1、专题专题 1313“Y Y”形模型”形模型 破解策略破解策略 当图形具有邻边相等的这一特征时， 可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位 置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题 因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换 （1）如图，等边ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转 60得 到BPA，则BPP是等边三角形；APP的形状由AP，BP，CP的长度决定 P A B C P （2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将BPC绕点B逆时针旋转 90得 到BPA，则BPP是等腰直角三角形；APP的形状由AP，BP，C
2、P的长度决定 P D A B P C 这类题目中不提旋转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题 例题讲解例题讲解 例 1 已知：在ABC中，BAC60 （1）如图 1，若ABAC，点P在ABC内，且PA3，PC4，APC150，求PB的长； 图 1 P A CB 【答案】解：（1）如图 4，将APC绕点A顺时针旋转 60，得到AQB，连结PQ 易证PAQ是等边三角形 从而在PQB中，有PQB90，PQ3，BQ4， 所以PB5 图 4 P A BC Q 【答案】解：（1）如图 4，将APC绕点A顺时针旋转 60，得到AQB，连结PQ 易证PAQ是等边三角形 从而在PQB中，有PQB90，PQ3，
3、BQ4， 所以PB5 图 4 P A BC Q （2）如图 2，若ABAC，点P在ABC外，且PA3，PB5，PC4，求APC的度数； 图 2 P A CB 【答案】（2）如图 5，将APC绕点A顺时针旋转 60，得到AQB，连结PQ 易证PAQ是等边三角形 从而在PQB中，有PQ3，BQ4，PB5， 所以PQB90，从而APCAQB30 图 5 P A BC Q （3）如图 3，若AB2AC，点P在ABC内，且PA，PB5，APC120，求PC的3 长； 图 3 B A C P 【答案】 （3）如图 6，作AQC，使得AQAP，CQBP，连结PQ 1 2 1 2 易证ACBAQP 从而在QP
4、C中，有QPC90，PQ，QC， 3 2 5 2 PC2 图 6 Q B A P C 例 2 如图，正方形ABCD外有一点E，满足EDEC，且DEA15，求证：DEC为等边三 角形 E D A BC 证明如图，过点D作DFDE，且DFDE，连结CF交AE于点G，连结EF 易证ADECDF， 所以DFCDEA15， 从而FGEFDE90，GFE30 所以GEEFDFCE， 1 2 2 2 2 2 所以GEC45，DEC60， 即DEC为等边三角形 F E DA BC 进阶训练进阶训练 1（1）如图 1，在正方形ABCD内有一点P，PA，PB，PC1，则BPC的度数52 为_； 图 1 D A B
5、 P C 【答案】1（1）135； 【提示】如图，将BPC旋转至BPA，连结PP，证APP是直角三角形即可 P D A P BC （2）如图 2，在正六边形ABCDEF内有一点P，PA2，PB4，PC2，则BPC的度数13 为_，正六边形ABCDEF的边长为_ 图 2 E D F A B C P 【答案】（2）120； 2 7 G E D F A C B P P 2（1）如图 1，在等边ABC中，AC7，点P在ABC内，且APC90，BPC120， 求APC的面积； （2）如图 2，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，BAEADC，BECE2，CD5， ADkAB（k为常数），求BD的长
6、（用含k的式子表示） 图 2 E D C B A 图 1 P C B A （1）APC的面积为 7； 3 （2）BD 2 1625k 【提示】（1）如图，将ABP绕点B顺时针旋转 60至CBQ，连结PQ易证PQC为含 30 的直角三角形令BPm，则PQm，从而APCQm，PC2m，然后解 RtAPC即可 3 （2）如图，连结AC，显然ACAB，将ABD绕点A逆时针旋转BAC的度数至ACQ，连接 DQ，则ABCADQ，从而DQkBC4k作AFDQ于点F，则DAFBAEADC， 所以AFCD，即CDQ90 在 RtCDQ中，由勾股定理可得BDCQ 2 1625k Q P C B A Q F E D C B A
