1、2024陕西中考数学二轮专题训练 题型八 几何测量问题 类型一与锐角三角函数有关的几何测量【类型解答】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年解答题中考查3次，分值为6分或7分考查特点 ：设问均为底部不可及的测量问题，且都是通过在两个直角三角形中解决问题1. 西安奥体中心体育馆是第十四届全运会的主场馆之一，其顶部有16个角舒展绽放，像盛开的花瓣某日，家住附近的小华和小明想测量其中一个角顶部距离地面的高度AB，由于施工，点B周围设有20米宽的禁行区域MN.如图所示，小明先在距离点M 60米远的D处用测倾器CD测得顶部A的仰角为30，然后小华在距离点N 30米远的F处用测倾器EF测得顶部A的仰角
2、为45，已知测倾器的高CDEF1.5米，点D、M、B、N、F在同一条直线上，CD、EF均垂直于DF，求角顶部距离地面的高度AB.(结果用根号表示)第1题图2. 某广场的平面示意图大致如图所示，小明和小凯想用测量知识测量广场的南北长度首先，他们在广场最北边选取一点A，测得建筑物最西端M位于点A南偏东37方向，然后沿着广场边缘向东行走10 m，到达点B，测得该建筑物最东端N位于点B南偏东45方向已知建筑物东西长度MN为60 m，且点M、N在广场的最南端边上，求该广场的南北长度(结果精确到1 m参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41)第2题图3. 真实问题情境
3、如图，是一个手动饸饹机的实物图，图是其示意图，已知手柄的长度AB36 cm，BD4 cm，支架的高度EF33 cm.抬至最高时与水平方向的夹角ABC约为52，A、C、E、F四点共线(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin520.79，cos520.62，tan521.28)(1)求饸饹机手柄上的点A到水平面GF的距离；(2)李师傅压制饸饹时，某一时刻AB与水平方向的夹角为30，则手柄AB上点A的高度降低了多少？第3题图类型二与相似三角形有关的几何测量【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年解答题考查6次考查特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背
4、景，设问多为测量高度. 1. 大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度如图，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B处，请人不断测量他的影子BC，当他的影子BC和身高AB相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A与相应底棱中点B的距离约为22.2米，此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上，聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度第1题图2. 小唯想利用所学的知识测量学校旗杆的高度，一天下午，她和学习小组来到旗杆前，由于旗杆下面有旗杆台，到
5、旗杆底部的距离无法测量到，于是她们先在旗杆周围的空地上选择一点E并放置小平面镜，小唯沿着BE方向移动到点D处，她恰好在小平面镜内看到旗杆顶端A的像，此时测得DE0.8 m，然后小唯拿着自制的直角三角板FMN在BE方向移动，在点G处用眼睛观察到斜边FM与点A在同一条直线上，测得DG7.4 m已知直角三角板的直角边MN9 cm，FN12 cm，小唯的眼睛与地面的距离CDFG1.6 m，AB、CD、FG、MN均垂直于BG，求旗杆的高度AB.(平面镜大小忽略不计)第2题图3. 如图，河岸旁种植了两排平行的树，且每排每两棵树之间的距离为3 m，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在中间两棵树QP的延长线
6、上选取一点A，恰好发现点A、树B、树C在一条直线上，然后小明后退10 m到达点D处，发现点D、树E、树F在一条直线上已知PQ所在的直线垂直于两岸的树，且两排树均用图中的黑点表示，求河岸旁两排树之间的距离PQ.第3题图类型三与全等三角形有关的几何测量1. 如图所示，物体从一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度OM和物体在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN.第1题图2. (北师九下P22活动二改编)如图所示，小明与小华计划测量学校春晖楼的高度AB.小明先站在点E处，用测倾器EF测得求实楼CD的顶端D的仰角为，然后走到点C处
