2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）含答案.pdf

1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数数 学学（理工农医类）（理工农医类） 注意事项：注意事项： 1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= lccS)( 2 1 += 台侧 其中 c 、c分别表示 )sin()sin( 2 1 sincos+= 上、下底面周长，l表

2、示斜高或母线长. )cos()cos( 2 1 coscos+= 球体的体积公式： 3 3 4 RV= 球 ，其中 R )cos()cos( 2 1 sinsin+= 表示球的半径. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 奎屯 王新敞 新疆 第第卷卷（选择题共 60 分） 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1已知 2 ( x，0） ， 5 4 cos=x ，则2tg x = （ ） （A） 24 7 （B

3、） 24 7 （C） 7 24 （D） 7 24 2圆锥曲线 2 cos sin8 = 的准线方程是 （ ） （A）2cos= （B）2cos= （C）2sin= （D）2sin= 3设函数 = 2 1 12 )( x xf x 0 0 x x ，若1)( 0 xf，则 0 x的取值范围是 （ ） （A） （1，1） （B） （1，+） （C） （，2）（0，+） （D） （，1）（1，+） 4函数)cos(sinsin2xxxy+=的最大值为 （ ） （A）21+ （B）12 （C）2 （D）2 5已知圆 C：4)2()( 22 =+yax（0a）及直线l：03=+ yx，当直线l被 C 截

4、得 的弦长为32时，则a （ ） （A）2 （B）22 （C）12 （D）12 + 6已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A） 2 2 R （B） 2 4 9 R （C） 2 3 8 R （D） 2 2 3 R 7已知方程0)2)(2( 22 =+nxxmxx的四个根组成一个首项为 4 1 的的等差数列，则 =|nm （ ） （A）1 （B） 4 3 （C） 2 1 （D） 8 3 8已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（7，0） ，直线1= xy与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为 3 2 ，则此双曲线的方程是 （ ） （A） 1

5、 43 22 = yx （B）1 34 22 = yx （C）1 25 22 = yx （D）1 52 22 = yx 9函数xxfsin)(=， 2 3 , 2 x 的反函数= )( 1 xf （ ） （A）xarcsin 1x，1 （B）xarcsin 1x，1 （C）xarcsin+ 1x，1 （D）xarcsin 1x，1 10已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从 AB 的中点 0 P沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1 P后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的点 2 P、 3 P和 4 P（入射角等于反射角）

6、，设 4 P的坐标为 （ 4 x，0） ，若21 4 x，则 tg 的取值范围是 （ ） （A） （ 3 1 ，1） （B） （ 3 1 ， 3 2 ） （C） （ 5 2 ， 2 1 ） （D） （ 5 2， 3 2 ） 11= + + )( lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC （ ） （A）3 （B） 3 1 （C） 6 1 （D）6 12一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）33 （D）6 2003 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数数 学学（理工农医类）（理

7、工农医类） 第第卷卷（非选择题共 90 分） 二二. .填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是 14使1)(log2+xx成立的x的取值范围是 15如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图 着色， 要求相邻地区不得使用同一颜色， 现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 奎屯 王新敞 新疆（以数字作答） 16下列 5 个正方体图形中，l是正方体的一条对 角线，点 M、N、P

8、 分别为其所在棱的中点，能得出l面 MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 2 1 5 3 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知复数z的辐角为60，且|1|z是| z和|2|z的等比中项，求| z 18 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，底面是等腰直角三角形，=90ACB，侧棱 2 1 =AA，

9、D、E 分别是 1 CC与BA1的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G （I）求BA1与平面 ABD 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示） （II）求点 1 A到平面 AED 的距离 D E K B C1 A1 B1 A F C G 19 （本小题满分 12 分） 已知0c，设 P：函数 x cy =在 R 上单调递减 Q：不等式1|2|+cxx的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求c的取值范围 20 （本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南 10 2 arccos(= ）方向 300km

10、的海面 P 处， 并以 20km/h 的速度向西偏北45方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭？ O 北 东 y 线 岸 O x P r(t) P 45 海 21 （本小题满分 14 分） 已知常数0a，在矩形 ABCD 中，4=AB，aBC4=，O 为 AB 的中点，点 E、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 BECFDG BCCDDA = ，P 为 GE 与 OF 的交点（如图） ，问是 否存在两个定点， 使 P 到这两点的距离的和为定值？若 存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，

11、请说明 理由 奎屯 王新敞 新疆 O P A G D F E C B x y 22 （本小题满分 12 分，附加题 4 分） （I）设 n a是集合|22 ts + ts 0且Zts,中所有的数从小到大排列成的数列， 即3 1 =a，5 2 =a，6 3 =a，9 4 =a，10 5 =a，12 6 =a， 将数列 n a各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； 求 100 a （II） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分） 设 n b是集合tsr tsr +0|222，且

