1、ABCD任务一 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗?为什么?任务二 怎样转动其中一张纸条，使纸条重合部分构成的四边形 ABCD 是一个正方形.八年级下册数学（人教版）八年级下册数学（人教版）第十八章 平行四边形模块三模块三如何判定平行四边形家族如何判定平行四边形家族4(菱形与正方形菱形与正方形)同样，我们是否可以通过研究菱形性质的逆命题，得到判定菱形的方法呢？请你根据菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，写下自己的猜想.菱形的性质菱形的性质菱菱形的判定形的判定菱形的对角线相互垂直猜想1菱形的四条边都相等猜想2猜想3菱形的判定菱形的判定证明：四边形
2、ABCD 是平行四边形，OA=OC.又 ACBD，BD 是线段 AC 的垂直平分线.BA=BC.ABCD 是菱形（菱形的定义）.ABCOD已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACBD.求证：ABCD 是菱形.猜想：猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.归纳总结归纳总结菱形的判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形几何语言描述：在 ABCD 中，ACBD，ABCD 是菱形.ABCD菱形 ABCD猜想：猜想：四条边相等的四边形是菱形.证明：AB=BC=CD=AD，AB=CD，BC=AD.四边形 ABCD 是平行四边形.又 AB=BC，四边形 ABC
3、D 是菱形.已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形 ABCD 是菱形.ABCD归纳总结归纳总结菱形的判定定理2四条边都相等的四边形是菱形.几何语言描述：在四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=AD，四边形 ABCD 是菱形.ABCD菱形 ABCD文字语言图形语言符号语言判定方法1判定方法2判定方法3菱形的判定：菱形的判定：ABCDAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中ACBD四边形四边形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中AB=AD四边形四边形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCD 一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的
4、平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形归纳总结归纳总结例1 如图，ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形 ABCD 是菱形.ABCDO AB=5，AO=4，BO=3，证明：ACBD.AB2=AO2+BO2.OAB 是直角三角形，ABCD 是菱形.典例精析典例精析练一练练一练2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是 .120 cm21.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边
5、形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形 正方形的判定正方形的判定做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形正方形【讨论】满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角或对角线相等已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，ACDB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：四边形 ABCD 是矩形，AO=CO=BO=DO，ADC=90.ACDB，AD=AB=BC=CD.四边形 ABCD 是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形.ABCDO猜想：做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展
6、开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形正方形【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等或对角线互相垂直矩形矩形已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：四边形 ABCD 是菱形,AB=BC=CD=AD，ACDB.AC=DB，AO=BO=CO=DO.AOD，AOB，COD，BOC 是等腰直角三角形.DAB=ABC=BCD=ADC=90.四边形 ABCD 是正方形.对角线相等的菱形是正方形.ABCDO猜想：常用的正方形判定方法：归纳总结归纳总结定义法矩形法菱形法有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.有
7、一组邻边相等的矩形是正方形.对角线相互垂直的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE=BF=CM=DN求证：四边形 EFMN 是正方形证明：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90.AE=BF=CM=DN，AN=BE=CF=DM.分析：由已知可证AENBFECMFDNM，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.典例精析典例精析在AEN、BFE、CMF、DNM 中，AE=BF=CM=DN，A=B=C=D，AN=BE=CF=DM，AENBFECMFDNM
8、.EN=FE=MF=NM，ANE=BEF.四边形 EFMN 是菱形.又NEF=180-(AEN+BEF)=180-(AEN+ANE)=180-90=90.四边形 EFMN 是正方形.3.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A当 AB=BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B当 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形 C当 ABC=90 时，四边形 ABCD 是矩形 D当 AC=BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D练一练练一练ABCD1.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗?为什么?2.怎样转动其中一张纸条，使纸条重合部
9、分构成的四边形 ABCD 是一个正方形.是一个菱形.使两纸片垂直回顾导入回顾导入ABCD5 种判定方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结或对角线垂直且相等2.一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是（）A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线互相垂直且相等 A证明：MN 是 AC 的垂直平分线，AE=CE，AD
10、=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO(ASA)AD=CE.四边形 ADCE 是平行四边形.又AOD=90，四边形 ADCE 是菱形 BCADOEMN3.如图，ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CEAB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求 BE 的长解：四边形 ABCD 为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC 是等腰直角三角形.EFFC.BEFA90，BAEFAE，AEAE，ABEAFE.ABAF1 cm，BEEF.FCBE.在 RtABC 中，FCACAF(1)cm.BE(1)cm222 cmACABBC，22
