1、 专题专题 2 2函数与方程、不等式的关系函数与方程、不等式的关系 破解策略破解策略 1函数与方程的关系函数与方程的关系 （1）关于x的一元二次方程ax 2bxc0（a0）的解抛物线 yax 2bxc（a0） 与x轴交点的横坐标的值； （2）关于x的一元二次方程ax 2bxcmxn（am0）的解抛物线 yax2bxc （a0）与直线ymxn（m0）交点的横坐标的值 2函数与不等式的关系函数与不等式的关系 （1）关于x的不等式ax 2bxc0（a0）的解集 抛物线yax 2bxc（a0）位于 x轴上方的所有点的横坐标的值； （2）关于x的不等式ax 2bxc0（a0）的解集 抛物线yax 2bx
2、c（a0）位于 x轴下方的所有点的横坐标的值； （3）关于x的不等式ax 2bxcmxn（ma0）的解集 抛物线yax 2bxc（a0） 位于直线ymxn（m0）上方的所有点的横坐标的值； （4）关于x的不等式ax 2bxcmxn（ma0）的解集 抛物线yax 2bxc（a0） 位于直线ymxn（m0）下方的所有点的横坐标的值 例题讲解例题讲解 例例 1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx2（m0）与y轴交于点A，其对称 轴与x轴交于点 B若该抛物线在2x1 这一段位于直线l：y2x2 的上方，并 且在 2x3 这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式 解：解：如图，因为抛物线
3、的对称轴是x1，且直线l与直线AB关于对称轴对称 所以抛物线在1x0 这一段位于直线l的下方 又因为抛物线在2x1 这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的 横坐标为1 当x1 时，y2（1）24，则抛物线过点（1，4），将（1，4）代入y mx 22mx2，得 m2m24，则m2所以抛物线的表达式为y2x 24x2 例例 2 已知yaxbxc（a0） 的自变量x与函数值y满足： 当1x1 时， 1y1， 且抛物线经过点A（1，1）和点B（1，1）求a的取值范围 解解：因为抛物线yaxbxc经过A（1，1）和点B（1，1），代入得abc1， abc1， 所以ac0，b1，则抛物线
4、yaxxa，对称轴为x 1 2a 当a0 时，抛物线开口向下，且x 1 2a 0， 如图可知，当 1 2a 1 时符合题意，所以 1 2 a0 当1 1 2a 0 时，图像不符合1y1 的要求，舍去 当a0 时，抛物线开口向上，且x 1 2a 0 如图可知，当 1 2a 1 时符合题意，所以 0a 1 2 当 0 1 2a 1 时，图像不符合1y1 的要求，舍去 综上所述，a的取值范围是 1 2 a0 或 0a 1 2 例例3 在平面直角坐标系xOy中， 对于点P（a，b） 和点Q（a，b） 给出如下定义： 1 1 ba b ba ， 则称点Q为点P的限变点 例如：点（2，3）的限变点的坐标是
5、（2，3），点（2，5）的限变点的坐标是（2，5） （1）若点P在函数yx3（2xk，k2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b 的取值范围是5b2，求k的取值范围 ； （2）若点P在关于x的二次函数yx 22txt2t 的图象上，其限变点Q的纵坐标b的 取值范围是bm或bn，其中mn令smn，求s关于t的函数解析式及s的取 值范围 解：解：（1） 依题意，yx3 （x2） 图象上的点P的限变点必在函数y 31 3-21 xx xx 的图象上 b2，即当x1 时，b取最大值 2 当b2 时，2x3 x5 当b5 时，5x3 或5x3 x2 或x8 5b2， 由图象可知，k的取值范围是 5k8 （2）
6、yx 22txt2t（xt）2t， 顶点坐标为（t，t） 若t1，b的取值范围是bm或bn，与题意不符 若t1，当x1 时，y的最小值为t，即mt； 当x1 时，y的值小于（1t） 2t，即 n（1t） 2t smnt（1t） 2tt21 s关于t的函数解析式为st 21（t1）， 当t1 时，s取最小值 2， s的取值范围是s2 故答案为（3，1）； 点B；5k8；s2 进阶训练进阶训练 1若关于x的一元二次方程x 2axb0 有两个不同的实数根 m，n（mn），方程x 2ax b1 有两个不同的实数根p，q（pq），则m，n，p，q的大小关系为（ ） Ampqn Bpmnq Cmpnq D
7、pmqn B 【提示】【提示】 函数yx 2axb 和函数yx 2axb1 的图像如图所示，从而得到 pmn q 解：函数yx 2axb 如图所示： xq nm p O 2在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线， 交一次函数ykxb的图像于点M， 交二次函数yx2x3 的图像于点N， 若只有当2 n2 时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式 y2x1 【提示】【提示】 依据题意并结合图像可知， 一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分 别为2 和 2，由此可得交点坐标分别为2 和 2，由此可得交点坐标为（2，5）和（2， 3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可 y x M N C PB A O 3在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx 2（2m1）xm5 的图像与 x轴有两个公 共点，若m取满足条件的最小整数，当nx1 时，函数值y的取值范围是6y4n， 求n的值 n的值为2 【提示】【提示】 根据已知可得m1图像的对称轴为直线x 3 2 当nx1 3 2 时，函数值y 随自变量x的增大而减小， 所以当x1 时， 函数的值为6， 当xn时， 函数值为 4n 所 以n23n44n，解得n2 或n4（不符合题意，舍去），则n的值为2 y x x= 3 2 1 -2 O
