1、 2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数数 学学(理工农医类)(理工农医类) 注意事项:注意事项: 1. 答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上 3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回 参考公式: 三角函数的积化和差公式: 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()sin( 2 1 cossin+= lccS)( 2 1 += 台侧 其中 c 、c分别表示 )sin()sin( 2 1 sincos+= 上、下底面周长,l表
2、示斜高或母线长. )cos()cos( 2 1 coscos+= 球体的体积公式: 3 3 4 RV= 球 ,其中 R )cos()cos( 2 1 sinsin+= 表示球的半径. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分 奎屯 王新敞 新疆 第第卷卷(选择题共 60 分) 一一. .选择题:本大题共选择题:本大题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的一项是符合要求的 1已知 2 ( x,0) , 5 4 cos=x ,则2tg x = ( ) (A) 24 7 (B
3、) 24 7 (C) 7 24 (D) 7 24 2圆锥曲线 2 cos sin8 = 的准线方程是 ( ) (A)2cos= (B)2cos= (C)2sin= (D)2sin= 3设函数 = 2 1 12 )( x xf x 0 0 x x ,若1)( 0 xf,则 0 x的取值范围是 ( ) (A) (1,1) (B) (1,+) (C) (,2)(0,+) (D) (,1)(1,+) 4函数)cos(sinsin2xxxy+=的最大值为 ( ) (A)21+ (B)12 (C)2 (D)2 5已知圆 C:4)2()( 22 =+yax(0a)及直线l:03=+ yx,当直线l被 C 截
4、得 的弦长为32时,则a ( ) (A)2 (B)22 (C)12 (D)12 + 6已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( ) (A) 2 2 R (B) 2 4 9 R (C) 2 3 8 R (D) 2 2 3 R 7已知方程0)2)(2( 22 =+nxxmxx的四个根组成一个首项为 4 1 的的等差数列,则 =|nm ( ) (A)1 (B) 4 3 (C) 2 1 (D) 8 3 8已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0) ,直线1= xy与其相交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 3 2 ,则此双曲线的方程是 ( ) (A) 1
5、 43 22 = yx (B)1 34 22 = yx (C)1 25 22 = yx (D)1 52 22 = yx 9函数xxfsin)(=, 2 3 , 2 x 的反函数= )( 1 xf ( ) (A)xarcsin 1x,1 (B)xarcsin 1x,1 (C)xarcsin+ 1x,1 (D)xarcsin 1x,1 10已知长方形的四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 0 P沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1 P后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上 的点 2 P、 3 P和 4 P(入射角等于反射角)
6、,设 4 P的坐标为 ( 4 x,0) ,若21 4 x,则 tg 的取值范围是 ( ) (A) ( 3 1 ,1) (B) ( 3 1 , 3 2 ) (C) ( 5 2 , 2 1 ) (D) ( 5 2, 3 2 ) 11= + + )( lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC ( ) (A)3 (B) 3 1 (C) 6 1 (D)6 12一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( ) (A)3 (B)4 (C)33 (D)6 2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数数 学学(理工农医类)(理
7、工农医类) 第第卷卷(非选择题共 90 分) 二二. .填空题:本大题共填空题:本大题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 4 4 分,共分,共 1616 分分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 13 92 ) 2 1 ( x x 的展开式中 9 x系数是 14使1)(log2+xx成立的x的取值范围是 15如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图 着色, 要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种 奎屯 王新敞 新疆(以数字作答) 16下列 5 个正方体图形中,l是正方体的一条对 角线,点 M、N、P
8、 分别为其所在棱的中点,能得出l面 MNP 的图形的序号是 (写出所有符合要求的图形序号) P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 2 1 5 3 4 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 6 小题,共小题,共 7474 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤 17 (本小题满分 12 分) 已知复数z的辐角为60,且|1|z是| z和|2|z的等比中项,求| z 18 (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 111 CBAABC 中,底面是等腰直角三角形,=90ACB,侧棱 2 1 =AA,
9、D、E 分别是 1 CC与BA1的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G (I)求BA1与平面 ABD 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) (II)求点 1 A到平面 AED 的距离 D E K B C1 A1 B1 A F C G 19 (本小题满分 12 分) 已知0c,设 P:函数 x cy =在 R 上单调递减 Q:不等式1|2|+cxx的解集为 R 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求c的取值范围 20 (本小题满分 12 分) 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 10 2 arccos(= )方向 300km
10、的海面 P 处, 并以 20km/h 的速度向西偏北45方向移动, 台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭? O 北 东 y 线 岸 O x P r(t) P 45 海 21 (本小题满分 14 分) 已知常数0a,在矩形 ABCD 中,4=AB,aBC4=,O 为 AB 的中点,点 E、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且 BECFDG BCCDDA = ,P 为 GE 与 OF 的交点(如图) ,问是 否存在两个定点, 使 P 到这两点的距离的和为定值?若 存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,
