(3)若ACBQ9，且ACB60，求AB的长第1题图2. 在RtABC中，A90，ABAC4，O是BC边上的点，O与AB相切，切点为D，AC与O相交于点E，且ADAE.(1)求证：AC是O的切线；(2)如果F为上的一个动点(不与D、E重合)，过点F作O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，判断GOH的度数是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由；(3)在(2)的条件下，设BGx，CHy，求y与x之间满足的函数
8、关系式；并说明当xy时F点的位置第2题图参考答案类型一与圆的基本性质结合例(1)证明：如解图，连接OC，例题解图ABAC，OBOC，OAOA，OABOAC(SSS)，BAOCAO，又BAC120，OAB60OAC，ABO是等边三角形；(2)解：如解图，连接OB，OA，OA交BC于点E，则OABC，BECE，由(1)可知，AOB60，BEOBsin6023，BC6；例题解图(3)解：DCDBDA，理由：如解图，将ABD绕点A逆时针旋转120得到ACH，使AB与AC重合，过点A作ANCH于点N，例题解图BDCH，ADAH，DAH120，ABDACH，四边形ABDC是O的内接四边形，ABDACD18
9、0，ACDACH180，D，C，H三点共线，ADAH，DAH120，ANCH，AHDADH30，HNDNDH，AD2AN，DNAN，HD2ANAD，DCDBDCHCDA；由题可知，点E的运动轨迹为以OC的中点F为圆心，OC长为半径的圆弧，如解图所示，当点D与点B重合时，点E为OA的中点，EFFO，EFO60，点E运行轨迹所在弧的圆心角为18060240，由题可知OCAB3，OF，点E的运动路径长为2.例题解图1. 解：(1)如解图，连接OP，则OPOQ，第1题解图四边形MNPQ为正方形，PNQMMN，QMOPNO90，在RtOPN和RtOQM中，RtOPNRtOQM(HL)，ONOM，(2分)
10、设QMMN2a，则ONOMa，在RtOQM中，OQa，则sinAOQ；(3分)(2)设QMMN2a，则ONOMa，OQa，OAOQa，AMOAOM(1)a，；(6分)(3)AB2R，OAOQOBR，sinAOQ，解得QMR，OMR，BMOBOMR，AMABBMR，QDy，DMQDQMyR，(7分)由圆周角定理得ACB90，DBMBAC90，QMO90，DBMD90，DBAC，DMBAME90，DBMAEM，即，解得yR，(8分)如解图，连接AP，交QM于点F，第1题解图PNMNQMR，AMR，ANAMMNR，四边形MNPQ为正方形，QMPN，AFMAPN，即，解得FMR，(9分)点C在上运动(
11、点C与点P，Q不重合)，点E在线段QF上运动(点E与点F，Q不重合)，FMMEQM，即RxR，综上所述，yR(Rx0，y0，由，可得：，解得x.AC.综上所述，弦AC的长度为.(10分)第2题解图类型二与切线的性质结合例(1)解：如解图，连接OT，则OTPT，OTP90，AB是O的直径，AB16，OTAB168，在RtOTP中，由勾股定理得PT6；例题解图证明：如解图，由知，OTP90，PCAB，PCD90.PTOPOD.又OPTDPO；POTPDO；(2)证明：如解图，连接OT，PCAB，点C与点A重合，AB是O的直径，PA是O的切线，PT为O的切线，PAPT，在OPA和OPT中，OPAOP
12、T(SSS)，AOPTOPAOT，AOT2B，AOPB，POBT；例题解图(3)解：如解图，连接OT，AB是O的直径，AB16，ACx，OCOAACABAC8x，OTAB8，PCAB，PCO90，在RtPCO中，由勾股定理得PO，PT为O的切线，PTOT，在RtOTP中，由勾股定理得yPT，y关于x的函数解析式为y，点C在OA上运动，0x8.当x8时，y有最小值，y的最小值为6.例题解图1. (1)证明：PF是O的切线，OCPF，AFPF，AFOC.FACACO，OAOC，OACACO，FACCAB，即AC平分FAB；(2)证明：OCOB，OCBOBC，PF是O的切线，CEAB，OCPCEB9
13、0，PCBOCB90，BCEOBC90，BCEBCP，CD是O的直径，CEBCBDCBP90，CBECPB，BC2CECP；(3)解：如解图，作BMPF于点M.由(2)得ECBMCB，CEBCMB90，CBCB.CEBCMB，CECM.由(1)得FACEAC.AFCAEC90.CECF，CECMCF，设CECMCF3a，则PC4a，PMa，CD是O的直径，BMPC，CBPCMBBMP90，MCBP90，PPBM90，MCBMBP，BMCPMB，BM2CMPM3a2，BMa(负值已舍去)，tanBCM，BCM30，OCBOBCBOC60，AB4，BCOCOB2，弦BC与其所对的劣弧所组成的弓形面
