1、 专题专题 3 3函数图象的公共点函数图象的公共点 破解策略破解策略 根据公共点的个数，求待定系数的取值范围的一般步骤为： （1）画图 （2）确定待定系数所在位置，明确图象的变化趋势 例如： 直线y2xb其中待定系数是b则直线y2xb与直线y2x是平行或重合的； 直线ykx1，其中待定系数是k，则直线ykx1 是绕着固定点（0，l）旋转的； 抛物线yax 25其中待定系数是 a，则该抛物线的顶点是固定的，开口大小和方向是 变化的； 抛物线yx 2bxc，其中待定系数是 b，c则可将一般式化为顶点式，再将抛物线y x 2 上下左右平移得到 （3）找临界点， 例题讲解例题讲解 例例 1 1 若二次
2、函数y 1 3 x 2 2 3 x1 的图象与y轴的交点为 A过点A作直线lx轴将 抛物线在y轴左侧部分沿直线l翻折，其余部分保持不变得到一个新图象，直线y 1 3 x b与新图象只有一个公共点p（x0，y0），且y07，求b的取值范围 解：当直线y 1 3 xb经过点（0，1）时，得bl， x y l O 当直线与原抛物线只有一个交点时，令 1 3 x 2 2 3 x1 1 3 xb， 整理得x 23x33b0 则94（33b）0，即b 7 4 ； 当 1 3 x 2 2 3 x17 时，解得x16，x24（舍）， 将（6，7）代入直线y 1 3 xb，得b5 结合函数图象，可得当lb5 或
3、b 7 4 时，直线与新图象只有一个公共点 例例 2 2 若二次函数yx 22x3 的图象与 x轴交于A，B两点， 将此图象在x轴下方的部 分沿x轴翻折其余部分保持不变，得到一个新图象当直线y kx3 与新图象恰有三个 公共点时，求k的值 解：当直线ykx3 经过点A（1，0）时，得k3; 当直线ykx3 经过点B（3，0）时，得k1； 当直线与原抛物线只有一个公共点时，令kx3x 22x3，则（k2）20即 k 2 结合函数图象可得当k 1，2 或 3 时，直线ykx3 与新图象恰有三个公共点 x y 3 BA -1 O 例例 3 3 已知抛物线L：y 1 2 （xt）（xt4）（常数t0）
4、与双曲线y 6 x 有个交 点的横坐标为x0，且满足 4x06通过L位置随t变化的过程，求出t的取值范围 解：如图，双曲线在 4x06 时1y0 3 2 ，所以L与双曲线在点C（4， 3 2 ）D（6，1） 之间的一段有个交点，圆为抛物线与x轴的两个交点为（t，0）（t4，0）（t4t）， 所以（t，0）在（t4，0）的右侧 由 3 2 1 2 （xt）（xt4），x4得t15t27， 由 1 1 2 （xt）（xt4）x6，得t3 82，t482 因为 582782，所以当t5 时，L右侧过点C； 当t 82时，L右侧过点D； 当t7 时L左侧过点C； 当t 82时L左侧过点D; 所以 5t
5、82，或 7t82 x y 64 D C O 例例 4 4 定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值当x0 时，它们对应的函数 值互为相反数；当x0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数， 例如：一次函数yx1，它的相关函数为y 1,0 1,0. xx xx ； 在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（ 1 2 ，1）（ 9 2 ，1）连结MN求线段 MN与二次函数yx 24xn 的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围 解 由题意可得，二次函数yx 24xn 的相关函数为： 22 22 4(2)(4),0 y 4(2)(4),0. xxnxnx xxnxnx
6、 ； 当相关函数的图象经过点（2，1）时，如图， 此时n41即n 3; x y x=2 NM O 当相关函教的图形经过点（0，1）时，如图，此时n 1; x y x=2 N M O 当相关函数的图形经过点（0，1）时，如图，此时n 1； x y x=2 N M O 当相关函数的图形经过点（ 1 2 ，1）时如图， 此时（ 1 2 ） 24（ 1 2 ）n1，解 得n 5 4 x y x=2 N M O 结合函数图象，满足题意的n的取值范围为3n1 或 1n 5 4 例例 5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx 22mx2（m0）与 y轴交于点A，其对称 轴与x轴交于点B，点C，D在x轴上（
7、点C在点D的左侧），且点B的距离都为 2，若抛物 线与线段BC有两个公共点，结合函数图象，求m的取值范围 y xO 解解：因为抛物线ymx 22mx2m（x1）22m，所以抛物线的顶点为（1，2m）， 对称轴为x1，点A（0，2），所以点B的坐标为（1，0），从而点C（1，0），D（3， 0） 图1 D B A C y x O C O A B D x y 图2 若m0，如图 1 当顶点（1，2m）位于x轴下方时，抛物线与CD有两个交点 所以 2m0，即m2 若m0，如图 2 若抛物线经过点C，D，则m2m20，即m 2 3 当m 2 3 时，抛物线与CD有两个交点 综上所述，m的取值范围为m2
8、 或m 2 3 进阶训练进阶训练 1在平面直角坐标系xOy中，直线y2x3 与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称， 过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y2x3 交于点C，如果抛物线ynx 24nx5n（n 0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围 【答案答案】 3 5 n 3 2 或n3 【提示提示】如图，根据题意可得B（0，3），C（3，3），若抛物线经过点B，则n 3 5 ，此时 抛物线与线段BC有一个公共点；若抛物线经过点C，则n 3 2 ，此时抛物线与线段BC有两 个公共点；当抛物线顶点在直线l上，则n3，此时抛物线与线段BC有一个公共点，所以 n的取值范围为 3 5 n 3 2
9、或n3 y O A C B l x 2在平面直角坐标系xOy中，点P在抛物线y 1 2 x 2x4 上，过点 P作y轴的垂线l， 垂足为D（0，d），将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新图象G当图象G与直线y 1 2 x 22 只有两个公共点时，求 d的取值范围 【答案】 5 2 d0 【提示】令直线y 1 2 2 x 与原抛物线的两交点为A，B，则直线l经过点A，B时为临界状 态，再结合图象，即可得d的取值范围 O A y x B D l 3如图，在平面直角坐标系xOy中，A （1，1），B（2，2），双曲线y k x 与线段AB有 公共点，则k的取值范围是_ O x y A B 1 1 【答案答案】1k4 【提示提示】如图，双曲线y k x 经过点A，B时为满足题意的两种临界状态，当双曲线经过点 A时，k1；当双曲线经过点B时，k4，所以满足题意的k的取值范围为 1k4 O x y A B 1 1
