1、2024年九年级中考数学复习：与三角形有关的路径长问题 刷题练习题汇编一选择题（共10小题）1如图，在等边ABC中，AB6，AFB90，则CF的最小值为（）A3BC63D332如图，在等边ABC中，AB12，点D在AB边上，AD4，E为AC中点，P为ABC内一点，且BPD90，则线段PE的最小值为（）A32BC24D483等边ABC中，AB6，ADBC于点D、E是AC的中点，点F在线段AD上运动，则EF+CF的最小值是（）A6B3C6D34如图，在锐角ABC中，AB6，BAC60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A3BCD65如图，等边AB
2、C中，AB10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG5，则EF+CG的最小值是（）A5B5C5+5D156如图，在等边ABC中，AB9，N为AB上一点，且AN3，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是（）A6BCD37如图，在RtABC中，BAC90，ACB30，AB6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A3B2C6D38如图，在RtABC中，ACB90，ACBC6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则CDE周长的最小值为（）A3B3C3+3D3+39如
3、图，边长为a的等边ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是（）ABCD10如图，MNP中，P60，MNNP，MQPN，垂足为Q延长MN至G，取NGNQ，若MNP的周长为12，则MGQ周长是（）A8+2B6+4C8+4D6+2二填空题（共7小题）11如图在RtACB中，C为直角顶点，ABC25，O为斜边中点将OA绕着点O逆时针旋转（0180）至OP，当BCP恰为轴对称图形时，的值为 12如图，在RtABC中，C为直角顶点，ABC20，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转（0180）至OP，当BCP恰为轴对称图形时，的值为 13如图，在ABC中，D
4、是BC的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F若ACB60，DAC44，则FBC的度数是 14如图，ABC中，D为边AB的中点，E为边BC上一点，ED延长线交CA延长线于点F，以下结论正确的有 若ABBC，BEDE，则AFAD；若ACB90，CEDE，则ADBDCECB；当时，则；当x，y时，则x+y215如图，等边ABC中，AB4，E是线段AC上的任意一点，BAC的平分线交BC于D，AD2，F是AD上的动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为 16如图，在边长为6的等边ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BDCE，连接BE、AD，相交于点F连接CF，则CF的
5、最小值为 17定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB90，若点D是斜边AB的中点，则CDAB，运用：如图2，ABC中，BAC90，AB2，AC3，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED连接BE，CE，DE，则CE的长为 三解答题（共5小题）18如图1，在ABC中，ACB90，B20，点O在AB边上，连接OC，已知OAOBOC（1）直接写出A的度数；（2）如图2，将OA绕着点O逆时针旋转角至OP，连接BP、CP当40时，请你通过计算说明BCPBPC；当PBCPCB时，求旋转角的度数（0180）19如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在
6、x轴、y轴的正半轴上，OAOB2，等腰直角OCD的直角顶点O在原点，点C、D 分别在线段OA、OB上，且点D为线段OB的中点，将OCD绕点O逆时针旋转（0180）得到等腰直角OC1D1，连接AC1、BD1，在旋转过程中：（1）求证：AC1BD1；（2）是否存在OAC1的面积与OCD的面积相等？若存在，请求出对应的度数；若不存在，请说明理由；（3）连接C1C、D1C，求C1CD1的度数20【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第69页的部分内容请根据教材内容，结合图，写出完整证明过程【解决问题】如图，ABC中，BAC90，AD是边BC上的中线，请写出线段AB，AC，AD之间的数量关系，并
7、说明理由【结论应用】如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，若BFC120，则AEF的度数为 21课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题如图1，ABC中，若AB12，AC8，求BC边上的中线AD的取值范围小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DEAD，连接BE请根据小颖的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB，依据是 ；ASSSBSASCAASDHL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结
