1、2024年九年级中考数学复习：与圆相关的综合题 刷题练习题汇编1已知O1和O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆（1）如图1，O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作O1和O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如图2，若过O2作O2P2O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作O1和O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；（3）设在O3上任取一点P，过点P分别作O1和O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1
2、）（2）的探究，请提出一个正确命题（不要求证明）2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），（1）求该抛物线的解析式；（2）现将它向右平移m（m0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，CDP的面积为S，求S关于m的关系式；（3）如图，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m0）个单位后，B点的对应点为B，A点的对应点为A点，且满足四边形BAAB为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A
3、为顶点的三角形与BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由3如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证：直线CD是M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAM：SCEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留
4、根号）4如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm/s的速度向点C运动设点E离开点的B时间为t（s），其中1t2（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O点E为AB边上的动点（不与点A、B
5、重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值若不存在，请说明理由5已知：直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形_，_；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax22ax3a（a0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点写出顶点B的坐标（用a的代数式表
6、示）_；求抛物线的解析式；在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由6如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：当r=_时，A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；当r=_
7、时，A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；随着r的变化，A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围7如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得FBD的周长最小；（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由（4）连接BD、CD，设P为（1
8、）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得ABP与DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由8已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交O2于点F，O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO（1）求证：APO=BPO；（2）求证：EF是O2的切线；（3）EO1的延长线交O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作O3交O1C于点M，交O1B于N下列结论：O1MO1N为定值；线段MN的长度不变只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的
9、结论，以及求出它的值9如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DEx轴，E为垂足，E点的横坐标为2（1）求直线CD的解析式；（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当6t2时，求y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点10已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x
10、2，0）两点，（x1x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根（1）求点C、D及点M的坐标；（2）若直线y=kx+b切M于点A，交x轴于P，求PA的长；（3）M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由11如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O于点F（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由小明按下面的方法作出了MON的平分线：反向延长射线OM；以点O为圆心，任意长为半
11、径作圆，分别交MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；连接CB；以O为顶点，OA为一边作AOP=OCB（1）根据上述作图，射线OP是MON的平分线吗？并说明理由（2）若过点A作O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当MON=60、OF=10时，求AE的长12已知如图，过O且半径为5的P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点（1）当m=4时，填空：B的坐标为_，C的坐标为_，D的坐标为_；若以B为顶点且过D的抛物线交P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；除D
12、点外，直线AD与中的抛物线有无其它公共点并说明理由（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由13已知：如图，RtABC中，B=90，A=30，BC=6cm点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点过E作EGDE交射线BC于G（1）若E与B不重合，问t为何值时，BEG与DEG相似？（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的
13、面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？14如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？（2）若B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的P既与B相切又与AD相切？（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说
14、明理由15如图，已知抛物线m的解析式为y=x24，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D（1）求证：点D一定在抛物线n上（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明
15、理由16如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），P和Q的半径分别为4和1P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动圆心移动时，圆也跟着移动设点P和点Q运动的时间为t（秒）如图2，当时，设四边形APQB的面积为s（1）求s与t的函数关系式；（2）如图3，当P和Q外切时，求s的值；（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，P和Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由17已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0），顶点C（1，3），与x轴交于A，B两
