1、 专题专题 1919中点模型中点模型 破解策略破解策略 1倍长中线 在ABC中M为BC边的中点 M E C B A E M C A B D 图 1 图 2 （1）如图 1，连结AM并延长至点F，使得MEAM连结CE则ABMECM （2）如图 2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E使得MFDM连结CE，则BDM CEM， 遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等 将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法 2构造中位线 在ABC中D为AB边的中点， A B DE C C F A B D 图 1 图 2 （1）如图 1，取AC边的中点E
2、，连结DE则DEBC，且DF 1 2 BC （2）如图 2延长BC至点F使得CFBC连结CD，AF则DCAF，且DC 1 2 AE 三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来 通 常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线， 3等腰三角形“三线合一” 如图，在ABC中，若ABAC通常取底边BC的中点 D则ADBC，且AD平分BAC 事实上，在ABC中：ABAC；AD平分BAC；BDCD，ADBC 对于以上四条语句， 任意选择两个作为条件， 就可以推出另两条结论， 即“知二得二” A BD C 4. 直角三角形斜边中线 如图，在ABC看，ABC90 0
3、，取 AC的中点D，连结BD，则有BDADCD 1 2 AC 反过来，在ABC中，点D在AC边上，若BDADCD 1 2 AC，则有ABC90 0 例题讲解例题讲解 例例 1 1 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F 作CD的垂线，两垂线交于点G，连结AG、BG、CG且AGDBGC，若AD、BC所在直线互 相垂直，求 AD EF 的值 解 由题意可得AGB和DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形， 所以AGDBGC，AGDEGF 方法一：如图 1，连结CE并延长到H，使EHEC，连EH、AH，则 AHBC，AHBC，而ADBC，ADBC 所以ADAH
4、，ADAH，连结DH，则ADH为等腰直角三角形，又因为E、F分别为CH、CD 的中点，所以=2 1 2 ADAD EF DH 方法二：如图 2，连结BD并取中点H，连结EH，FH则EH 1 2 AD，且EHAD，FH 1 2 BC， 而ADBC，ADBC，所以EHF为等腰直角三角形，所以 2 =2 ADEH EFEF 例例 2 2 如图，在ABC中，BC22，BDAC于点D，CEAB于E，F、G分别是BC、DE的中 点，若ED10，求FG的长 解：连结EF、DF，由题意可得EF、DF分别为RTBEC，RTBDC斜边的中线，所以DFEF 1 2 BC11， 而G为DE的中点， 所以DGEG5，F
5、GDE， 所以RTFGD中，FG 22 DFDG 4 6 例例 3 3 已知：在RTACB和RTAEF中，ACBAEF90 0，若 P是BF的中点，连结PC、 PE （1）如图 1，若点E、F分别落在边AB、AC上，请直接写出此时PC与PE的数量关系 （2）如图 2，把图 1 中的AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，上 述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 （3）如图 3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请说明理由 解（1）易得PCPE 1 2 BF，即PC与PE相等 （2）结论成立理由如下： 如图 4，延长C
6、P交EF的延长线于点D，则BCFD，易证BPCFPD，所以PCPD，而 CED90 0，所以 PE 1 2 CDPC （3）结论仍成立，理由如下： 如图 5，过点F作FDBC，交CP的延长线于点D，易得PDPC，FDBC 所以 AEEFEF ACBCFD 而AFEPBCPFD，所以EAC180 02AFEEFD， 如图，连结CE，ED，则EACEFD，所以AECFED，CEDAEF90 0， 所以PE 1 2 CDPC 例例 4 4 已知：ABC是等腰三角形，BAC900，DECE，DECE 1 2 AC，连结AE，M是AE 的中点 （1）如图 1，若D在ABC的内部，连结BD，N是BD的中点
7、，连结MN，NE，求证：MNAE （2）如图 2，将图 1 中的CDE绕点C逆时针旋转，使BCD30 0，连结 BD，N是BD的中 点，连结MN，求 MN AC 解：（1）如图 3，延长EN至点F，使得NFNE，连结FB，易证DENBFN，从而可得 BFDE，BFDE，延长FB，CE交于点G，则G90 0，从而 A、B、G、C四点共圆 所以ABFACE，连结AF，所以ABFACE（SAS），所以AFAE，AFAE，而MN AF所以MN 1 2 AE，MNAE （2）如图 4，同（1）可得，MN 1 2 AE，MNAE，由题意可得AC2CE，作EHAC于H，则 ECH600，所以CH 1 2 E
8、C 1 4 AC，EH 3 4 AC，从而AE 22 7 2 AHEHAC，所以 7 4 MN AC 进阶训练进阶训练 1如图，ABD和ACE都是直角三角形，其中ABD ACE90，且点C在 AB上，连结DE，M为DE的中点，连结BM，CM，求证：BMCM M C D E A B 【答案】略 【提示】延长CM，DB交于点F，则CBF90，CMEFMD，从而BM 1 2 CFCM F M C D E A B 2我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”如图 1，AF，BE是ABC的中 线，且AFBE于点P，像ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BCa，ACb， ABc （1）猜想a
9、2，b2，c2三者之间的关系，并加以证明； （2）如图 2，在平行四边形ABCD中，E，F，G分别是AD，BC，CD上的中点BEEG， AD25，AB3求AF的长 图1 C F E A B P 图2 G F E D B C A 【答案】（1） a 2b2 5c2，证明略；（2） AF4 【提示】 （1）如图，连结EF，由中位线定理可得 PE PB PF PA EF BA 1 2 在 RtAPB， RtAPE和 RtBPF中，利用勾股定理即可得到a 2b2 5c2； （2） 如图，取AB的中点H，连结FH，AC，由中位线定理可得FHACEG，从而FH BE，易证APEFPB，所以APFP，所以A
10、BF是“中垂三角形”从而利用（1）中结 论求得AF的长 F M C D E A B P H G F E D B C A 3巳知：ABC和ADE是等腰直角三角形，ACBADE90，F为BE的中点连结 DF，CF 图3图2图1 F E F E B B F E B AA A C D C C D D （1）如图，当点D在AB上，点E在AC上时，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系 和位置关系（不用证明）； （2）如图 2在（1）的条件下将ADE绕点A顺时针旋转 45请你判断此时（1） 中的结论是否仍然成立，并证明你的判断； （3）如图 3在（1）的条件下将ADE绕点A顺时针旋转角，请你判断此时（1）
11、 中的结论是否仍然成立，井证明你的判断 【答案】（1）DFCF，DFCF；（2）成立；（3）成立 【提示】（2）延长DF交BC于点G，则DEFGBF，从而得DFGF，CDCG，即得 证 G F E B A C D （3）延长CF至点G，使得FGCF，连结EG，则GECBCA，GEAC，可得CAD GED连结DG，CD，从而ADCEDG（SAS）即得证 G F E B A C D 4巳知：P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（不与点A、C重合）分 别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O为AC的中点，如图 1将直线BP绕点 B逆时针旋转，当OFE 30时，如图 2 所示，请你猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的 数量关系，并给予证明 图1 O E F C A B D P 图2 E F O C A B D P 【答案】图 1 中OECFAE；图 2 中OECFAE 【提示】如图 1，延长EO交FC于点G，易证OEOG，AECG，从而 RtGFE中，OF OGOE而OFE30，所以OECFAE 图1 G O E F C A B D P 如图 2，同理可得OECFAE 图2 G E F O C A B D P