7、，用测倾器CG测得春晖楼AB的顶端B的仰角为，发现90.已知AB、EF、CD均垂直于AC，EFCG1.6 m，CE25.2 m，求实楼的高CD31.6 m，两栋楼之间的距离AC30 m，求春晖楼的高度AB.第2题图类型四与勾股定理有关的几何测量1. 数学文化(北师八上P15习题1.4T5改编)九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺. 如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B(如图). 水
8、深和芦苇长各多少尺？第1题图2.一天，小明带着弟弟去图书大厦买书，已知该图书大厦装有一个自动感应门，当人体进入感应范围内，感应门会自动打开，小明发现门打开时，自己和弟弟距离门的位置不相同，于是小明利用所学的知识计划测量该感应门的最大感应范围小明先站在D处，门恰好自动打开，然后小明后退，让弟弟去打开门，发现当弟弟站在点F处时，门恰好自动打开，且小明发现自己与弟弟所站的位置中间相隔2个地砖已知小明的身高CD1.6 m，弟弟的身高EF1.3 m，感应器距离地面的高度AB2.5 m，每个地砖的宽度为15 cm，AB、CD、EF均垂直于BD，求该感应门的最大感应距离AC(或AE)第2题图参考答案类型一与
9、锐角三角函数有关的几何测量1. 解：如解图，连接CE交AB于点G，由题知，CD、EF均垂直于DF，且CDEF，第1题解图四边形CDFE为矩形，CEDF602030110.在RtAGE中，AEG45，AGEG.设AGEGx，在RtACG中，ACG30，CGx，xx110，解得x5555，CDEF1.5，BG1.5，ABAGBG55551.5(5553.5)米答：该角顶部距离地面的高度AB为(5553.5)米2. 解：如解图，过点A作AEMN于点E，过点B作BFMN于点F，则四边形ABFE是矩形，由题意可知EAM37，FBN45，设FMx，则EM10x，FN60x，在RtBFN中，FBN45，BF
10、FN60x.AEBF60x.在RtAEM中，EAM37，tanEAM0.75，解得x140，AE60140200 m，答：该广场的南北长度约为200 m.第2题解图3. (1)解：在RtABC中，ACB90，ABC52，AB36 cm，ACABsin52360.7928.44 cm.BDDE，BDBC，BCAF，四边形BDEC是矩形CEBD4 cm.又EF33 cm，AFACCEEF28.4443365.4465.4 cm.答：饸饹机手柄上的点A到水平面GF的距离约为65.4 cm；(2)由(1)知，AC28.44 cm，当ABC30时，ACABsinABC3618 cm，手柄AB上点A的高度
11、降低了28.441810.4 cm.类型二与相似三角形有关的几何测量1. 解：由题意可知，POAABC，.ABBC，OPOA.金字塔正方形底座的边长为230，点O为正方形的对称中心，点B为正方形边上的中点，OB115，OAOBAB11522.2137.2，OP137.2.答：金字塔的高度约为137.2 米2. 解：如解图，延长FN交AB于点H，则FHAB，四边形FGBH是矩形，由题意可知ABECDE，MFNAFH，.设ABx，则AHx1.6，则，BE0.5x，FHBGGDDEBE7.40.80.5x8.20.5x，解得x12.4，答：旗杆的高度AB为12.4 m.第2题解图3. 解：设APx，
12、由题意可知，BP3，PE6，CQ6，FQ9，EPFQ，APBAQC，DPEDQF，AQ2AP2x，DPx10，DQ2x10，即，解得x10，PQ10，答：河岸旁两排树之间的距离PQ为10 m.类型三与全等三角形有关的几何测量1. 解：如解图，过点A作AEOM于点E，过点B作BFOM于点F，AOEBOFBOFOBF90，AOEOBF.在AOE和OBF中，AOEOBF(AAS)，OEBF，AEOF，OEOFAEBFCD17，2EOEF17.EFEMFMACBD1037，EO5，AE12，在RtAOE中，OA13.OMOEEM15，MN15132.答：旗杆的高度OM为15米，物体在荡绳索过程中离地面
13、的最低点的高度MN为2米第1题解图2. 解：如解图，延长GF交AB于点H，ABAC，EFAC，CDAC，EFCG，四边形AEFH、四边形EFGC、四边形ACGH均为矩形HGAC，BHGFGD90.FDG90.90，FDG.即DBGH.又EFCG1.6 m，CD31.6 m，AC30 m，HG30 m，GDCDCG30 m，HGGD.在BHG和FGD中，BHGFGD(ASA)BHFGCE25.2 m.ABBHAHBHEF26.8 m.答：春晖楼的高度AB为26.8 m.第2题解图类型四与勾股定理有关的几何测量1. 解：设水深x尺，则芦苇长(x1)尺由题意得x252(x1)2.解得x12.x113.答：水深12尺，芦苇长13尺2. 解：如解图，过点C作CGAB于点G，过点E作EHAB于点H，则四边形EFBH和四边形CDBG是矩形，由题意可知DF30 cm0.3 m，GHCDEF0.3 m，ACAE，设BFx，则BDCG0.3x，在RtAEH中，AH2.51.31.2 m，AE2x21.22，在RtACG中，AG2.51.60.9 m，AC2(0.3x)20.92.ACAE，(0.3x)20.92x21.22，解得x0.9，AC1.5 m，答：该感应门的最大感应距离AC(或AE)为1.5 m.第2题解图