14、积(2)223.第1题解图2. (1)证明：如解图，连接MO，第2题解图BCM45，BOM2BCM90.OMAB.BOMAOM90.；DM切半圆O于点M，且OM为半径，OMMD.由知，OMAB，BOMDMO90.MDAB；(2)解：如解图，连接OM，OC，过点M作MGBC，AB是半圆O的直径，ACBBCD90.BCM45，DCM90BCM45BCM.OMOC，OMCOCM.MD是半圆O的切线，CMD90CMOMOC.CBMMOC，CMDCBM，CMDCBM，即MC2BCCD.在RtMBG中，sinCBM，设MGm，则MBm，BG2m，在RtMCG中，BCM45，MGCGm，MCm，BC3m.(
15、m)23mCD，CDm.在RtBDC中，tanCBD；第2题解图(3)解：如解图，过点D作DHAB于点H.第2题解图当点C为AD的中点时，BCAD，BDAB5. MDAB，MOAB，DHAB，DHOMAB，在RtBDH中，sinDBH，DBH30.BHBDcos305.AHABBH5.DM是半圆O的切线，且MDAB，点D到AB的距离总是.当点C与A重合时，点D在D的位置，点C在半圆O上从点A移动到AD的中点时，点D的运动路径为平行于AB到AB距离为 的线段DD.易得四边形DDAH为矩形，DDAH.点C在半圆O上从点A移动到AD的中点时，点D运动的路径长为.类型三与切线的判定结合例(1)证明：如
16、解图，连接OE，O与边AB相切于点E，OEAB，即AEO90，AOAO，ACAE，OCOE，ACOAEO(SSS)，ACOAEO90，又OC是O的半径，AC是O的切线；例题解图(2)解：如解图，tanB，设AC4x，BC3x，AC2BC2AB2，16x29x225，解得x1(负值舍去)BC3，AEAC4，BEABAE1，设O的半径为r，则OCOEr，OBBCOC3r，在RtBOE中，OB2OE2BE2，(3r)2r212，解得r，O的半径为；(3)解：如解图，设BDa，则CD3a，OEOCOD，BCCDBD4a.OBODBD.BE2a.OEBACB90，OBEABC，BEOBCA.解得AC3a
17、.OAa.sinOAB；(4)解：如解图，过点O作OMCF于点M，连接OE，例题解图F是OA的中点，ACO90，OFCFOC，OCF是等边三角形，AOC60，OAEOAC30，AOB120，OEAB，AEO90，AOE60，EOB60，B30，CGB90，CG3，BGCG3.易证OFMAFG，FMFG，CMFMFG1，OFCF2，OM.SBCGBGCG，SOCFCFOM，S扇形DOF.S阴影SBCGSOCFS扇形DOF；(5)证明：如解图，连接OE，例题解图由(1)可知ACOAEO，AOCAOE，又OCOE，OFOF，COFEOF(SAS)，OCFOEF，CFEF，OCOFOE，OCFOFCO
18、FEOEF.GFE180OFCOFE1802OCF，G是AB的中点，ACB90，CGAGBG，GCBGBC，EGF180GCBGBC1802OCF，GFEEGF，GEEFCF，即CFGE.1. (1)证明：如解图，连接OD，CD平分ACB，ACDBCD，ODAB，PQAB，ODPQ，OD是O的半径，PQ是O的切线；(2)解：如解图，设OD与AB交于点E，设DEa，O的半径为r，OEra，ABDACD，tanABDtanACD，即，BE3DE3a，在RtBDE中，由勾股定理得BDa，在RtOBE中，OB2OE2BE2，r2(ra)2(3a)2，解得r5a，OB5a，；第1题解图(3)解：如解图，
19、连接AD，ACDBCD，ADBD，PQAB，QABC，BDQABD，ADCABC，ABDACD，ADCQ，ACDBDQ，ACDBDQ，ADBDACBQ9，BD29，即BD3，ACB60，BCD30，BOD60，BOD为等边三角形，BEOD，BEBD，AB2BEBD3.2. (1)证明：如解图，连接OD、OE、OA，O与AB相切，切点为D，ADO90.在AOD与AOE中，AODAOE(SSS)ADOAEO90，即OEAC.又OE是O的半径，AC是O的切线；(2)解：GOH的度数是定值如解图，连接OF，由题意得，GD、GF以及HF、HE与O相切，GDGF，HEHF，DOGFOG，FOHHOE，BACODAOEA90，DOE90，GOHDOE45；(3)解：BGx，CHy，易得BDCE2，GFGDx2，FHHEy2，AG4x，AH4y，GHxy4，BAC90，GH2AG2AH2，即(xy4)2(4x)2(4y)2，化简可得y，AG0，AH0，x4，y4，2x4，y与x之间的函数关系式为y.(2x4)当xy时，AGAH，ABAC，GHBC，如解图，连接AO，设AO交GH于F，OFHFOC90，F与点F重合，即F为AO与O的交点，F是的中点第2题解图