8、论集合到同一个三角形中完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答（3）在ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连接BE并延长交边AC于点F如图3，若AD是ABC的中线，且AFEF，求证：ACBE如图4，若E是BF的中点，求证：AFCDACBD22如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F（1）若点F是AC中点，求证：ABEBAE；（2）如图2，若DBEDEB，求证：AECF；猜想的值并写出计算过程参考答案一选择题（共10小题）1如图，在等边ABC中，AB6，AFB90，则CF的最小值为（）
9、A3BC63D33解：如图取AB的中点E，连接EF、ECABC是等边三角形，AEEB，ABBC6，CBE60，CEBCsin603，AFB90，AEEB，EFAB3，CFECEF，当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为33，故选：D2如图，在等边ABC中，AB12，点D在AB边上，AD4，E为AC中点，P为ABC内一点，且BPD90，则线段PE的最小值为（）A32BC24D48解：以BD为直径作O，连接OE交O于点P，则OE的长度最小，即EP最小，过点E作EFAB于点F，在RtAEF中，A60，AE6，AF3，EF3，在RtOEF中，EF3，OF5，OE2，PE24，即线段PE的最小值为2
10、4，故选：C3等边ABC中，AB6，ADBC于点D、E是AC的中点，点F在线段AD上运动，则EF+CF的最小值是（）A6B3C6D3解：如图，作点E关于直线AD的对称点E，连接CE交AD于FEF+FCFE+FC，当C、E、F共线时，EF+CF最小值CE，ABC是等边三角形，ABBCAC6，AEAE3，AEEB3，ACB60，ACEBCE30，CEAB，CEBC3，故选：B4如图，在锐角ABC中，AB6，BAC60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A3BCD6解：在AC上取一点E，使得AEAB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，
11、BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD平分CAB，AEAB，EOOB，ADBE，AD是BE的垂直平分线（三线合一），E和B关于直线AD对称，EMBM，即BM+MNEM+MNEN，ENAB，ENA90，CAB60，AEN30，AEAB6，ANAE3，在AEN中，由勾股定理得：EN3，即BM+MN的最小值是3故选：B5如图，等边ABC中，AB10，E为AC中点，F，G为AB边上动点，且FG5，则EF+CG的最小值是（）A5B5C5+5D15解：如图：作C点关于AB的对称点C，则CGCG，取BC的中点Q，连接EQ，GQ，点E是AC的中点，EQAB5FG，
12、EQAB，四边形EFGQ是平行四边形，EFGQ，当点C，G，Q在同一条线上时，CG+EF最小，作CHBC交BC的延长线于点H，BCBC10，CBC120，HC5，HB5，HQ10，CQ5，EF+CG的最小值是5故选：A6如图，在等边ABC中，AB9，N为AB上一点，且AN3，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是（）A6BCD3解：连接CN，与AD交于点M则CN就是BM+MN的最小值取BN中点E，连接DE，等边ABC的边长为9，AN3，BNACAN936，BEENAN3，又ADBC，DE是BCN的中位线，CN2DE，CNDE，又N为AE的中点，M为
13、AD的中点，MN是ADE的中位线，DE2MN，CN2DE4MN，CMCN在直角CDM中，CDBC4.5，DMAD，CM，CN3BM+MNCN，BM+MN的最小值为3故选：D7如图，在RtABC中，BAC90，ACB30，AB6，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A3B2C6D3解：设PQ与AC交于点O，作OPBC于P如图所示：在RtABC中，ACB30，BC2AB12，AC6，四边形PAQC是平行四边形，OAOC3，OPBC，ACB30，OPOC，当P与P重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，PQ的最小值2OP3故选：D8如图
14、，在RtABC中，ACB90，ACBC6，D为AC的中点，E是线段AB边上一动点，连接ED、EC，则CDE周长的最小值为（）A3B3C3+3D3+3解：过点D作D点关于直线AB的对称点D，连接DC，交AB于E，连接AD，此时DE+CEDE+ECDC的值最小在RtABC中，ACB90，ACBC6，D为AC的中点，BAC45，DC3，由对称性可知DAEDAE45，ADAD，DAD90，D是AC边的中点，AC6，AD3，根据勾股定理可得：DC3，CDE周长的最小值：DE+CE+DCDC+DC3+3故选：D9如图，边长为a的等边ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距
15、离的最大值是（）ABCD解：取AB的中点D，连接OD，CD，在OCD中，OCOD+CD，只有当O，D，C三点在一条线上时，OCOD+CD，此时OC最大，如图所示，OCAB，AOB为等腰直角三角形，ABa，ODABa，在RtBCD中，BCa，BDa，根据勾股定理得：CDa，则OCOD+DCa+a故选：B10如图，MNP中，P60，MNNP，MQPN，垂足为Q延长MN至G，取NGNQ，若MNP的周长为12，则MGQ周长是（）A8+2B6+4C8+4D6+2解：MNP中，P60，MNNP，PMN是等边三角形，PMNPNM60，PMMNPN，MNP的周长为12，MNPNPM4，MQPN，NQPQ2，M
16、QN90，QMNPMN30，在RtMQN中，由勾股定理得：MQ2，NGNQ，GGQN，G+GQNPNM60，G30，NMQ30，GGQN，GQAQ2，MN4，NGNQ2，MGQ周长是MG+GQ+MQ（4+2）+2+26+4，故选：B二填空题（共7小题）11如图在RtACB中，C为直角顶点，ABC25，O为斜边中点将OA绕着点O逆时针旋转（0180）至OP，当BCP恰为轴对称图形时，的值为50或65或80解：BCP恰为轴对称图形，BCP是等腰三角形，如图1，连接AP，O为斜边中点，OPOA，BOOPOA，APB90，当BCBP时，BCPBPC，BCP+ACPBPC+APC90，ACPAPC，AC
