1、 专题专题 6 6轴对称之最短路径轴对称之最短路径 破解策略破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题常见的题型有： 1已知：在直线l同恻有 AB两点，在l上找一点P，使得APPB最小 作法：如图作点A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线，的交点就是点P 2已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|APPB|最小 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点P 3已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P使得|APPB|最大 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P A B l B A P l A A
2、B l A B l P A B l l A B P 4已知：在直线l同侧有A，B两点在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于 所给线段d），使得ACCDDB最小， 作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A，作A关于直线l的对称点A“， 连结A“B，与直线l的交点就是点 D连结AD，过点A作ACAD，交直线l于点 C则 此时ACCDDB最小 5已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQQRRP最小 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P，P“，连结PP“，与射线ON， OM的交点就是点Q，R 6已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q使得P
3、RQR最小 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作PQON，垂足为Q，PQ与射线ON的交 点就是R A B l a A“ A l B A C D O N M P P P P“ O N M R Q O N M P 7已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S使得PRRSSQ最小 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作点Q关于射线ON的对称点Q，连 纳PQ与射线OM，ON的交点就是R，S 例题讲解例题讲解 例例 1 （1）如图 1，等边ABC中，AB2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P， 使BPEP的值最小，并求BPPE的最小值 （2）如图 2，已知O的直径
4、CD为 2，AC的度数为 60，点B是AC的中点，在直径 CD上作出点P，使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值 （3）如图 3，点P是四边形ABCD内一点，BPm，ABC，分别在边AB，BC上作出 点M，N，使PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，的代数式表示） B D C A B D C A P O E D CB A 图 1 图 2 图 3 解 P P Q O N M R P O N M Q P P Q O N M Q S R H N M F E P A C D B E P O A CD B A BC D E （1）3（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD
5、于一点，这 点就是所求的点P）； （2）2（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的 点P）； （3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N， 线段EF的长度即为PMN的周长的最小值 如图，连结BE，BF， EBF2ABC2，BEBFBPm 过点B作BHEF于点H， 所以EBH 1 2 EBF，EHFH 在 RtBEH中，sin EH BE ， 所以EHBEsinmsin， 所以EF2msin， 即PMPNMNEF2msin 例例 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以 1，3
6、为半径作A，B，M，N分别是A，B上的动点，点P为x轴上的动点，求PMPN的最 小值 x y P M N B A O M A O A B N M P y x 解 如图，作A关于x轴的对称图形A，连结AB，与x轴交于点P，与A交点为M， 与B交点为N，连结PA，PA与A交点为M，则此时PAPB值最小，从而PMPN值也最 小，最小值为线段MN的长 如图，易得A（2，3），由两电间距离公式得AB52 故MN524，即PMPN524 例例 3 如图 1，等边ABC的边长为 6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点 P，N 分别是BE，BC上的动点 Q O N E P B D C AA C D B P
7、 E N O 图 1 图 2 （1）当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度； （2）如图 2，若点Q在线段BO上，BQ1，求QNNPPD的最小值 Q D A C D B P E N O Q D O N E P B D C A 图 3 图 4 解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D在AB上，且为AB的 中点 如图 3，过点D作BC的垂线，垂足为N，DN交BE于点P，连结PD，则PD PD 此时DN的长度即为PNPD长度的最小值 显然DNAD，即点N为BD的中点 所以BN 1 4 BC 3 2 ， 从而BP cos BN PBN 3 （2）如图 4，作点Q关于BC的对称
8、点Q，则BQ1，CBQ30 点D是点D关于BE的对称点，连接DQ，交BE于点P，交BC于点N 此时DQ即为QNNPPD的最小值 显然DBQ90， 所以DQ 22 BDBQ10， 即QNNPPD的最小值为10 进阶训练进阶训练 1两平面镜OM，ON相交于点O，且OMON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰 好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点 B除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作 图痕迹，并简要说明理由 A O B M N D C A B N M B O A 答案答案： 作点A关于OM的对称点A，作点B
9、关于ON 的对称点B，连接AB，与OM，ON分别交于 点D，C光线行进路线如图 2 （1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从 A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直） （2） 如图 2， 在A和B两地之间有两条河， 现要在这两条河上各建一座桥， 分别是MN和PQ， 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？ （假定河的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂 直） 解：（1）如图，过点B作BB垂直于河岸，且使BB长度等于这条河宽，连接AB交河 的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置 （2）如图，过点A
10、作AA垂直于距点A较近的河岸，且使AA长等于该河宽，同样，过点 B作BB垂直于距点B较近的河岸，且使BB长等于河宽，连接AB分别交两条河相邻 的河岸于点N， P， 过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M， 过P作PQ垂直于 该河河岸，与另一岸交点为Q， 则MN， PQ即为架桥最合适的位置 A B B A 图 1 图 2 D C B A B M Q P N A B B A 3 如图，直线 3 3 4 yx分别与x轴， y轴交于点A， B，抛物线yx 22x1 与 y 轴交于点 C 若点E在抛物线yx 22x1 的对称轴上移动，点 F在直线AB上移动，求 CEEF的最小值 x y C B AO 提示：作点C关于对称轴x1 的对称点C， 则C（2，1） 过点C作CFAB于 点F， 且于对称轴交于点E， 此时FC的长为CEEF的最小值 连接CB， CA， 作 CKx轴于点K， 则SABCSABDS梯形CKOBSCKAABFC，解得FC14 5 ， 则CE EF的最小值是14 5 x y x=1 E F K C C B AO
