2019-2020学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 20 页） 2019-2020 学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 2A ，1，0，1，2， 2 |1Bx x，则(AB ) A |1x x 或1x B 2，2 C2 D0 2 （5 分）已知复数z满足31(zi i 为虚数单位） ，则复数z的模为( ) A2 B2 C5 D5 3 （5 分）如图， 九章算术

2、中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10尺） ，现被风折断，尖 端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺 A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 4 （5 分）函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx的零点所在区间为( ) A( 1,0) B 1 (0, ) 2 C 1 (,1) 2 D(1,2) 5 （5 分）三个数 0.8 7， 7 0.8， 0.8 log7的大小顺序是( ) A 70.8 0.8 log70.87 B 0.87 0.8 log770.8 C 70.8 0.8 0.

3、87log7 D 0.87 0.8 70.8log7 6 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 5 6 和 3 4 ，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 5 12 D 1 6 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）设, a b是非零向量，则2ab是 | ab ab 成立的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 8 （5 分）已知四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正方形，PAB是等边三角 形，平面PAB 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体

4、积为( ) A28 21 B 99 11 2 C 63 7 2 D108 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(1P，)(0)m m，则 下列各式一定为正的是( ) Asincos Bcossin Csincos D sin tan 10 （5 分）某大学进行

5、自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、 阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 其 中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 11 （5 分）已知定义在R上的函数( )yf x满足条件(2)( )f xf x ，且函数(1)yf x 第 3 页（共 20 页） 为奇函数，则( ) A函数( )yf

6、 x是周期函数 B函数( )yf x的图象关于点( 1,0)对称 C函数( )yf x为R上的偶函数 D函数( )yf x为R上的单调函数 12（5 分） 过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点， 则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当 9 2, 2 AFFBAB时 D|AB的最小值为 4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知tan3，则 sincos sincos 的值为 14 （5 分）在 26 1 (2)x x 的展开式中常

7、数项是 ；中间项是 15 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ，双曲线 22 22 :1 xy N mn 若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N的离心率为 16 （5 分）已知函数( )9sin(2) 6 f xx ，当0x，10 时，把函数( )( )6F xf x的所 有零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x， 且 123n xxxx， 记数列 n x的前n项和为 n S， 则 1 2() nn Sxx 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解

8、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC面积2 ABC S， 6 ADC 这两个条件中任选一个，补充在下面 问题中，求AC如图，在平面四边形ABCD中， 3 4 ABC ，BACDAC ， ， 24CDAB，求AC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 第 4 页（共 20 页） 18 （12 分）已知数 n a， n b满足： 1 12 nn aan ， nn ban， 1 2b （1）证明数列 n b是等比数列，并求数列 n b的通项 （2）求数列 n a的前n项和 n S 19 （12 分） 如图， 扇形ADB的半

9、径为 2， 圆心角120AOBPO 平面,5AOB PO， 点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，2BMMP，且/ /PA平面MOC，AB与OC相 交于点N （1）求证：平面MOC 平面POB； （2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2，且 过点 2 (1,) 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直 线l，使得F为BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）某公司准备投产一

10、种新产品，经测算，已知每年生产(515)xx剟万件的该种产 品所需要的总成本 3 2 23 ( )1630 910 x C xxx（万元） ，依据产品尺寸，产品的品质可能出 现优、 中、 差三种情况， 随机抽取了1000件产品测量尺寸， 尺寸分别在25.26，25.30)，25.30， 第 5 页（共 20 页） 25.34)，25.34，25.38)，25.38，25.42)，25.42，25.46)，25.46，25.50)，25.50，25.54 （单位：)mm中，经统计得到的频率分布直方图如图所示 产品的品质情况和相应的价格m（元/件）与年产量x之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺

11、寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34，25.46) 34mx 中 25.26，25.34) 3 25 5 mx 差 25.46，25.54 3 20 5 mx 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a的值； （2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； （3）估计当年产量x为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值 22 （12 分）已知函数( ), ( ) x lnx f xg xe x （1）若函数 2 1 ( )1(1) ( ) 2 h xaxxaf x有唯一的极小值点，求实数a的取值范围； （2）求证：( )1(1)f xg x 第 6