17、AP，AB垂直平分PC，ABPABC25，22550，当BCPC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，BCCP，BOPO，CH垂直平分PB，CHB90，OBOC，BCHABC25，CBH65，OBH40，24080，当PBPC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，ACB90，O为斜边中点，OBOC，PG垂直平分BC，BGO90，ABC25，BOG65，综上所述：当BCP恰为轴对称图形时，的值为50或65或80，故答案为：50或65或8012如图，在RtABC中，C为直角顶点，ABC20，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转（0180）至OP，当BCP恰为轴对称图形时，的值为 40
18、或100或70】解：BCP恰为轴对称图形，BCP是等腰三角形，如图1，连接AP，O为斜边中点，OPOA，BOOPOA，APB90，当BCBP时，BCPBPC，BCP+ACPBPC+APC90，ACPAPC，ACAP，AB垂直平分PC，ABPABC20，22040，当BCPC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，BCCP，BOPO，CH垂直平分PB，CHB90，OBOC，BCHABC20，CBH70，OBH50，250100；当PBPC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，ACB90，O为斜边中点，OBOC，PG垂直平分BC，BGO90，ABC20，BOG70，综上所述：当BCP恰为轴
19、对称图形时，的值为40或100或70，故答案为：40或100或7013如图，在ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F若ACB60，DAC44，则FBC的度数是32解：如图，延长AD到G使DGAD，连接BG，在ACD与GBD中，ACDGBD，CADG，ACBG，BEAC，BEBG，GBEG，BEGAEF，AEFEAF，ACB60，DAC44，ADC180604476，BEDAEFDAC44，FBCADCBED764432，故答案为：3214如图，ABC中，D为边AB的中点，E为边BC上一点，ED延长线交CA延长线于点F，以下结论正确的有若ABBC，BEDE，
20、则AFAD；若ACB90，CEDE，则ADBDCECB；当时，则；当x，y时，则x+y2解：如图1中，BEBD，BDEBEDADC，BEDF+F，FBED，FADF，ADAF，故错误如图2中，ACB90，ADDB，DCADDB，DCBB，ECED，DCECDE，CDEB，DCEBCD，DCEBCD，DC2CECB，ADDBECCB，故正确如图3中，作ANBC交EF于NANCB，NADEBD，在ADN和BDE中，ADNBDE，ANBE，AF：AC1：2，故错误由可知：，x，y，x+y2，故正确故答案为15如图，等边ABC中，AB4，E是线段AC上的任意一点，BAC的平分线交BC于D，AD2，F是
21、AD上的动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为2解：AD是等边ABC的BAC的平分线，ADBC，BDCD，点B、C关于AD对称，过点B作BEAC于E，交AD于F，连接CF，由轴对称确定最短路线问题，点E、F即为使CF+EF的最小值的点，ABC是等边三角形，AD、BE都是高，BEAD2，CF+EF的最小值BE2故答案为：216如图，在边长为6的等边ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BDCE，连接BE、AD，相交于点F连接CF，则CF的最小值为6解：如图，ABC是等边三角形，ABBCAC，ABCBACBCE60，BDCE，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），BADCBE
22、，又AFEBAD+ABE，AFECBE+ABEABC，AFE60，AFB120，以AFB为圆周角的边作圆O，点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，此时AOB120，OA6，OC2OA12，连接OC交O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值OCON1266故答案为617定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB90，若点D是斜边AB的中点，则CDAB，运用：如图2，ABC中，BAC90，AB2，AC3，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED连接BE，CE，DE，则CE的长为解：如图，连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，BA
23、C90，AB2，AC3，由勾股定理得BC，由题可得ADDCDB，BCAHABAC，AH，AEAB，DEDB，点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，AD垂直平分线段BE，ADBOBDAH，OB，BE2OB，在RtBCE中，EC故答案为三解答题（共23小题）18如图1，在ABC中，ACB90，B20，点O在AB边上，连接OC，已知OAOBOC（1）直接写出A的度数；（2）如图2，将OA绕着点O逆时针旋转角至OP，连接BP、CP当40时，请你通过计算说明BCPBPC；当PBCPCB时，求旋转角的度数（0180）解：（1）ACB90，B20，A90B902070；（2）40，OBOP，O
