1、 第 1 页(共 20 页) 2019-2020 学年山东省日照市高三(上)期末数学试卷学年山东省日照市高三(上)期末数学试卷 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)若集合 2A ,1,0,1,2, 2 |1Bx x,则(AB ) A |1x x 或1x B 2,2 C2 D0 2 (5 分)已知复数z满足31(zi i 为虚数单位) ,则复数z的模为( ) A2 B2 C5 D5 3 (5 分)如图, 九章算术
2、中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地, 去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈10尺) ,现被风折断,尖 端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺 A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 4 (5 分)函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx的零点所在区间为( ) A( 1,0) B 1 (0, ) 2 C 1 (,1) 2 D(1,2) 5 (5 分)三个数 0.8 7, 7 0.8, 0.8 log7的大小顺序是( ) A 70.8 0.8 log70.87 B 0.87 0.8 log770.8 C 70.8 0.8 0.
3、87log7 D 0.87 0.8 70.8log7 6 (5 分)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 5 6 和 3 4 ,两个零件是 否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 5 12 D 1 6 第 2 页(共 20 页) 7 (5 分)设, a b是非零向量,则2ab是 | ab ab 成立的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 8 (5 分)已知四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正方形,PAB是等边三角 形,平面PAB 平面ABCD,则四棱锥PABCD外接球体
4、积为( ) A28 21 B 99 11 2 C 63 7 2 D108 3 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有分在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,终边经过点(1P,)(0)m m,则 下列各式一定为正的是( ) Asincos Bcossin Csincos D sin tan 10 (5 分)某大学进行
5、自主招生测试,需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、 阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 其 中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,下列叙述正确的是( ) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 11 (5 分)已知定义在R上的函数( )yf x满足条件(2)( )f xf x ,且函数(1)yf x 第 3 页(共 20 页) 为奇函数,则( ) A函数( )yf
6、 x是周期函数 B函数( )yf x的图象关于点( 1,0)对称 C函数( )yf x为R上的偶函数 D函数( )yf x为R上的单调函数 12(5 分) 过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点, 则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当 9 2, 2 AFFBAB时 D|AB的最小值为 4 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知tan3,则 sincos sincos 的值为 14 (5 分)在 26 1 (2)x x 的展开式中常
7、数项是 ;中间项是 15 (5 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ,双曲线 22 22 :1 xy N mn 若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N的离心率为 16 (5 分)已知函数( )9sin(2) 6 f xx ,当0x,10 时,把函数( )( )6F xf x的所 有零点依次记为 1 x, 2 x, 3 x, n x, 且 123n xxxx, 记数列 n x的前n项和为 n S, 则 1 2() nn Sxx 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解
8、答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (10 分)在ABC面积2 ABC S, 6 ADC 这两个条件中任选一个,补充在下面 问题中,求AC如图,在平面四边形ABCD中, 3 4 ABC ,BACDAC , , 24CDAB,求AC 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 第 4 页(共 20 页) 18 (12 分)已知数 n a, n b满足: 1 12 nn aan , nn ban, 1 2b (1)证明数列 n b是等比数列,并求数列 n b的通项 (2)求数列 n a的前n项和 n S 19 (12 分) 如图, 扇形ADB的半
9、径为 2, 圆心角120AOBPO 平面,5AOB PO, 点C为弧AB上一点,点M在线段PB上,2BMMP,且/ /PA平面MOC,AB与OC相 交于点N (1)求证:平面MOC 平面POB; (2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值 20 (12 分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2,且 过点 2 (1,) 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M,N两点,问是否存在直 线l,使得F为BMN的垂心,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 21 (12 分)某公司准备投产一