12、页（共 20 页） 2019-2020 学年山东省日学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷照市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 2A ，1，0，1，2， 2 |1Bx x，则(AB ) A |1x x 或1x B 2，2 C2 D0 【解答】解：由B中不等式解得：1x 或1x ，即 |1Bx x或1x ， 2A ，1，0，1，2， 2AB

13、，2， 故选：B 2 （5 分）已知复数z满足31(zi i 为虚数单位） ，则复数z的模为( ) A2 B2 C5 D5 【解答】解：31zi ，3 12zii ， |5z 故选：D 3 （5 分）如图， 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈10尺） ，现被风折断，尖 端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺 A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 【解答】解：如图，已知10ACAB（尺)，3BC （尺)， 222 9ABACBC， 所以()()9ABAC ABAC，解得0.9AB

14、AC， 第 7 页（共 20 页） 因此 10 0.9 ABAC ABAC ，解得 5.45 4.55 AB AC ， 故折断后的竹干高为 4.55 尺， 故选：B 4 （5 分）函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx的零点所在区间为( ) A( 1,0) B 1 (0, ) 2 C 1 (,1) 2 D(1,2) 【解答】解：函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx是增函数并且是连续函数， 可得 111 ( )0 282 f，f（1） 1 10 2 1 ( ) 2 ff（1）0， 所以函数的零点在 1 ( 2 ，1) 故选：C 5 （5 分）三个数 0.8 7， 7 0.8， 0.

15、8 log7的大小顺序是( ) A 70.8 0.8 log70.87 B 0.87 0.8 log770.8 C 70.8 0.8 0.87log7 D 0.87 0.8 70.8log7 【解答】解： 0.80 771， 7 00.81， 0.80.8 log7log10， 70.8 0.87 0 87log 故选：A 6 （5 分）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 5 6 和 3 4 ，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 5 12 D 1 6 第 8 页（共 20 页） 【解答】解：由于两个零件是否

16、加工为一等品相互独立， 所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品 535 31 (1)(1) 646 43 P， 故选：B 7 （5 分）设, a b是非零向量，则2ab是 | ab ab 成立的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：对于非零向量, a b，由2ab，得, a b共线同向，则 | ab ab ； 反之，由 | ab ab ，可得, a b共线同向，但不一定是2ab 2ab是 | ab ab 成立的充分不必要条件 故选：B 8 （5 分）已知四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正

17、方形，PAB是等边三角 形，平面PAB 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球体积为( ) A28 21 B 99 11 2 C 63 7 2 D108 3 【解答】解：四棱锥PABCD的体积是36 3，底面ABCD是正方形， 如图所示： 则：设正方形ABCD的边长为2x，在等边三角形PAB中，过P点作PEAB， 由于平面PAB 平面ABCD， 所以PE 平面ABCD 第 9 页（共 20 页） 由于PAB是等边三角形，解得3PEx 所以 1 22336 3 3 Vxxx， 解得3x 设外接球的半径为R， 所以 22 (3 2)( 3)21R 所以 3 484 21 ( 21)28 21 33

18、 V 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点(1P，)(0)m m，则 下列各式一定为正的是( ) Asincos Bcossin Csincos D sin tan 【解答】解：角以Ox为始边，终边经过点(1P，)(0)m m，是第四象限角， sin0，

19、cos0， cossin不一定是正数，故排除A； cossin0，故B正确； cossin0，故C一定错误； sin cos0 tan ，故D正确， 故选：BD 10 （5 分）某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、 阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 其 中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是( ) 第 10 页（共 20 页） A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前 D

20、甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【解答】解：根据图示，对于A，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学 更靠前，故A正确； 对于B，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排 名比逻辑排名成绩更靠前，故B错误 对于C，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前故C正 确 对于D，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比 他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D错误 故选：AC 11 （5 分）已知定义在R上的函数( )yf x满足条件(2)( )f xf x ，且函数(1)yf x 为奇函数，则(