24、PBOBP20，OBOC，OBCOCB20，OCOP，OCPOPC，OCP+OCBOPC+OPB，BCPBPC；OBOC，OCBOBC20，OBOP，OBPOPB，OCOP，OCPOPC，PBCPCB，OBPOCP，OBPOPBOCPOPC（18040）435，旋转角7019如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OAOB2，等腰直角OCD的直角顶点O在原点，点C、D 分别在线段OA、OB上，且点D为线段OB的中点，将OCD绕点O逆时针旋转（0180）得到等腰直角OC1D1，连接AC1、BD1，在旋转过程中：（1）求证：AC1BD1；（2）是否存在OAC1的面
25、积与OCD的面积相等？若存在，请求出对应的度数；若不存在，请说明理由；（3）连接C1C、D1C，求C1CD1的度数【解答】（1）证明：由旋转的性质可得：OCDOC1D1，OC1OD1，AOC1BOD1，在AOC1 和BOD1 中，AOC1BOD1，AC1BD1（2）解：如图1，由（1）得AOC1BOD1，OCDOC1 D1，SAOC1SBOD1，SOCDSOC1D1，假设OAC1 的面积等于OCD的面积，SAOC1SBOD1SOCDSOC1 D1，当SBOD1SOC1 D1，BC1OD1，在等要直角三角形OC1 D1 中，C1 OD190，OC1OD1，BC1OD1，BC1OC1，由（1）得O
26、C1OD1OCOD，点C，D，C1，D1 均在以O为圆心，OD长为半径的圆O上，BC1OC1，BC1为O的切线，切点为C1，过圆外B点与O相切的直线有且只有2条，当切点C1 在第一象限时，在直角BC1O中，D为斜边OB的中点，连接DC1，C1 DBDOD1，ODDC1C1 O1，ODC1 为等边三角形，DOC160，CODDOC1906030，如图2，当切点C1 在第二象限时，同理，在RtBC1O中，D为斜边OB的中点，连接DC1，C1 DBDOD，ODDC1C1 O1，ODC1为等边三角形，DOC160，COD+DOC190+60150，OAC1 的面积等于OCD的面积时，30或150；（3
27、）解：由（2）得点C，D，C1，D1 均在以O为圆心，OD长为半径的圆O上，当0180时，在O中圆周角C1CD1 对着劣弧C1 D1，C1 CD1C1 OD14520【教材呈现】如图是华东师大版八年级上册数学教材第69页的部分内容请根据教材内容，结合图，写出完整证明过程【解决问题】如图，ABC中，BAC90，AD是边BC上的中线，请写出线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由【结论应用】如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于点F，若BFC120，则AEF的度数为60【解答】【教材呈现】证明：D是边BC的中点，BDCD，CEAB，BDCE，B
28、ADE，ABDECD（AAS），ADED；【解决问题】解：AB2+AC24AD2，理由如下：过B作BEAC交AD的延长线于E，如图所示：则CDBE，CADE，同得：BDECDA（AAS），EBAC，EDAD，AE2AD，ECAD，ABC90，E+BAEBAE+CADBAC90，ABE90，AB2+BE2AE2，AB2+AC24AD2【结论应用】解：过B作BGAC交AD的延长线于G，如图所示：由得：CADG，ACDGBD，ACBG，BEAC，BEBG，GBEG，BEGAEF，AEFCAD，即AEFEAF，BFCAEF+EAF120，AEFBFC60，故答案为：6021课外兴趣小组活动时，老师提出
29、了如下问题如图1，ABC中，若AB12，AC8，求BC边上的中线AD的取值范围小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DEAD，连接BE请根据小颖的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADCEDB，依据是B；ASSSBSASCAASDHL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是2AD10解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答（3）在ABC中，D是BC上一点，连接AD，E是AD上一点，连接BE并延长交边AC于点F如
30、图3，若AD是ABC的中线，且AFEF，求证：ACBE如图4，若E是BF的中点，求证：AFCDACBD【解答】（1）解：在ADC和EDB中，ADCEDB（SAS），故选：B；（2）解：ADCEDB，BEAC，在ABE中，ABBEAEAB+BE，42AD20，2AD10，故答案为：2AD10；（3）证明：如图，延长AD到点G，使DGAD，连接BGADDG，ADCGDB，CDDB，ADCGDB（SAS），ACBG，DACG，BGAC，FAEG，AFEF，FAEAEF，BEGG，BEBG，ACBE证明：延长AD到H，使得EHAE，连接BHAEEH，AEFBEH，EFEB，AEFHEB（SAS），BH
31、AF，HEAF，BHAC，BDHCDA，AFCDACBD22如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F（1）若点F是AC中点，求证：ABEBAE；（2）如图2，若DBEDEB，求证：AECF；猜想的值并写出计算过程（1）证明：ACBC，CABCBA，点D是BC的中点，点F是AC中点，CFCD，CC，BCFACD（SAS），CBFCAD，ABEBAE；（2）证明：连接CE，DBEDEB，BDDECD，BEC90，FCECBFBEDAEF，FAEEAC，EAFCAE，即AE2ACAF，AF，CFACAFAC；设ACBC2x，则BDCDx，ADx，AE（1）x，CF2x（1）x，AECF；解：猜想：，理由如下：CF（1）x，AF2x（1）x（3）x，第 38 页 共 38 页