10、种新产品,经测算,已知每年生产(515)xx剟万件的该种产 品所需要的总成本 3 2 23 ( )1630 910 x C xxx(万元) ,依据产品尺寸,产品的品质可能出 现优、 中、 差三种情况, 随机抽取了1000件产品测量尺寸, 尺寸分别在25.26,25.30),25.30, 第 5 页(共 20 页) 25.34),25.34,25.38),25.38,25.42),25.42,25.46),25.46,25.50),25.50,25.54 (单位:)mm中,经统计得到的频率分布直方图如图所示 产品的品质情况和相应的价格m(元/件)与年产量x之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺
11、寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34,25.46) 34mx 中 25.26,25.34) 3 25 5 mx 差 25.46,25.54 3 20 5 mx 以频率作为概率解决如下问题: (1)求实数a的值; (2)当产量x确定时,设不同品质的产品价格为随机变量,求随机变量的分布列; (3)估计当年产量x为何值时,该公司年利润最大,并求出最大值 22 (12 分)已知函数( ), ( ) x lnx f xg xe x (1)若函数 2 1 ( )1(1) ( ) 2 h xaxxaf x有唯一的极小值点,求实数a的取值范围; (2)求证:( )1(1)f xg x 第 6
12、页(共 20 页) 2019-2020 学年山东省日学年山东省日照市高三(上)期末数学试卷照市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分)若集合 2A ,1,0,1,2, 2 |1Bx x,则(AB ) A |1x x 或1x B 2,2 C2 D0 【解答】解:由B中不等式解得:1x 或1x ,即 |1Bx x或1x , 2A ,1,0,1,2, 2AB
13、,2, 故选:B 2 (5 分)已知复数z满足31(zi i 为虚数单位) ,则复数z的模为( ) A2 B2 C5 D5 【解答】解:31zi ,3 12zii , |5z 故选:D 3 (5 分)如图, 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地, 去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈10尺) ,现被风折断,尖 端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺 A5.45 B4.55 C4.2 D5.8 【解答】解:如图,已知10ACAB(尺),3BC (尺), 222 9ABACBC, 所以()()9ABAC ABAC,解得0.9AB
14、AC, 第 7 页(共 20 页) 因此 10 0.9 ABAC ABAC ,解得 5.45 4.55 AB AC , 故折断后的竹干高为 4.55 尺, 故选:B 4 (5 分)函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx的零点所在区间为( ) A( 1,0) B 1 (0, ) 2 C 1 (,1) 2 D(1,2) 【解答】解:函数 3 1 ( )( ) 2 x f xx是增函数并且是连续函数, 可得 111 ( )0 282 f,f(1) 1 10 2 1 ( ) 2 ff(1)0, 所以函数的零点在 1 ( 2 ,1) 故选:C 5 (5 分)三个数 0.8 7, 7 0.8, 0.
15、8 log7的大小顺序是( ) A 70.8 0.8 log70.87 B 0.87 0.8 log770.8 C 70.8 0.8 0.87log7 D 0.87 0.8 70.8log7 【解答】解: 0.80 771, 7 00.81, 0.80.8 log7log10, 70.8 0.87 0 87log 故选:A 6 (5 分)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 5 6 和 3 4 ,两个零件是 否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 5 12 D 1 6 第 8 页(共 20 页) 【解答】解:由于两个零件是否
16、加工为一等品相互独立, 所以两个零件中恰有一个一等品为:两人一个为一个为一个一等品,另一个不为一等品 535 31 (1)(1) 646 43 P, 故选:B 7 (5 分)设, a b是非零向量,则2ab是 | ab ab 成立的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解:对于非零向量, a b,由2ab,得, a b共线同向,则 | ab ab ; 反之,由 | ab ab ,可得, a b共线同向,但不一定是2ab 2ab是 | ab ab 成立的充分不必要条件 故选:B 8 (5 分)已知四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正
17、方形,PAB是等边三角 形,平面PAB 平面ABCD,则四棱锥PABCD外接球体积为( ) A28 21 B 99 11 2 C 63 7 2 D108 3 【解答】解:四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正方形, 如图所示: 则:设正方形ABCD的边长为2x,在等边三角形PAB中,过P点作PEAB, 由于平面PAB 平面ABCD, 所以PE 平面ABCD 第 9 页(共 20 页) 由于PAB是等边三角形,解得3PEx 所以 1 22336 3 3 Vxxx, 解得3x 设外接球的半径为R, 所以 22 (3 2)( 3)21R 所以 3 484 21 ( 21)28 21 33
18、 V 故选:A 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有分在每小题给出的四个选项中,有 多项符合题目要求,全部选对的得多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,终边经过点(1P,)(0)m m,则 下列各式一定为正的是( ) Asincos Bcossin Csincos D sin tan 【解答】解:角以Ox为始边,终边经过点(1P,)(0)m m,是第四象限角, sin0,