21、) A函数( )yf x是周期函数 B函数( )yf x的图象关于点( 1,0)对称 C函数( )yf x为R上的偶函数 D函数( )yf x为R上的单调函数 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，函数( )yf x满足(2)( )f xf x ，则(4 )(2 )( )f xf xf x，即函数( )f x是 周期为 4 的周期函数，A正确； 第 11 页（共 20 页） 对于B，(1)yf x是奇函数，则(1)f x的图象关于原点对称，又由函数( )f x的图象是由 (1)yf x向左平移 1 个单位长度得到，故函数( )f x的图象关于点( 1,0)对称，B正确； 对 于C， 由

22、B可 得 ： 对 于 任 意 的xR， 都 有(1)(1)fxfx ， 即 (1)(1)0fxfx， 变形可得( 2)( )0fxf x ， 则有( 2)( )(2)fxf xf x 对 于任意的xR都成立，令2tx，则()( )ftf t，即函数( )f x是偶函数，C正确； 对于D，( )f x为偶函数，则其图象关于y轴对称，( )f x在R上不是单调函数，D错误； 故选：ABC 12（5 分） 过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点， 则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当 9 2, 2 AFFBAB时

23、D|AB的最小值为 4 【解答】解： 2 4yx的焦点(1,0)F，准线方程为1x ， 设A，B，M在准线上的射影为 A ， B ， M ， 由| |AF AA ，| |BF BB ， 111 |(|)(|)| 222 MMAABBAFFBAB， 可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故A错； 当直线AB的斜率不存在时，显然以线段BM为直径的圆与y轴相切； 当直线AB的斜率存在且不为 0，可设直线AB的方程为ykxk，联立 2 4yx，可得 2222 (24)0k xkxk， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 可得 12 2 4 2xx k ， 12 1x

24、 x ，设 1 32 2x ， 2 32 2x ， 可得M的横坐标为 2 2 1 k ，MB的中点的横坐标为 2 2 12 (1) 2 x k ， 2 2 2 2 |1|1|BMkx k ， 当1k 时，MB的中点的横坐标为 5 2 2 ， 1 | 2 2 MB ，显然以线段BM为直径的圆与y轴 相交，故B错； 以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为 2 1cos ， 第 12 页（共 20 页） 设 1 (A，)， 2 (B，)，可得 1 2 1cos ， 2 22 1cos()1cos ， 可得 111cos1cos 1 |22AFBF ，又| 2|AFFB，可得| 3AF

25、， 3 | 2 FB ，则 9 | | 2 ABAFFB，故C正确； 显然当直线AB垂直于x轴，可得|AB取得最小值 4，故D正确 故选：CD 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知tan3，则 sincos sincos 的值为 1 2 【解答】解：tan3， sincostan13 11 sincostan1312 故答案为： 1 2 14 （5 分）在 26 1 (2)x x 的展开式中常数项是 5 60T ；中间项是 【解答】解： 26 1 (2)x x 的展开式的通项 26 16 1 (2)()( 1)

26、2 rrrr r TCx x 612 3 6 rrr C x 令1230r得4r 展开式的常数项为 4 56 460TC 令3r 得展开式的中间项为 333 46 8160TC xx 故答案为 60， 3 160x 15 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ，双曲线 22 22 :1 xy N mn 若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 第 13 页（共 20 页） 的离心率为 31 ；双曲线N的离心率为 【解答】解：椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ，双曲线 22 22 :1 xy N mn

27、若双曲线N的两条渐 近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标( ,0)c，正六边形的一个顶点( 2 c ， 3 ) 2 c ，可得： 22 22 3 1 44 cc ab ，可得 2 2 13 1 1 4 4(1) e e ，可得 42 840ee，(0,1)e， 解得31e 同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即3 n m ， 可得： 2 2 3 n m ，即 22 2 4 mn m ， 可得双曲线的离心率为 22 2 2 mn e m 故答案为：31；2 16 （5 分）已知函数( )9sin(2) 6 f xx ，当0x，10 时，把函数( )(

28、)6F xf x的所 有零点依次记为 1 x， 2 x， 3 x， n x， 且 123n xxxx， 记数列 n x的前n项和为 n S， 则 1 2() nn Sxx 551 3 【解答】解：( )( )6F xf x的零点即( )6f x ，即 2 sin(2) 63 x ， 由22 62 xk ，kZ，解得 12 (2) 23 xk ，0k ，1，9，即为sin(2) 6 yx 的图象的对称轴方程， 则 12 2 3 xx ， 34 8 3 xx ， 1920 56 3 xx ， 可得 1 256290 () 10 2333 n S ， 1 12229 (arcsin18arcsin)

