1、陕西 数学抛物线与几何综合题2024中考备考重难专题课件中考备考重难专题课件特殊三角形、四边形问题特殊三角形、四边形问题课件说明课件说明一、课件设计初衷 基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形基于老师在总复习过程中对重难题型有较大的需求，以及纸质图书和板书展示二次函数图象与几何图形等重难点效果不佳而设计重难专题课件等重难点效果不佳而设计重难专题课件.在制作过程中在制作过程中结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性结合课件能使题图动态化且分步骤展示的特性，有助于，有助于学生题图结合梳理题意，理解平面图形的变化过程学生题图结合梳理题意，理解平面图
2、形的变化过程.二、课件亮点1.依据区域考情，针对性选题依据区域考情，针对性选题 按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效按照本地区考情及考法选题，针对性强，有效提高老师备课效率提高老师备课效率2.贴近学生实际解题情境，贴近学生实际解题情境，形式形式符合教学习惯符合教学习惯 审题时审题时对对题目数字、题目数字、符号、辅助线、动图等符号、辅助线、动图等关键信息关键信息进行题图批注进行题图批注，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴，帮助学生梳理关键信息，激发学生兴趣，调动积极性趣，调动积极性3.含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性含解题思路引导与方法总结，提高课堂互动性 通过通过问题启发式解题思路点
3、拨问题启发式解题思路点拨，激发学生数学思考与探索，激发学生数学思考与探索.方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得方法总结使学生复习一类题，会一类题，取得有效的复习成果有效的复习成果三、课件使用场景适用于中考专题复习或题位复习适用于中考专题复习或题位复习目目录录 课堂练兵 课后小练1 典例精讲23考情分析考情分析年份年份题号题号题型题型分值分值抛物线变抛物线变化情况化情况设问形式设问形式解题关键点解题关键点 2023 24解解答答题题 10关于关于y轴轴对称对称(1)求两抛物线表求两抛物线表达式达式(2)求抛物线与求抛物线与x轴轴两交点坐标两交点坐标(3)求满足求满足平行四平行四边形边形存在的
4、点坐标存在的点坐标(1)轴对称性质，抛物线轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图的对称轴，抛物线的图象，开口方向象，开口方向(2)两点位置两点位置(3)平行四边形的性质平行四边形的性质年份年份题号题号题型题型分值分值抛物线变抛物线变化情况化情况设问形式设问形式解题关键点解题关键点 2022 24 解解 答答 题题 10 平移平移(1)判断抛物线与判断抛物线与x轴轴交点情况交点情况(2)写满足写满足等腰直角等腰直角三角形三角形存在的平移存在的平移过程过程(1)待定系数法求抛物待定系数法求抛物线表达式，一元二次线表达式，一元二次方程根的判别方程根的判别(2)抛物线图象的平移抛物线图象的平移年份年份
5、题号题号题型题型分值分值抛物线变抛物线变化情况化情况设问形式设问形式解题关键点解题关键点 2021 24解解答答题题 10中心对称中心对称(1)求与坐标轴交点求与坐标轴交点坐标坐标(2)求抛物线表达式求抛物线表达式(3)求不是菱形的求不是菱形的平平行四边形行四边形的面积的面积(1)抛物线与坐标轴的交点抛物线与坐标轴的交点问题问题(2)抛物线图象关于中心对抛物线图象关于中心对称性质称性质(3)平行四边形的性质：平平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平行四边形的对角线互相平分分典例精讲典例精讲例例 (2022陕西逆袭卷陕西逆袭卷改编改编)如图，如图，抛物线抛物线L：yx22xc的图象与的图象与
6、x轴交于轴交于A，B两点两点(点点B在点在点A的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，过点，过点A的直线与的直线与y轴交于轴交于点点D，与抛物线交于点，与抛物线交于点M，且，且tanBAM1.(1)求点求点A，B的坐标的坐标及抛物线解析式及抛物线解析式;例题图例题图令令y=0，求出求出A、B点坐标点坐标c=3注意点注意点B在点在点A的左侧的左侧解：解：(1)C(0，3)抛物线解析式抛物线解析式yx22x3，令令y0，即，即x22x30，解得解得x1或或x3，A(1，0)，B(3，0)；例题图例题图例例 (2022陕西逆袭卷陕西逆袭卷改编改编)如图，如图，抛物线抛物线L：yx22x
7、c的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点B在点在点A的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，过点，过点A的直线与的直线与y轴交于轴交于点点D，与抛物线交于点，与抛物线交于点M，且，且tanBAM1.(2)抛物线抛物线M与抛物线与抛物线L关于关于y轴对称轴对称，求抛物线，求抛物线M与与y轴交点坐标；轴交点坐标；例题图例题图将抛物线将抛物线L化为顶点式化为顶点式得到抛物线得到抛物线M解析式解析式令令x=0，求得交点坐标，求得交点坐标a(h，k)y=a(xh)2ka(h，k)y=a(x+h)2+k变化前变化前变化后变化后(2)将抛物线将抛物线L化为顶点式为化为顶点式为y(x