11、请说明 理由 奎屯 王新敞 新疆 O P A G D F E C B x y 22 (本小题满分 12 分,附加题 4 分) (I)设 n a是集合|22 ts + ts 0且Zts,中所有的数从小到大排列成的数列, 即3 1 =a,5 2 =a,6 3 =a,9 4 =a,10 5 =a,12 6 =a, 将数列 n a各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表: 3 5 6 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; 求 100 a (II) (本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分,但全卷总分不超过 150 分) 设 n b是集合tsr tsr +0|222,且
12、,Ztsr中所有的数从小到大排列成的数 列,已知1160= k b,求k. 2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷全国卷) 数学数学(理工农医类)(理工农医类)答案答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本一、选择题:本题考查基本知识和基本运算运算. . 每小题每小题 5 5 分,满分分,满分 6060 分分. . 1D 2C 3D 4A 5C 6B 7C 8D 9D 10C 11B 12A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. .每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 1616 分分. . 13 2 21 14 (-1,0) 1572 16
13、 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 6 小题,共小题,共 7474 分分. .解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. . 17 解:设)60sin60cos rrz+=,则复数. 2 r z的实部为 2 ,rzzrzz=由题设 . 12|).( 12, 12:. 012 ,421, )2)(2(|) 1)(1( :|2|1| 2 222 =+ +=+= zrrrr rrrrrzzzzzzzz 即舍去解得整理得 即 18 ()解:连结 BG,则 BG 是 BE 在 ABD 的射影,即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 A
14、B 中点,连结 EF、FC, . 3 2 arcsin . 3 2 3 1 3 6 sin . 3, 32,22,2 . 3 6 3 21 ,2 )4(. 3, 1, 3 1 ., , 1 1 22 11 所成的角是与平面 于是 分 中在直角三角形的重心是连结 为矩形平面又的中点分别是 ABDBA EB EG EBG EBBAABCDFC EGED FDEFFDFDFGEF EFDDFGADBGDE CDEFABCDCBACCED = = = = = ()解:,FABEFEFEDABED=又 . 3 62 3 62 32 222 , .,., .,., 1 1 111 111 1111 111
15、 的距离为到平面中在 的距离到平面是即平面垂足为作 面且面平面平面面又面 AEDA AB BAAA KAABA AEDAKAAEDKAKAEKA AEABAAEDABAAEDAEDEDABAED = = = = 19解:函数 x cy =在 R 上单调递减. 10c 不等式. 1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx+=+ 22 ,2 , |2 | 2 ,2 , |2 |2 . 1 |2 | 121. 2 1 ,0. 2 1 ,1.(0, 1,). 2 xc xc xxc cxc yxxcRc xxcRcc PQc PQcc += = + + + 函数在 上的最小值为 不等式的
16、解集为 如果 正确 且 不正确 则 如果 不正确 且 正确 则所以 的取值范围为 (以上方法在新疆考区无一人使用,大都是用解不等式的方法,个别使用的图象法) 20解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻: (1)台风中心 P(yx,)的坐标为 += = . 2 2 20 10 27 300 , 2 2 20 10 2 300 ty tx 此时台风侵袭的区域是,)()()( 22 tryyxx+ 其中,6010)(+=ttr若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭,则有 .)6010()0()0( 222 +tyx即 22 ) 2 2 20 10 27 300() 2 2
17、 20 10 2 300(tt+ 2412, 028836,)6010( 22 +tttt解得即 答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否 存在的两定点,使得点 P 到两点距离的和为定值. 按题意有 A(2,0) ,B(2,0) ,C(2,4a) ,D(2,4a)设 (01) BECFDG kk BCCDDA = 由此有 E(2,4ak) ,F(24k,4a) ,G(2,4a4ak) 直线 OF 的方程为:0) 12(2=+ykax 直线 GE 的方程为:02) 12(=+ayxka 从,消去参数 k,得点 P(x,y)坐标满
18、足方程022 222 =+ayyxa 整理得 1 )( 2 1 2 22 = + a ayx 当 2 1 2 =a时,点 P 的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点. 当 2 1 2 a时,点 P 轨迹为椭圆的一部分,点 P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 奎屯 王新敞 新疆 当 2 1 2 a时,点 P 到椭圆两个焦点(), 2 1 (), 2 1 22 aaaa的距离之和为定值2 奎屯 王新敞 新疆 当 2 1 2 a时,点 P 到椭圆两个焦点(0, ) 2 1 , 0(), 2 1 22 +aaaa 的距离之和为定 值 2a. 22 (本小题满分 12 分,附加题 4 分) ()解:用(t
19、,s)表示22 ts +,下表的规律为 3((0,1)= 01 22+) 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) (i)第四行 17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) (i i)解法一:因为 100(1+2+3+4+13)+9,所以 100 a=(8,14) 814 22+16640 解法二:设 00 22 100 ts a+=,只须确定正整数., 00 ts 数列 n a中小于 0 2t的项构成的子集为 ,0|22 0 t tts s + 其元素个
20、数为 .100 2 ) 1( , 2 ) 1( 00002 0 = tttt Ct依题意 满足等式的最大整数 0 t为 14,所以取.14 0 =t 因为 100.1664022, 8s, 1 814 10000 2 14 =+=+=asC由此解得 ()解:,2221160 3710 += k b 令 0|222B,(1160| r tsrCBcM ts +=其中 因.22222|222|2| 37107107101010 +=cBccBccBcM 现在求 M 的元素个数:,100|2222| 10 +=tsrcBc tsr 其元素个数为 3 10 C: .70|222222| 1071010
21、 +=+srcBc rs 某元素个数为30|22222222|: 71037107102 7 +=+rcBcC r 某元素个数为.1451: 2 3 2 7 3 10 7 10 =+=CCCkC 另法:规定222 rts +=(r,t,s) , 1073 1160222 k b =+(3,7,10) 则 012 1 222b =+ (0,1,2) 2 2 C 依次为 (0,1,3) (0,2,3) (1,2,3) 2 3 C (0,1,4) (0,2,4) (1,2,4) (0,3,4) (1,3,4) (2,3,4) 2 4 C (0,1,9) (0,2,9) ( 6,8,9 ) (7,8,9) 2 9 C (0,1,10) (0,2,10)(0,7,10) ( 1,7,10) (2,7,10) (3,7,10) 2 7 C+4 2222 2397 ()4145.kCCCC=+=