12、,Ztsr中所有的数从小到大排列成的数 列，已知1160= k b，求k. 2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷全国卷) 数学数学（理工农医类）（理工农医类）答案答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本一、选择题：本题考查基本知识和基本运算运算. . 每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. . 1D 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10C 11B 12A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 1616 分分. . 13 2 21 14 （-1，0） 1572 16

13、 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7474 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17 解：设)60sin60cos rrz+=，则复数. 2 r z的实部为 2 ,rzzrzz=由题设 . 12|).( 12, 12:. 012 ,421, )2)(2(|) 1)(1( :|2|1| 2 222 =+ +=+= zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 18 （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 A

14、B 中点，连结 EF、FC， . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 )4(. 3, 1, 3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 分 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED = = = = = （）解：,FABEFEFEDABED=又 . 3 62 3 62 32 222 , .,., .,., 1 1 111 111 1111 111

15、 的距离为到平面中在 的距离到平面是即平面垂足为作 面且面平面平面面又面 AEDA AB BAAA KAABA AEDAKAAEDKAKAEKA AEABAAEDABAAEDAEDEDABAED = = = = 19解：函数 x cy =在 R 上单调递减. 10c 不等式. 1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx+=+ 22 ,2 , |2 | 2 ,2 , |2 |2 . 1 |2 | 121. 2 1 ,0. 2 1 ,1.(0, 1,). 2 xc xc xxc cxc yxxcRc xxcRcc PQc PQcc += = + + + 函数在 上的最小值为 不等式的

16、解集为 如果 正确 且 不正确 则 如果 不正确 且 正确 则所以 的取值范围为 （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向. 在时刻： （1）台风中心 P（yx,）的坐标为 += = . 2 2 20 10 27 300 , 2 2 20 10 2 300 ty tx 此时台风侵袭的区域是,)()()( 22 tryyxx+ 其中,6010)(+=ttr若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0( 222 +tyx即 22 ) 2 2 20 10 27 300() 2 2

17、 20 10 2 300(tt+ 2412, 028836,)6010( 22 +tttt解得即 答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否 存在的两定点，使得点 P 到两点距离的和为定值. 按题意有 A（2，0） ，B（2，0） ，C（2，4a） ，D（2，4a）设 (01) BECFDG kk BCCDDA = 由此有 E（2，4ak） ，F（24k，4a） ，G（2，4a4ak） 直线 OF 的方程为：0) 12(2=+ykax 直线 GE 的方程为：02) 12(=+ayxka 从，消去参数 k，得点 P（x,y）坐标满

18、足方程022 222 =+ayyxa 整理得 1 )( 2 1 2 22 = + a ayx 当 2 1 2 =a时，点 P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 2 1 2 a时，点 P 轨迹为椭圆的一部分，点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 奎屯 王新敞 新疆 当 2 1 2 a时，点 P 到椭圆两个焦点（), 2 1 (), 2 1 22 aaaa的距离之和为定值2 奎屯 王新敞 新疆 当 2 1 2 a时，点 P 到椭圆两个焦点（0， ) 2 1 , 0(), 2 1 22 +aaaa 的距离之和为定 值 2a. 22 （本小题满分 12 分，附加题 4 分） （）解：用(t

19、,s)表示22 ts +，下表的规律为 3（(0,1)= 01 22+） 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) （i）第四行 17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) （i i）解法一：因为 100（1+2+3+4+13）+9，所以 100 a=(8,14) 814 22+16640 解法二：设 00 22 100 ts a+=，只须确定正整数., 00 ts 数列 n a中小于 0 2t的项构成的子集为 ,0|22 0 t tts s + 其元素个

20、数为 .100 2 ) 1( , 2 ) 1( 00002 0 = tttt Ct依题意 满足等式的最大整数 0 t为 14，所以取.14 0 =t 因为 100.1664022, 8s, 1 814 10000 2 14 =+=+=asC由此解得 （）解：,2221160 3710 += k b 令 0|222B,(1160| r tsrCBcM ts +=其中 因.22222|222|2| 37107107101010 +=cBccBccBcM 现在求 M 的元素个数：,100|2222| 10 +=tsrcBc tsr 其元素个数为 3 10 C： .70|222222| 1071010

21、 +=+srcBc rs 某元素个数为30|22222222|: 71037107102 7 +=+rcBcC r 某元素个数为.1451: 2 3 2 7 3 10 7 10 =+=CCCkC 另法：规定222 rts +=（r,t,s） ， 1073 1160222 k b =+（3,7,10） 则 012 1 222b =+ （0,1,2） 2 2 C 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 2 3 C （0,1,4） （0,2,4） （1,2,4） （0,3,4） （1,3,4） （2,3,4） 2 4 C （0,1,9） （0,2,9） （ 6,8,9 ） （7,8,9） 2 9 C （0,1,10） （0,2,10）（0,7,10） （ 1,7,10） （2,7,10） （3,7,10） 2 7 C+4 2222 2397 ()4145.kCCCC=+=