8、+1)24抛物线抛物线M与抛物线与抛物线L关于关于y轴对称轴对称，抛物线抛物线M的解析式为的解析式为y(x1)24令令x=0，则，则y=3，抛物线抛物线M与与y轴交点坐标为轴交点坐标为(0，3)例题图例题图例例 (2022陕西逆袭卷陕西逆袭卷改编改编)如图，如图，抛物线抛物线L：yx22xc的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点B在点在点A的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，过点，过点A的直线与的直线与y轴交于轴交于点点D，与抛物线交于点，与抛物线交于点M，且，且tanBAM1.(3)若点若点P为为抛物线抛物线L上一动点，上一动点，E为直线为直线AD上一动点，则是
9、否存在点上一动点，则是否存在点P，使得，使得以点以点A，P，E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由例题图例题图OD=OAP为抛物线为抛物线L上一动点，上一动点，思考什么情况下三角形思考什么情况下三角形APE为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？45PAEP90EPA90EAP90分类讨论分类讨论EEPEE点击跳转点击跳转几何画板几何画板(3)存在存在在在RtAOD中，中，tanBAMtanOAD 1，ODOA，BAD45.如解图，分三种情况讨论：如解图，分三种情况讨论：当当AEPE时
10、，时，AEP90，EPAEAP45，DAB45，此时点此时点P与点与点B重合，重合，点点P的坐标为的坐标为(3，0)；ODOA例题解题例题解题当当APPE时，时，EPA90，PEAEAP45，此时点此时点P与点与点B重合，重合，点点P的坐标为的坐标为(3，0)；当当APAE时，时，EAP90，设设AP与与y轴交于点轴交于点F，则则OFAOAF45，OFOA1，点点F的坐标为的坐标为(0，1)，设直线设直线AF的表达式为的表达式为ykxb(k0)，将将A(1，0)，F(0，1)代入代入ykxb中，中，直线直线AF的表达式为的表达式为yx1，设点设点P的坐标为的坐标为(x，x22x3)，x22x3
11、x1，解得解得x11(舍去舍去)，x22，当当x2时，时，y213，点点P的坐标为的坐标为(2，3)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P的坐标为的坐标为(3，0)或或(2，3)0=111kbkbb 得得，解解得得例例 (2022陕西逆袭卷陕西逆袭卷改编改编)如图，如图，抛物线抛物线L：yx22xc的图象与的图象与x轴交于轴交于A，B两点两点(点点B在点在点A的左侧的左侧)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，过点，过点A的直线与的直线与y轴交于轴交于点点D，与抛物线交于点，与抛物线交于点M，且，且tanBAM1.例题图例题图(4)抛物线抛物线M上存在一点上存在一点F，抛物线抛物线L
12、上存在一点上存在一点G，使得四边形，使得四边形ABFG为平行为平行四边形，求出四边形，求出F，G两点坐标两点坐标.题意可知题意可知AB间距离为间距离为4FG=AB=4且且FGAB抛物线抛物线M和抛物线和抛物线L关于关于y轴对称轴对称平行四边形性质平行四边形性质当当y相等，相等，两两x关于关于y轴对称轴对称4FGxxxFxGFG在在x轴上方、轴上方、FG在在x轴下方轴下方点击跳转点击跳转几何画板几何画板(4)A(1，0)，B(3，0)AB4点点F在抛物线在抛物线M上，点上，点G在抛物线在抛物线L上，且四边形上，且四边形ABFG是平行四边形是平行四边形FG AB，FG=AB=4抛物线抛物线M与抛物
13、线与抛物线L关于关于y轴对称轴对称两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y轴对称轴对称 ，xFxG分两种情况讨论，当分两种情况讨论，当F、G在在x轴上方时，即轴上方时，即xF2时时，xG2当当F、G在在x轴下方时，即轴下方时，即xF2时时，xG24FGxx例题解图例题解图将将xF2代入抛物线代入抛物线M解析式解析式yx22x3可得可得yF5，xG2，yG5，此时，此时F(2，5)，G(2，5)将将xF2代入抛物线代入抛物线M解析式解析式yx22x3可得可得yF3，xG2，yG3，此时此时F(2，3)，G(2，3)综上所述，综上所述，F(2，5)，G(2，5)或
14、或F(2，3)，G(2，3).例题解图例题解图特殊三角形特殊三角形四边形问题四边形问题探究平行四边形存在性问题的步骤：探究平行四边形存在性问题的步骤：1.三定点三定点(A、B、C)，一动点，一动点(D)：分别过点分别过点A、B、C作作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点即为所求作的点D2.两定点两定点(A、C)，两动点，两动点(E、F)：分分AC为边和为边和AC为对角线两种情况来讨论：为对角线两种情况来讨论：AC为边，平移为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置位置AC为对角线，取为对角线
