1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 欣赏下面海螺的图片：欣赏下面海螺的图片： 在数学中也有这样一幅美丽的在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型海螺型”图案，图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽如第七届国际数学教育大会的会徽. . 导入新知导入新知 这个图是怎样这个图是怎样 绘制出来的呢？绘制出来的呢？ 2. 能利用勾股定理在数轴上作出表示能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点无理数的点. 1. 会用勾股定理解决简单的实际问题会用勾股定理解决简单的实际问题，建立，建立数数 形结合形结合的思的思想想. 素养目标素养目标 3.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理灵活运用勾股定理进行
2、计算，并会运用勾股定理 解决相应的解决相应的折叠问题折叠问题. 在在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后，条直角边分别相等的两个直角三角形全等学习了勾股定理后， 你能证明这一结论吗？你能证明这一结论吗？ 知识点 1 探究新知探究新知 证明证明“HL” 已知：如图，在已知：如图，在RtABC 和和RtAB C中，中， C=C=90，AB=AB ，AC=AC 求证：求证：ABC AB C A B C A BC 22 BCABAC ，=-=- 22 B CA BA C =-=- 证证明：
3、明：在在RtABC 和和RtA B C中中，C=C=90， 根根据勾股定理，得据勾股定理，得 A B C A BC AB=AB , AC=AC , BC=BC ABC A B C （SSS） 探究新知探究新知 -1 0 1 2 3 问题问题1 你能在数轴上表示你能在数轴上表示出出 的点吗？的点吗？ 呢？呢？22 用同样的方法作用同样的方法作 呢？呢？ 3, 4, 5, 6, 7 探究新知探究新知 知识点 2利用勾股定理在数轴上确定无理数利用勾股定理在数轴上确定无理数 提示：提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数 轴上画出表示该无理
4、数的点轴上画出表示该无理数的点. . 【讨论讨论】根根据上面问题你能在数轴上画出表示据上面问题你能在数轴上画出表示 的的点吗？点吗？13 1 13 2 13 3 13? ? ? 问题问题2 长长为为 的线段是的线段是直角边的长都为正整数的直角三角直角边的长都为正整数的直角三角 形的斜边吗？形的斜边吗？ 13 探究新知探究新知 01234 步骤：步骤： l A B C 1.在数轴上找到点在数轴上找到点A,使使OA=3; 2.作直线作直线lOA,在在l上取一点上取一点B，使，使AB=2; 3.以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于为半径作弧，弧与数轴交于C 点，则点点，则点
5、C即为表即为表示示 的点的点.13 3 13 2 O 探究新知探究新知 也可以使也可以使OA=2， AB=3，同样可同样可 以求出以求出C点点. . 探究新知探究新知 方法点拨 利用勾股定理表示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法: : （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的数的直角三角形的斜边斜边. . （2）以原点为圆心，以）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点存在交点，在原点，在原点左边的点左边的点表示是负无理数，在原点表示是负无理数，在原点右边右边 的点的点表示
6、是正无理数表示是正无理数. . 01234 l A B C 1 17 ? 探究新知探究新知 利用勾股定理在数轴上确定无理数的点利用勾股定理在数轴上确定无理数的点 素养考点素养考点 1 例例 在在数轴上作出表数轴上作出表示示 的点的点. . 17 作作法法： （1）在数轴上找到点在数轴上找到点A，使，使OA=1； （2）过点过点A作直线垂直于作直线垂直于OA，在直线上在直线上取点取点B, 使使AB=4，那么，那么OB= ； （3）以原点以原点O为圆心，以为圆心，以OB为半径作为半径作 弧，弧与数轴交于点弧，弧与数轴交于点C，则，则OC= . 如如图，在数轴上，点图，在数轴上，点C为表示为表示 的
7、点的点. 17 17 17 如如图，点图，点A表示的实数是表示的实数是 （）（） 如如图，在矩形图，在矩形ABCD中，中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点在数轴上，若以点 A为圆心，对角线为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于的长为半径作弧交数轴于点点M，则点则点M表表 示的数为（）示的数为（） A.2 B. 51 C. 101 D. 5 C A.3 B.5 C.3 D.5 D 巩固练习巩固练习 在在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请，请 在给定网格中以在给定网格中以A出发分别画出长度为出发分别画出长度为 的线段的线段AB25, 8
8、， 2AB5AB8AB BB B 探究新知探究新知 知识点 3 利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段利用勾股定理在网格上做长度为无理数的线段 A. A.A. A 【想想一一想想】如如图为图为44的正方形网格的正方形网格, ,以格点与点以格点与点A为端为端 点点, ,你能画出几条边长为你能画出几条边长为 的线段的线段? ?10 探究新知探究新知 小结：小结：勾股定理与网勾股定理与网 格的综合求线段长时，格的综合求线段长时， 通常是把线段放在与通常是把线段放在与 网格构成的直角三角网格构成的直角三角 形中，利用勾股定理形中，利用勾股定理 求其长度求其长度. . 例例 如图是由如图是由4个边长为
9、个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻的正方形构成的田字格，只用没有刻 度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为为 的线段？的线段？5 解：解：如图所示，有如图所示，有8条条. . 素养考点素养考点 1 利用勾股定理在网格上作线段利用勾股定理在网格上作线段 探究新知探究新知 一个点一个点地一个点一个点地 找，不要漏解找，不要漏解. . 如如图，在图，在55正方形网格中，每个小正方形的边正方形网格中，每个小正方形的边 长均长均为为1，画出一个三角形的长分别为，画出一个三角形的长分别为 . 2210、 A B C 解：解：如图所示如图所示. .
