1、专题专题 5 5等分图形面积等分图形面积 破解策略破解策略 等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为： 如图， 12 ll，点 123 AAA， ，在 1 l上，点B，C在 2 l上，则 123 A BCA BCA BC SSS 图形等分面积的常见类型有： （1）已知：ABC 作法：作中线AD 结论：直线AD平分ABC的面积 （2）已知：平行四边形ABCD 作法：过对角线交点O作直线 结论：过点O的直线平分平行四边形ABCD的面积 （3）已知：梯形ABCD，ADBC 作法：过中位线EF中点O（或上、下底边中点连线HG的中点O）作直线，且与上、下 底均相交 结论：过点O且与上、
2、下底均相交的直线平分梯形ABCD的面积 （4）已知：ABC，P为AC边上的定点 作法：作ABC的中线AD，连结PD，过点A作AEPD，交BC于点E O G H F E D CB A O D C B A D CB A l2 l1 C B A3A2 A1 结论：直线PE平分ABC面积 （5）已知：四边形ABCD 作法 ： 连结AC，过点D作DEAC，交BC的延长线于点E，连结AE，作ABE的中线AF 结论：直线AF平分平行四边形ABCD的面积 （6）已知：四边形ABCD，点P为AD上的定点 作法 ： 连结PB，PC作AEPB，DFPC，分别交直线BC于点E，F，连结PE，PF，作 PEF的中线PG
3、 结论：直线PG平分四边形ABCD的面积 （7）已知：五边形ABCDE 作法 ： 连结AC，AD，作BFAC，EGAD，分别交直线CD于点F，G，连结AF，AG，作 AFG的中线AH 结论：直线AH平分五边形ABCDE的面积 进阶训练进阶训练 HG F E D C B A P G F E D C B A B C D E F A P EDCB A 1如图，已知五边形ABOCD各定点坐标为A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0）， D（4，2），请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD平分为面积相等的两部分， 并求出该直线的表达式 答：如图： 直线的表达式为 8 4 3 yx
4、 【提示】 连结AO，作BMAO交x轴于点M，连结AC，作DNAC交x轴于点N，取MN中点 F，则直线AF将五边形ABOCD分为面积相等的两部分作AHx轴于点H，则BMO AOH， 可得点M的坐标 同理可得点N的坐标 从而求得点F的坐标 确定直线AF的表达式 2过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成 1：2 的两部分 答：如图： 【提示】 连结AC，过点D作DEAC交BC的延长线于点E，取BE的一个三等分点F或G， 则直线AF或AG即为所求 3设w是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个 正方形与w的面积相等（简称等积），那么这样的等积
5、转化称为w的“化方” O D C B A E G F A B C D D C B A x y NHF M A B C D O （1）阅读填空 如图 1，已知矩形ABCD，延长AD到点E，使DEDC，以AE为直径作半圆，延长CD交半圆 于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积 理由：连结AH，EH 因为AE为直径，所以AHE90， 所以HAEHEA90 因为DHAE，所以ADHEDH90 所以AHDHED，所以ADH 所以 ADDH DHDE ，即 2= DHAD DE 因为DEDC， 所以 2 DH ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积 （2）操作实践 平行四边形
6、的“化方”思路是 ： 先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的 正方形 如图 2，请作出与平行四边形ABCD等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹） （3）解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化 为等积的正方形 如图 3，ABC的顶点再正方形网格的格点上，请作出与ABC等积的正方形（不要求写具 体作法，保留作图痕迹，不通过计算ABC面积作图） 3 （1）HDE；ADDC； （2）作图如下： 图2 D CB A 图1 H G F ED C B A B1 C1 A BC DE F G H （3）矩形；作图如下： （4）作图如下： 【提
7、示】 （2）作法：分别过点A，D作直线BC的垂线，垂足分别为 11 BC，； 延长AD至点E，使得 1 DEDC； 以AE为直径作半圆； 延长 1 C D交半圆于点H； 以DH为边向右作正方形DFGH 则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积 （3）作法： 作ABC的中位线MN； 分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D； 延长BC至点F，使得CFCD； 以BF为直径作半圆； 延长DC交半圆于点G； 以CG为边向右作正方形CGHI 则正方形CGHI与ABC等积 （4）作法： 连结BD，过点A作AEBD交CD的延长线于点E； 作EBC的中位线MN； 分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G； 延长BC至点H使得CHCG； 以BH为直径作半圆； 延长GC交半圆于点I； 以CI为边向右作正方形CIJK 则正方形CIJK与四边形ABCD等积 （4）拓展探究 n边形（n3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1 边形一直至转化 为等积的三角形，从而实现化方 如图 4， 四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上， 请作出与四边形 ABCD等积的正方形 （不 要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈） A BC A BC D
