1、 专题专题 1515角含半角模型角含半角模型 破题策略 1 等腰直角三角形角含半角 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D，E在BC上且DAE45 （1） BAEADECDA （2）BD 2CE2DE2 45 E A B C D 证明（1）易得ADCBBADEAB， 所以BAEADECDA （2）方法一（旋转法）：如图 1，将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACF，连结EF 45 F E A B C D 则EAFEAD45，AFAD， 所以ADEFAE （ SAS ） 所以DE EF 而CFBD，FCEFCAACE90， 所以BD 2 CE 2CF2CE2EF2DE2 方法二（翻折法）：
2、如图 2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF 45 F E A B C D 因为BADEACDAFEAF， 又因为BADDAF， 则FAECAE，AFABAC， 所以FAECAE（SAS） 所以EF EC 而DFBD， DFEAFD AFE90， 所以BD 2 EC 2 FD 2 EF 2 DE 2 【拓展】 如图， 在 ABC 中，ABAC， BAC90， 点D 在BC 上， 点E 在BC 的 延长线上，且DAE45，则BD 2CE2DE2 E A BCD 可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图： E F A BCD F E A BCD 将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如
3、图，在ABC中，ABAC，点D，E在 BC上， 且DAE 1 2 BAC， 则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为 180 BAC E BC A D 可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图： F E BC A D F E BC A D 2 正方形角含半角 如图 1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，连结EF，则： 45 图1 F AB CD E 图2 G F E AB DC 45 图3 H F E A B D C （1）EFBEDF; （2）如图 2，过点A作AGEF于点G，则AGAD; （3）如图 3，连结BD交AE于点H
4、，连结FH 则FHAE （1）如图 4，将ABE绕点A逆时针旋转 90得到ADI证明 图4 I F E AB D C 则IAFEAF45，AIAE， 所以AEFAIF（SAS）， 所以EFIFDIDFBEDF （2）因为AEFAIF，AGEF，ADIF， 所以AGAD （3）由HAFHDF45可得A，D，F，H 四点共圆， 从而AHF180ADF90， 即FHAE 【拓展】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，EAF 45，连结EF，则EFDFBE F A B CD E 可以通过旋转的方法来证明.如图: E B CD A FG 如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形
5、ABCD 中，AB=AD，BAD+C=180 ， 点 E，F 分别在 BC、CD 上，EAF= 1 2 BAD，连结 EF，则 EF=BE+DF. A B F DC E 可以通过旋转的方法来证明.如图: A B F D C E G 例题讲解例题讲解 例1 如图 1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45. （1） 试判断BE、EF、FD之间的数量关系. （2） 如图 2，在四边形ABCD中，BAD90，ABADBD180，点E、 F分别在BC、CD上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍 有EFBEFD. （3）如图 3在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已
6、知ABAD 80m，B60，ADC120，BAD150，道路BC，CD上分别有景点 E，F，且AEADDF40（31）m现要在E、F之间修一条笔直的道路，求 这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：21.41，31.73） 图1 F AD CB E 图2 A B D C E F 图3 F C A E B D 解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EFBEFD （2）BAD2EAF，理由如下： 如图 4，延长CD至点G，使得DGBE连结AG. 易证ABEADG（SAS）. 所以AEAG， 即EFBEDFDGDFGF. 从而证得AEFAGF（ SSS） 所以EAFGAF 1 2 EAG 1 2
7、BAD. 图4 G B A D C E F 图5 H F C G A B E D （3）如图 5，将ABE绕点A逆时针旋转 1 50至ADG连结AF 由题意可得BAE60 所以ABE 和ADG均为等腰直角三角形. 过点A作 AHDG于点H则 DH 1 2 AD40m，AH 3 2 AD403 m. 而DF40（31）m. 所以EAFGAF45. 可得EAFGAF（SAS） 所以EF GF80m+40（3l）m109. 2m. 例 2 如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足MA N 45连结MC、NC、MN （1）与ABM相似的三角形是 ，BMDN （用含有a
8、的代数式表示）； （2）求MCN的度数； （3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论. N A D C B M 解：（1）NDA， 2 a. （2）由（1）可得 BMAB ADND ， 所以 BMDC BCDN 易证CBMNDC45， 所以BCMDNC 则BCMDNC，所以 MCN =360一BCD一BCM 一DCN 270 （DNC+DCN） 270（180DNC） 135 （3） 222 BMDNMN，证明如下： 如图，将ADN绕点A顺时针旋转 90，得到ABE，连结EM. 易得AEAN. MAEMAN45，EBM90， 所以A MEAMN.（SAS）. 则MEMN
9、在 RtBME中， 222 BMBEEM 所以 222 BMDNEM. E N B C D A M 倒 3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCD90，ABBCAD，DAC45，E 为CD上一点，且BAE45.若CD4，求ABE的面积. 图1 B AD C E 解：如图 1过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由DAC=45，ADC90，可 得ADCD. 所以四边形ADCF为正方形. 从而AF FC4 令BCm，则AB4m，BF4m 在 RtAFB 中，有 16（4m） 2一（4m）2 所以AB5，BF3 如图 2将ADE绕点A逆时针旋转 90至AFG. 易证AGHAEB 令DEn，则
10、CE4 n，BEBG3n 在 RtBCE中，有 1+（4n） 2（3n）2，解得 n 4 7 . 所以BG 25 7 . 从而 150 27 ABEABG SSAF BG . 图2 FB AD C E G 进阶训练进阶训练 1.如图，等边ABC的边长为 1，D是ABC外一点且BDC120，BDCD，MDN 60，求AMN的周长 N D A BC M AMN的周长是 2 【提示】如图，延长AC至点E，使得CE BM，连结DE .先证BMDCED，再证MDN EDN即可. E N D A C B M 2如图， 在正方形ABCD中， 连结BD，E、F是边BC，CD上的点， CEF的周长是正方形ABC
11、D 周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证 明 N M C D F EB A 解解：BM 2DN2MN2 【提示提示】由CEF周长是正方形ABCD周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构 造辅助线解决问题（如图 1），证AEFAGF，得MAN 1 2 BAD4，然后，再由“等 腰直角三角形含半角”（如图 2）即可证得 HG G 图2 图1 A BE F D C M N N M C D F EB A 3如图，在ABC中，ACB90，点D在边AB上，DEBC于点E，且DEBC，点F在 边AC上，连结BF交DE于点G，若DBF45，DG 27 5 ，BE3，求CF的长 G F E D C B A 解解：CF12 5 【提示提示】 如图， 将DE向左平移至BH， 连结HD并延长交AC于点I， 则四边形HBCI为正方形 将 BHD绕点B顺时针旋转 90至BCJ，则点J在AC的延长线上连结DF，由“正方形角 含半角模型”可得DFDHCF，DFBJFBDGF，所以DFDG，从而求得CF的长 J I H A B C D E F G