10、 巩固练习巩固练习 A B 如如图，四边形图，四边形ABCD是边长为是边长为9的正方形纸片，将其沿的正方形纸片，将其沿MN折折 叠，使点叠，使点B落在落在CD边上的边上的B处，点处，点A的对应点为的对应点为A，且，且BC3， 求求AM的长的长. . 解：解：连接连接BM，MB.设设AMx， 在在RtABM中，中，AB2AM2BM2. 在在RtMDB中，中，MD2DB2=MB2. MBMB，AB2AM2MD2DB2， 即即92x2(9x)2(93)2， 解得解得x2.即即AM2. 知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度 探究新知探究新知 探究新知探究
11、新知 方法点拨 折叠折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法问题中结合勾股定理求线段长的方法: : ( (1) )设一条设一条未知未知线段的长为线段的长为x( (一般设所求线段的长为一般设所求线段的长为x) )； ( (2) )用用已知已知线段或线段或含含x的代数式的代数式表示出其他线段长；表示出其他线段长； ( (3) )在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的的 方程方程； ( (4) )解这个方程，从而求出所求解这个方程，从而求出所求线段长线段长. . 如图，折叠长方形如图，折叠长方形ABCD的一边的一边AD，使点，使点D落在落在BC边的边的F
12、 点处，若点处，若AB=8cm，BC=10cm，求，求EC的长的长. . D A B C E F 解：解：在在RtABF中中,由勾股定理由勾股定理得得 BF2=AF2 AB2=10282=36， BF=6cm.CF=BCBF=4cm. 设设EC=xcm，则，则EF=DE=(8x)cm ， 在在RtECF中中,根据勾股定理根据勾股定理 得得x2+ 42=(8x)2， ， 解得解得 x=3. 即即EC的长为的长为3cm. 巩固练习巩固练习 如图如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，A（4，0），），B（0，3），以），以 点点A为圆心，为圆心，AB长为半径画弧，交长为半径画弧，交x轴的负半
13、轴于点轴的负半轴于点C，则，则 点点C坐标为坐标为_ (-1，0) 连接中考连接中考 1.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴 上的上的2个单位长度的位置找一个点个单位长度的位置找一个点D，然后点，然后点D做一条垂直于数轴做一条垂直于数轴 的线段的线段CD，CD为为3个单位长度，以原点为圆心，以到点个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离的距离 为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（） A.2和和3之间之间 B.3和和4之间之间 C.4和和5之间之间 D.5和
14、和6之间之间 B 课堂检测课堂检测 D 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 2.如图，网格中的小正方形边长均为如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC的三个的三个 顶点均在格点上，则顶点均在格点上，则AB边上的高为边上的高为_. 8 13 13 课堂检测课堂检测 课堂检测课堂检测 2013 3.如图，如图，OP1，过，过P作作PP1OP且且PP11，得，得OP1 ；再过；再过P1作作 P1P2OP1且且P1P21，得，得OP2 ；又过；又过P2作作P2P3OP2且且P2P31， 得得OP32；依此法继续作下去，得依此法继续作下去，得OP2012_. 2 3 4.如图，在矩形如图，在矩形ABC
15、D中，中，AB=8，BC=4，将矩形沿，将矩形沿AC折叠，折叠， 点点D落在点落在点D处，求重叠部分处，求重叠部分AFC的面积的面积. . 解：解：易证易证AFD CFB(AAS)， DF=BF， 设设DF=x，则，则AF=8-x， 在在RtAFD中，中，AF2=DF2+AD2, (8-x)2=x2+42， S AFC= AFBC=10 1 2 课堂检测课堂检测 AF=AB-FB=8-3=5，解得解得x=3. 5.如图，数轴上点如图，数轴上点A所表示的数为所表示的数为a，求，求a的值的值. . 解：解：图中的直角三角形的两直角边为图中的直角三角形的两直角边为1和和2， 斜边长为斜边长为 ，即，
16、即-1到到A的距离是的距离是 ， 点点A所表示的数为所表示的数为 . . 22 21 = 5 5 51 提示：提示：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而 所表示的数不是斜边长所表示的数不是斜边长. . 课堂检测课堂检测 1117 3 31 22 31 3 2222 ABC S . . 在在ABC中，中，AB、BC、AC三边的长分别为三边的长分别为 , ,求这个三求这个三 角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 （每个小正方形的边长为（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出
17、格点），再在网格中画出格点ABC（即（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需 求求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积的高，而借用网格就能计算出它的面积 51013、 解：解： 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 解：解：如图如图, , 若若ABC三边的长分别为三边的长分别为 ( (a0) )，请利用图中的正，请利用图中的正 方形网格（每个小正方形的边长为方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的）画出相应的ABC，并求，并求 出它的面积出它的面积 5 ,2 2 , 17aaa 2 2 25 ,ABa
18、aa 22 222 2 ,BCaaa 2 2 417 ,ACaaa ABC即为所求，即为所求， 2 111 =2422243. 222 ABC Saaaaaaaaa A B C 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 利用勾股利用勾股 定定理作理作图图 或计算或计算 在在数轴上数轴上表示出表示出 无 理 数 的 点无 理 数 的 点 利用勾股定理解决利用勾股定理解决 网 格 中网 格 中 的 问 题的 问 题 利用勾股定理利用勾股定理 解决解决折叠问题折叠问题 及其他图形的及其他图形的 计算计算 通常与网格求线通常与网格求线 段段长或面积长或面积结合结合 起来起来 通常用通常用 到到方程方程 思想思想 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