16、点，A（1，0）（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由18请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PC
17、PD请你根据以上材料，解决下列问题已知O的半径为2，P是O内一点，且OP=1，过点P任作弦AC，过A、C两点分别作O的切线m和n，作PQm于点Q，PRn于点R（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OPAC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明19已知AB是O的直径，C是O上一点，连接AC，过点C作CDAB于点D（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图）求证：AC2=AGAF（2）李
18、明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与O相交于点H（如图）连接FH后，他惊奇地发现GFH=AFC根据这一条件，可证GFGA=GHGC请你帮李明给出证明（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图、所示，还有许多结论成立请你根据图或图再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）20如图（1），已知圆O是等边ABC的外接圆，过O点作MNBC分别交AB、AC于M、N，且MN=a另一个与ABC全等的等边D
19、EF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EFBC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与ABC的面积有何关系吗？为什么？21如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上
20、运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿ABC运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿AODCB运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）（1）点E的坐标是_；（2）三角形ABE的面积是_；（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得SAPQ：SABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？22如图，A和B是外离两圆，A的半径长为2，B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切A于点C，PD切B于点D（1）若PC=PD，求PB的长（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存
21、在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PCPD时，就有APCPBD请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与B的位置关系，证明你的结论23已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；（2）求点A及点C的坐标；（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存
22、在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标24关于图形变化的探讨：（1）例题1如图1，AB是O的直径，直线l与O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF上题中，当直线l向上平行移动时，与O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的
23、字母，并写出与相应的结论等式判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明结论_证明结论成立或说明不成立的理由（2）例题2如图4，BC是O的直径直线1是过C点的切线N是O上一点，直线BN交1于点M过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2把例题2中的直线1向上平行移动，使之与O相交，且与直线BN交于B、N两点之间其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明结论_证明结论成立或说明不成立的理由：（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一
24、个变化规律_25如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C的坐标；（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PHPA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由26如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边CBD，直线DA交y轴于点E（1）试问OBC
25、与ABD全等吗？并证明你的结论；（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m27如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0t15），（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留（2）设点C始终为的中点，过C作CDAB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FNCD，过C作圆的切线交FN于N求证：CNAE；
26、四边形CGFN为菱形；是否存在这样的t值，使BE2=CFCB？若存在，求t值；若不存在，说明理由28如图，O经过O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO交O于点P，交EF于点C，交O于点Q，且EF=2，sinP=（1）求证：PE是O的切线；（2）求O和O的半径的长；（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围29已知RtABC，BAC=90，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是O上一动点
27、，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆O与DB相交于点Q时，过D作DHAB（垂足为H）并交O于点P，问：当O变动时DPDQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由参考答案1已知O1和O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆（1）如图1，O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作O1和O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如图2，若过O2作O2P2O1O2交
28、O3于点P2，又过点P2分别作O1和O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；（3）设在O3上任取一点P，过点P分别作O1和O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题（不要求证明）解：（1）在图1中，由已知A为切点，得O1A1P1A1O1A1P1是直角三角形同理可得O2B1P1是直角三角形P1A1=，P1B1=P1A1：P1B1=：=2：（2）在图2中，连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3在RtO2O3P2中，P2O2=4，P2B2=同理可解，得P2O1=，P2A2=P2A2：P2B2=：=：=2：（3）提出的命题是开
29、放性的，只要正确都可以如：1设在O3上任取一点P，过点P分别作O1、O2的切线PA、PB（A、B为切点）则有PA：PB=2：或PA：PB是一个常数；2在平面上任取一点P，过点P分别作O1、O2的切线PA、PB（A、B为切点），若PA：PB=：，则点P在O3上2如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），（1）求该抛物线的解析式；（2）现将它向右平移m（m0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，CDP的面积为S，求S关于m的关系式；（3）如图，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于
30、点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m0）个单位后，B点的对应点为B，A点的对应点为A点，且满足四边形BAAB为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A为顶点的三角形与BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得，c=0，由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），将他们的坐标值分别代入解析式可得，解得，故该抛物线的解析式为：y=2x2+4x；（2）现将它向右平移m（m0）个单位，所得抛物线解析式为：y=2（xm）2+4（xm），原抛物线与平移后的解析式交于P点，则有