29、 2 63363 n xx ， 则 1 58029551 2() 333 nn Sxx ， 故答案为： 551 3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 （10 分）在ABC面积2 ABC S， 6 ADC 这两个条件中任选一个，补充在下面 第 14 页（共 20 页） 问题中， 求AC 如图， 在平面四边形ABCD中， 3 4 ABC ，BACDAC ， ABC 面积2 ABC S ，24CDAB，求AC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：当ABC面积

30、2 ABC S，24CDAB， 3 4 ABC ， 所以2AB 故 13 sin2 24 ABBC ，解得2 2BC 则： 222 3 2cos 4 ACBCABBC AB ， 解得：2 5AC 故答案为：ABC面积2 ABC S2 5AC 18 （12 分）已知数 n a， n b满足： 1 12 nn aan ， nn ban， 1 2b （1）证明数列 n b是等比数列，并求数列 n b的通项 （2）求数列 n a的前n项和 n S 【解答】解： （1） nn ban， 1 2b ， 1 1a， 1 12 nn aan ， 1 12() nn anan ， 1 (1) 2 n n an

31、an ，即 1 2 n n b b 数列 n b是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则2n n b ； （2）由 nn ban，得2n n an， 12nn Sbbb 123 (2222 )(1 23) n n 第 15 页（共 20 页） 22 1 2(12 ) 22 1222 n n nnnn 19 （12 分） 如图， 扇形ADB的半径为 2， 圆心角120AOBPO 平面,5AOB PO， 点C为弧AB上一点，点M在线段PB上，2BMMP，且/ /PA平面MOC，AB与OC相 交于点N （1）求证：平面MOC 平面POB； （2）求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值 【解答】

32、解：（1） 证明：/ /PA平面MOC，PA在平面PAB内， 平面PAB平面MOCMN， / /PAMN， 2BMMP， 2BNAN， 在AOB中，由余弦定理有， 22 1 2cos12044222()2 3 2 ABOAOBOA OB ， 24 3 33 BNAB， 又在OBN中，30OBN，由余弦定理有， 22 164 332 3 2cos30422 3323 ONOBBNOB BN ， 222 OBONBN，故OBON， 又PO 平面ABC，ON在平面ABC内， POON， 又POOBO，且PO，OB都在平面POB内， ON平面POB， 第 16 页（共 20 页） 又ON在平面MOC内

33、， 平面MOC 平面POB； （2）以点O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 2 2 5 (0,0,0), (0,0, 5), (0,2,0), ( 3, 1,0),(0,) 33 OPBAM， 则(0,0, 5),( 3, 1,0)OPOA， 2 2 52 3 (0,),(,0,0) 333 OMON， 设平面POA的一个法向量为( , , )mx y z，则 50 30 m OPz m OAxy ，可取(1, 3,0)m ； 设平面MOC的一个法向量为( , , )na b c，则 22 5 0 33 2 3 0 3 n OMbc

34、 n ONa ，可取(0,5,1)n ， |1510 |cos,| |446 m n m n m n ， 平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为 6 4 20 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2，且 过点 2 (1,) 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直 第 17 页（共 20 页） 线l，使得F为BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）由题意知：22c ， 22 11 1 2ab ， 222 abc，解得：

35、 2 2a ， 2 1b ， 所以椭圆的方程为： 2 2 1 2 x y； （2） 假设存在这样的直线l， 使得F为BMN的垂心， 由 （1） 得( 0 , 1 )B，(1,0)F，1 BF k ， 由题意可得lBF，NFBM，设直线l的方程为：yxm，( , )M x y，( ,)N x y， 联立直线与椭圆的方程整理得： 22 34220xmxm， 22 164 3 (22)0mm ， 可得 2 3m ，即33m， 且 4 3 m x x ， 2 22 3 m xx ， 2 ()yyxxm xxm (1FN BM x ，)(yx， 22 22 22434 1)()2(1)()2(1) 33

