1、中考数学压轴题破解策略中考数学压轴题破解策略专题专题 1 1一元二次方程的特殊根一元二次方程的特殊根 破解策略破解策略 1一元二次方程的有理根一元二次方程的有理根 关于x的一元二次方程ax2bxc0（a0，a，b，c为有理数）存在有理根的条件 为：b24ac是一个有理数的平方 解决一元二次方程ax2bxc0（a0，a，b，c为有理数）的有理根问题时，一般 的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，求出判别式； 根据已知条件得待定系数的取值范围， 再求出判别式的取值范围， 筛选出其中为有理 数的平方的数； 求出待定系数的可能取值，并检验 （2）利用“判
2、别式是一个有理数的平方”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，将方程的系数整数化，求出判别式； 将判别式写成M2t的形式（M为关于待定系数的整式，t为整数），设M2t m2（m为非负有理数） 可得（m）（）t，解此不定方程； 求出待定系数的可能取值，并检验 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 对于一元二次方程ax2bxc0（a0，a，b，c为有理数）而言，方程的根为整数 且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件 解决方程ax2bxc0 的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是 一个有理数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题
3、 （1）利用“根与系数的关系”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； 将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； 由分式的结果一定为整数， 根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数， 从而 求出待定系数的可能取值； （2）利用“因式分解”解题 讨论二次项系数的情况，当a0 时，将方程化为（m1xn1）（m2xn2）0 的形式 ； 求出方程的两根，x1 1 1 m n 和x2 2 2 m n ； 利用分离常量的方法，将 1 1 m n ， 2 2 m n 变成一个常数与一个分式的和； 根据整除的性质， 得到分式的分母一定是
4、分子的约数， 从而求出待定系数的可能取值 ； 将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数 3分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量， 所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如： 1 3 1 1 3 1 1 1 31 1 2 mmm m m m m m ； 1 1 1 1 1 1 ) 1( 1 11 1 2 mmm m m m m m ； 1 1 2 1 1 1 ) 1(2 1 122 1 32 mmm m m m m m ； 1 2 3 1 2 1 ) 1( 3 1 233 1 1
5、3 mmm m m m m m 例题讲解：例题讲解： 例例 1 1 已知整数m满足 6m20， 如果关于x的一元二次方程mx2（2m1）xm2 0 有有理根，求m的值及方程的根 解： 若原方程的根为有理数， 则（2m1）4m（m2）4m1 应为某个有理数的平方 已知 6m20，所以 254m181， 而 4m1 是奇数，从而 4m149， 得m12， 所以原方程变为 12x223x100， 解得x1 3 2 ，x2 4 5 故m12 时，方程有有理根，此时方程的根为x1 3 2 ，x2 4 5 例例 2 2 设m是不为零的整数，关于x的一元二次方程mx2（m1）x10 有有理根， 求m的值 解
6、 若原方程的根为有理数， 则（m1）4m（m3）8 应为某个有理数的平方 令（m3）8n2 （n0），显然n也为整数， 所以（m3n）（m3n）8 由于m3nm3n，并且（m3n）（m3n）2（m3）是偶数， 所以m3n和m3n同奇偶， 所以 2n3-m 4n3-m 或 43 23 nm nm ；解得 1 6 1 1 n m ， 1 0 2 2 n m （舍） 所以当m6 时，方程有两个有理根，分别为x1 2 1 ，x2 3 1 例例 3 3 关于x的一元二次方程rx2（r2）xr10 有且只整数根，求整数r的值 解： 当r0 时，原方程无整数根； 当r 0 时，由根与系数的关系可得 x1x2
7、 r r2 1 r 2 ，x1x2 r r1 1 r 1 因为x1，x2都是整数， 所以x1x2和x1x2均为整数，从而 r 2 ， r 1 均为整数 而r为整数，所以r1 当r1 时，原方程的解不为整数，不符合条件； 当r1 时，原方程的解为x10，x23 综上可得，整数r1 例例 4 4 在平面直角坐标系中， 我们不妨将横坐标、 纵坐标均为整数的点称之为 “中国结” ， 若二次函数y（k23k2）x2（2k24k1）xk2k（k为常数）的图象与x轴相交 得到两个不同的“中国结”，试问：该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界）， 一共包含有多少个“中国结”？ 解：令y0，即（k23k2
8、）x2（2k24k1）xk2k0， 因式分解，得（k1）xk（k2）xk10 解得x1 1 1 1 1 kk k ，x2 2 1 1 2 1 kk k ， 由题意可得x1，x2均为整数，所以 1 1 k ， 2 1 k 也均为整数， 设 1 1 k m（m0，m为整数），则k m 1 1， 所以 mm m m m m k 1 1 1 1 1)1 ( 1 21 1 1 2 1 ， 所以 1m1，即m10（舍），m22， 从而得到k 2 3 所以二次函数表达式为y 4 1 x2 2 1 x 4 3 4 1 （x1）21 二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界） ，一
9、 共包含 6 个“中国结”，分别为：（3，0），（2，0），（1，0），（1，1）， （0，0），（1，0） 进阶训练进阶训练 1已知m为有理数，问：k为何值时，关于x的方程x24mx4x3m2m4k0 的根为有理数？ 解：k 4 5 【提示】若原方程的根为有理数，则4m6m4（1k）应为某个有理数的平 方 所以 4（1k）9，即k 4 5 2已知关于x的方程x22（2m3）x4m14m80（m0）有两个不相等的实 数根，若 12m40，且方程的两个根均为整数，求整数m的值 解：m24 【提示】若原方程的根为有理数，则4（2m1）应为某个有理数的平方，由 12m 40，所以 252m181，而
10、 2m1 为奇数，则 2m149，即m24 3已知方程（k1）x23（3k1）x180 有正整数根，求整数k的值 解：k0，1，2，4，5 【提示】先讨论二次项系数是否为 0，当k1 时，方程有正整数根，当k210 时， 原方程可整理为（k1）x6（k1）x30，解得x1 1 6 k ，x2 1 3 k ，而方程 有正整数根，所以k0，1，2，4，5，综上，k0，1，2，4，5 4求使关于x的方程（a1）x2（a21）x2a260 的根均为整数的所有整数a 解：a3，2，0，1 【提示】当a1 时，方程变为2x40，解得x2，符合要求 ； 当a 1 时， 设方程的两个整数根为x1，x2， 则由根与系数的关系可得x1x2 1 1 2 a a a1 1 2 a ，x1x2 1 62 2 a a 2（a1） 1 4 a 因为x1，x2都是整数，所以x1x2和x1x2均为整数，即 1 2 a 为整数，所以a3， 2，0，1 经检验，得到当a3，2，0，1 时，方程的根均为整数