31、，解得，即P点坐标为：（，），那么CDP的高为：，而CD=2，则S=2（），化简得，S=；（3）如图，四边形BAAB为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，B点的纵坐标为：=，那么tanBAA=，故BAA=ABA=30，AE=AE=，则=正好是tan30的值，故BAE=90而BAEAEF，则AEF=90，AF=，则AF=2=，F横坐标为：2+=，故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（，0）3如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求
32、证：直线CD是M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得SPAM：SCEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）OC=3C（0，）（2）证法一：在RtDCO中，DC=6在DCM中，CM2+DC2=144DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144CM2+DC2=DM
33、2DCM直角三角形MCDC，而MC是M的半径CD是M的切线证法二：在RtCOM中，sinMCO=，MCO=30在RtDOC中，tanDCO=，DCO=60DCM=MCO+DCO=90MCDC，而MC中的M半径（3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得：解得：抛物线的解析式为：y=x212x+27（4）存在设抛物线的对称轴交x轴于点H在（2）中已证：DCO=60，CDO=30抛物线的对称轴平行于y，CEF=DCO=60OD=OA=9，CO垂直平分ADCAO=CDO=30在RtAFH中，AFH=60EFC=60CEF是等边三角形过点C作CGEF于点G，则CG=6可得：
34、EF=4，SCEF=EFCG=46=12；若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），SPAM=AMy=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3，解得：y=4当y=4时，即x212x+27=4，解得x=6P（6，4）或（6+，4）若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y）SPAM=AM（y）=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3解得：y=4当y=4时，即x212x+27=4，解得x=6P（6，4）或（6+，4）这样的点共有4个，P（6，4）或（6+，4）或（6，4）或（6+，4）4如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=
35、2cm 的半圆O两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线ADC以2cm/s的速度向点C运动设点E离开点的B时间为t（s），其中1t2（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F
36、，设EB=x，FD=y（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值若不存在，请说明理由解：（1）如图1，设E、F出发后运动了t s时，有EF和BC平行则BE=t，DF=2t2t=42t解得t=当t=s时，线段EF和BC平行（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切作OMEF于点M，ONCF交EF于点N，KFBC交AB于点K，如图2则OM=1，BE=t，CF=42t，EK=t（42t）=3t4，ON=t+（42t）=2t在RtOMN中，MN2=ON2OM2=4t28t+3OMNFKE，将有关数据
37、代入上式并整理，得2t24t+1=0解得t=1t2，t=当t=s时，线段EF与半圆相切（3）当1t2时，点P的位置不会发生变化证明：设1t2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图则BE=t，AE=2t，CF=42t又ABDCAEPCFP，即点P的位置与t的取值无关当1t2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为变式题答案：（1）如图（1），当F点在CD的延长线上，过E作EHDC，交DC于F点，易证EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，在RtEHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y+2x）2=（x+2+y）2，整理得xy+2x1=0，12x0点F在DC上的函
38、数关系式为（）如图（2），当E点重合于D点时，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，DH=DCHC=2x，即在RtEHD中，ED2=EH2+HD2，（x+2）2=22+（2x）2，解得，如图（3），当F点在DC上，在RtEHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y2+x）2=（x+2y）2，整理得xy=2x1，2x10，点F在DC上的函数关系式为（）；（2）如图（3），假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，2x+2+y=x+2+2y整理得x=y由上面可知，=x，解得x=1，存在切线EF，把正方形的周长分成相等的两部分，此时
39、x=15已知：直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形OADCDB，ADBECB；（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax22ax3a（a0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）（1，4a）；求抛物线的解析式；在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）OADCDB，ADBECB；（4
40、分）（2）（1，4a）（5分）OADCDB（6分）ax22ax3a=0，可得A（3，0）（8分）又OC=4a，OD=3a，CD=a，CB=1，a2=1，a0，a=1；故抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（10分）存在，（11分）设P（x，x2+2x+3）PAN与OAD相似，且OAD为等腰三角形PN=AN当x0（x1）时，x+3=（x2+2x+3），x1=2，x2=3（舍去），P（2，5）（13分）当x0（x3）时，x3=（x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去）符合条件的点P为（2，5）（14分）6如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴
41、相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：当r=2时，A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；当r=6时，A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；随着r的变化，A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x4）2+4，则有：
42、a（04）2+4=0，解得a=y=（x4）2+4根据A（4，4）可知，AOB=45AO=AB，AOB为等腰直角三角形OAB=90，即O、A、D三点共线，因此直线BDy轴，直线ACx轴，则有：C（12，4）D（8，8）（2）设平移后的抛物线的解析式为y=（x4）2+4+h（h0），将C点坐标代入有：4=（124）2+4+h，解得h=16平移后抛物线的解析式为y=（x4）2+20当x=8时，y=128，因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D（3）2；6；当0r2时0个；当r=2时1个；当2r6时2个；当r=6时3个；当r6时4个7如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为
43、圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得FBD的周长最小；（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得ABP与DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）OA=，AD=AC=2，C（3，0）又在RtAOD中，OA=OD=3，D（O，3），又D，C两点在抛物线上，c=3，b=，抛物线的解析式为y=x2x3；（2）y=x2x3=（x）24