36、3 mmmm yxxxyyyxxyyxxmxxmxxmmmmm ， 因为NFBM，所以0NF BM ， 所以 2 340mm，解得：1m 或 4 3 m ， 当1m 过了B点，所以舍去 所以存在直线 4 : 3 l yx符合F为BMN的垂心 21 （12 分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产(515)xx剟万件的该种产 品所需要的总成本 3 2 23 ( )1630 910 x C xxx（万元） ，依据产品尺寸，产品的品质可能出 现优、 中、 差三种情况， 随机抽取了1000件产品测量尺寸， 尺寸分别在25.26，25.30)，25.30， 25.34)，25.34，25.38

37、)，25.38，25.42)，25.42，25.46)，25.46，25.50)，25.50，25.54 第 18 页（共 20 页） （单位：)mm中，经统计得到的频率分布直方图如图所示 产品的品质情况和相应的价格m（元/件）与年产量x之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34，25.46) 34mx 中 25.26，25.34) 3 25 5 mx 差 25.46，25.54 3 20 5 mx 以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a的值； （2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； （3）估计当年产量

38、x为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值 【解答】解： （1）由题意得：0.04 (2342.54.53)1a ；解得6a ； （2）当产品品质为优时频率为：0.04 (462.5)0.5，此时价格为34x ； 当产品品质为中时频率为：0.04 (23)0.2，此时价格为 3 25 5 x； 当产品品质为差时频率为：0.04(4.53)0.3，此时价格为 3 20 5 x； 以频率作为概率，随机变量的分布列： 34x 3 25 5 x 3 20 5 x p 0.5 0.2 0.3 ； 第 19 页（共 20 页） （3）设公司年利润为( )f x； 则 3 2 3323 ( )(34) 0.

39、5(25) 0.2(20) 0.3(1630) 55910 x f xxxxxxx ， 整理得 3 2 3 ( )1230 92 x f xxx ； 2 11 ( )312(3)(12) 33 fxxxxx ； 5x ，12时，( ) 0fx；12x，15时，( ) 0fx； 显然当12x 时函数( )f x取最大值(12)138f； 估计当年产量x为 12 时，该公司年利润最大，最大值为 138 22 （12 分）已知函数( ), ( ) x lnx f xg xe x （1）若函数 2 1 ( )1(1) ( ) 2 h xaxxaf x有唯一的极小值点，求实数a的取值范围； （2）求证：

40、( )1(1)f xg x 【解答】解： （1） 22 11 ( )1(1) ( )(1) 22 h xaxxaf xaxxalnx， 则 2 1(1)(1)(1) ( )1 aaxxaaxax h xax xxx ，0x ， 令( )(1)(1)g xaxax， 当0a 时，( )1g xx，易得函数( )h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，此时 存在唯一的极小值点，满足题意， 当0a 时，令( )0g x 可得1x ， 1 10x a （舍)， 易得当01x时，( )0g x ，即( )0h x，则函数( )h x在(0,1)上单调递减， x xe xlnx e 当0a 时

41、，令( )0g x 可得 2 1x ， 1 1 1x a ， ( ) i若 1 10 a ，则不合题意，故 1 10 a ，且 12 xx，即10a 且 1 2 a ， 设 1 mmax x， 2 x， 1 nmin x， 2 x， 当(0, )xn时，( )0g x ，即( )0h x，( )h x在( ,)n m上单调递减， 当( ,)xn m时，( )0g x ，即( )0h x，( )h x在( ,)n m上单调递增， 当( ,)xm时，( )0g x ，即( )0h x，( )h x在( ,)n m上单调递减， 此时存在唯一的极小值点，满足题意， 综上可得，1a 且 1 2 a ， 第 20 页（共 20 页） （2）令( ) x xe F xxlnx e ，则 1 (1)11 ( )1(1)() x x xe F xxe exx ， 令 1 1 ( ) x H xe x ，易得( )H x上单调递增且H（1）0， 当(0,1)x时，( )0H x ，从而( )0F x，F( ) x单调递减， 当(1,)x时，( )0H x ，从而( )0F x，F( ) x单调递增， 故( )F xF（1）0， 即0 x xe xlnx e ， 所以 1 1 x lnx e x ， 所以，( )1(1)f xg x