15、，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点确定点E、F位置位置方法总结方法总结课堂练兵课堂练兵练习题图练习题图(1)求点求点A，B，C的坐标；的坐标；练习练习 综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线y x2 x6与与x轴交于点轴交于点A，C，与，与y轴交于点轴交于点B，点，点P是是抛物线上任意一点，连接抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.3894抛物线已知抛物线已知注意：根据图象注意：根据图象中中A、C位置判断点坐标位置判断点坐标令令x=0，求出，求出B点坐标点坐标令令y=0，求出，求出A点，点，C点坐标点坐标解：解：(1)在在y x2 x
16、6中，中，令令y0，得，得 x2 x60，解得解得x2或或x8，令令x0，得，得y6，点点A(2，0)，点，点B(0，6)，点，点C(8，0)；练习题图练习题图38943894练习练习 综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线y x2 x6与与x轴交于点轴交于点A，C，与，与y轴交于点轴交于点B，点，点P是是抛物线上任意一点，连接抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.(2)当当PBC的面积为的面积为24时，求点时，求点P的坐标；的坐标；练习题图练习题图3894求抛物线中图形求抛物线中图形面积有几种方法？面积有几种方法？直接公式法直接公式法分割法分割法补全法补全法表示表示SPBC有几种？有
17、几种？过点过点P向直线向直线BC作垂线作垂线PFBC，SPBC BC PF12过点过点P作作y轴平行线，交轴平行线，交BC于点于点E，SPBC PEOC12过点过点P向向y轴作垂线，交轴作垂线，交y轴于点轴于点G，SPBC梯形面积梯形面积SBOCSBPG铅垂法铅垂法FEG练习练习 综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线y x2 x6与与x轴交于点轴交于点A，C，与，与y轴交于点轴交于点B，点，点P是是抛物线上任意一点，连接抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.(2)当当PBC的面积为的面积为24时，求点时，求点P的坐标；的坐标；练习题图练习题图3894过点过点P作作y轴平行线，交轴平行
18、线，交BC于点于点E，SPBC PEOC12铅垂法铅垂法E是否还有其他情况？是否还有其他情况？满足满足SPBC24，P在在BC上方上方怎么找怎么找BC上方上方点点P坐标？坐标？过点过点P作作BC的平行线，向上平移同样的平行线，向上平移同样的点的点P到到BC的距离，平行线与抛物线的距离，平行线与抛物线的交点即为点的交点即为点P坐标坐标(2)当点当点P在直线在直线BC下方时，如解图下方时，如解图，过点，过点P作作PDx轴于点轴于点D，交交BC于点于点E，设直线，设直线BC的表达式为的表达式为ykxd，将点将点B(0，6)，C(8，0)代入，得代入，得 ，直线直线BC的表达式为的表达式为y x6.设
19、点设点P(m，m2 m6)(0m8)，则点，则点E(m，m6)，PE(m6)(m2 m6)m23m，SPBC PEOC (m23m)8 m212m，364806dkkdd ，解解得得343894123434389438123832解图解图答题步骤答题步骤求求BC表达式表达式设点设点P坐标坐标求求PE长长点点P在直在直线线BC下下点点P在直在直线线BC上上当点当点P在直线在直线BC上方时，如解图上方时，如解图，由平移易求得，由平移易求得lP1P2：y x，联立联立 ，此时此时综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(4，9)或或 ；3412212344 244 243933 233 2684y
20、xxxyyyxx ，解解得得，12(44 2 33 2)(44 2 33 2)PP，(44 2 33 2)(44 2,33 2)，或或解图解图当当SPBC24时，即时，即 m212m24，解得解得m4，此时，此时P(4，9)；32练习练习 综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线y x2 x6与与x轴交于点轴交于点A，C，与，与y轴交于点轴交于点B，点，点P是抛是抛物线上任意一点，连接物线上任意一点，连接PB，PC，BC.(3)若点若点Q是直线是直线x4上一点，是否存在以点上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点求
21、出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由练习题图练习题图3894当当BC为边时为边时画草图画草图PQ BC平移平移BC满足满足PQBC此时此时P点到直线点到直线x=4的距的距离等于离等于C点点横坐标长横坐标长点击跳转点击跳转几何画板几何画板练习练习 综合与探究综合与探究如图，抛物线如图，抛物线y x2 x6与与x轴交于点轴交于点A，C，与，与y轴交于点轴交于点B，点，点P是抛是抛物线上任意一点，连接物线上任意一点，连接PB，PC，BC.(3)若点若点Q是直线是直线x4上一点，是否存在以点上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请为顶点的四边形
22、是平行四边形？若存在，请求出点求出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由练习题图练习题图3894画草图画草图当当BC为对角为对角线时线时根据平行四边形对角线根据平行四边形对角线互相平分求互相平分求P点坐标点坐标点击跳转点击跳转几何画板几何画板(3)存在当以点存在当以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：如解图如解图，当，当BC作为平行四边形的一条边时，作为平行四边形的一条边时，PQBC，且，且PQBC，点点Q的横坐标为的横坐标为4，|xp4|8，解得，解得xp4或或xp12，P1(4，9)，P2(12，21)；
23、如解图如解图，当，当BC为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，设对角线交于点设对角线交于点R，则，则BRCR，点点R(4，3)，4，点，点Q在直线在直线x4上，上，点点P的横坐标为的横坐标为4，此时，此时P3(4，9)综上所述，存在满足题意的点综上所述，存在满足题意的点P，点，点P的坐标为的坐标为(4，9)或或(12，21)或或(4，9)解图解图解图解图2QPxx 课后小练课后小练练习练习1 (2022陕西原创卷陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线L：yx2bxc与与x轴交于轴交于A、B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，抛物线，抛物
24、线L与抛物线与抛物线L关于关于y轴对称轴对称练习练习1题图题图(1)求抛物线求抛物线L的表达式；的表达式；解：解：(1)分别将点分别将点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入的坐标代入yx2bxc中得中得抛物线抛物线L的表达式为的表达式为yx22x3；930233bcbcc ，解解得得练习练习1 (2022陕西原创卷陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线L：yx2bxc与与x轴交于轴交于A、B(3，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，抛物线，抛物线L与抛物线与抛物线L关于关于y轴对称轴对称(2)抛物线抛物线L的顶点为的顶点为D，在，在x轴上是否存在一点轴
25、上是否存在一点P，使得以使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由练习练习1题图题图(2)存在存在抛物线抛物线L与抛物线与抛物线L关于关于y轴对称，轴对称，抛物线抛物线L的表达式为的表达式为yx22x3(x1)24，D(1，4)，设点设点P的坐标为的坐标为(m，0)，BD2(31)20(4)232，DP2(m1)2(04)2，则，则PB2(m3)2，PBD为等腰三角形，分三种情况讨论：为等腰三角形，分三种情况讨论：当当PBBD时，即时，即(m3)232，解得，解得m3 或或m3
26、，P1(3 ，0)，P2(3 ，0)；当当BDPD时，即时，即32(m1)2(04)2，解得，解得m3(舍去舍去)或或m5，P3(5，0)；当当PBPD时，即时，即(m3)2(m1)2(04)2，解得，解得m1，P4(1，0)4 24 24 24 2练习练习2 (2022陕西黑白卷陕西黑白卷)如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc(a0)与直线与直线y x2分分别交别交x轴、轴、y轴于点轴于点A，B，且抛物线与，且抛物线与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C(1，0).(1)求抛物线的表达式；求抛物线的表达式；练习练习2题图题图解：解：(1)在在y x2中中，当当x0时时，y2.B(0，2).
27、令令y x20，得得x3.A(3，0).设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x1)(x3)，将点将点B(0，2)代入代入，得得23a，解得解得a .抛物线的表达式为抛物线的表达式为y (x1)(x3)x2 x2；23234323232323练习练习2 (2022陕西黑白卷陕西黑白卷)如图，抛物线如图，抛物线yax2bxc(a0)与直线与直线y x2分分别交别交x轴、轴、y轴于点轴于点A，B，且抛物线与，且抛物线与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C(1，0).练习练习2题图题图(2)点点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以，
28、使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(2)存在存在A(3，0)，B(0，2)，AB213.由由(1)可知抛物线的对称轴为直线可知抛物线的对称轴为直线x1，设设Q(1，m)，则则AQ222m2，BQ21(m2)2，要使以要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：则分三种情况讨论：23当当AQAB，即即AQ2AB2时时，四边形四边形ABPQ为菱形为菱形，22m213，解得解得m3或或m3，点点Q的坐标为的坐标为(1，3)或或(1，3)；当当ABBQ，即即AB2BQ2时时，四边形四边形ABQP为菱形为菱形，131(m2)2，解得解得m2 2或或m2 2，点点Q的坐标为的坐标为(1，2 2)或或(1，2 2)，当当AQBQ，即即AQ2BQ2时时，四边形四边形AQBP为菱形为菱形，22m21(m2)2，解得解得m点点Q的坐标为的坐标为(1，).综上所述综上所述，点点Q的坐标为的坐标为(1，3)或或(1，3)或或(1，2 2)或或(1，2 2)或或(1，).333314143314练习练习2题图题图