19、cos0, cossin不一定是正数,故排除A; cossin0,故B正确; cossin0,故C一定错误; sin cos0 tan ,故D正确, 故选:BD 10 (5 分)某大学进行自主招生测试,需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试学校对 参加测试的 200 名学生的逻辑思维成绩、 阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名 其 中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示,下列叙述正确的是( ) 第 10 页(共 20 页) A甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 B乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 C甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 D
20、甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【解答】解:根据图示,对于A,可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学 更靠前,故A正确; 对于B,乙同学的总排名比较靠前,但是他的逻辑思维排名比较靠后,说明他的阅读表达排 名比逻辑排名成绩更靠前,故B错误 对于C,甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲,丙乙并列,故甲同学最靠前故C正 确 对于D,甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前,总成绩排名靠后,即有阅读表达成绩排名比 他的逻辑思维成绩排名更靠后,故D错误 故选:AC 11 (5 分)已知定义在R上的函数( )yf x满足条件(2)( )f xf x ,且函数(1)yf x 为奇函数,则(
21、) A函数( )yf x是周期函数 B函数( )yf x的图象关于点( 1,0)对称 C函数( )yf x为R上的偶函数 D函数( )yf x为R上的单调函数 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 对于A,函数( )yf x满足(2)( )f xf x ,则(4 )(2 )( )f xf xf x,即函数( )f x是 周期为 4 的周期函数,A正确; 第 11 页(共 20 页) 对于B,(1)yf x是奇函数,则(1)f x的图象关于原点对称,又由函数( )f x的图象是由 (1)yf x向左平移 1 个单位长度得到,故函数( )f x的图象关于点( 1,0)对称,B正确; 对 于C, 由
22、B可 得 : 对 于 任 意 的xR, 都 有(1)(1)fxfx , 即 (1)(1)0fxfx, 变形可得( 2)( )0fxf x , 则有( 2)( )(2)fxf xf x 对 于任意的xR都成立,令2tx,则()( )ftf t,即函数( )f x是偶函数,C正确; 对于D,( )f x为偶函数,则其图象关于y轴对称,( )f x在R上不是单调函数,D错误; 故选:ABC 12(5 分) 过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点, 则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当 9 2, 2 AFFBAB时
23、D|AB的最小值为 4 【解答】解: 2 4yx的焦点(1,0)F,准线方程为1x , 设A,B,M在准线上的射影为 A , B , M , 由| |AF AA ,| |BF BB , 111 |(|)(|)| 222 MMAABBAFFBAB, 可得线段AB为直径的圆与准线相切,与直线y轴相交,故A错; 当直线AB的斜率不存在时,显然以线段BM为直径的圆与y轴相切; 当直线AB的斜率存在且不为 0,可设直线AB的方程为ykxk,联立 2 4yx,可得 2222 (24)0k xkxk, 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y, 可得 12 2 4 2xx k , 12 1x
24、 x ,设 1 32 2x , 2 32 2x , 可得M的横坐标为 2 2 1 k ,MB的中点的横坐标为 2 2 12 (1) 2 x k , 2 2 2 2 |1|1|BMkx k , 当1k 时,MB的中点的横坐标为 5 2 2 , 1 | 2 2 MB ,显然以线段BM为直径的圆与y轴 相交,故B错; 以F为极点,x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为 2 1cos , 第 12 页(共 20 页) 设 1 (A,), 2 (B,),可得 1 2 1cos , 2 22 1cos()1cos , 可得 111cos1cos 1 |22AFBF ,又| 2|AFFB,可得| 3AF
25、, 3 | 2 FB ,则 9 | | 2 ABAFFB,故C正确; 显然当直线AB垂直于x轴,可得|AB取得最小值 4,故D正确 故选:CD 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知tan3,则 sincos sincos 的值为 1 2 【解答】解:tan3, sincostan13 11 sincostan1312 故答案为: 1 2 14 (5 分)在 26 1 (2)x x 的展开式中常数项是 5 60T ;中间项是 【解答】解: 26 1 (2)x x 的展开式的通项 26 16 1 (2)()( 1)
26、2 rrrr r TCx x 612 3 6 rrr C x 令1230r得4r 展开式的常数项为 4 56 460TC 令3r 得展开式的中间项为 333 46 8160TC xx 故答案为 60, 3 160x 15 (5 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ,双曲线 22 22 :1 xy N mn 若双曲线N的两条 渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 第 13 页(共 20 页) 的离心率为 31 ;双曲线N的离心率为 【解答】解:椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ,双曲线 22 22 :1 xy N mn
27、若双曲线N的两条渐 近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 可得椭圆的焦点坐标( ,0)c,正六边形的一个顶点( 2 c , 3 ) 2 c ,可得: 22 22 3 1 44 cc ab ,可得 2 2 13 1 1 4 4(1) e e ,可得 42 840ee,(0,1)e, 解得31e 同时,双曲线的渐近线的斜率为3,即3 n m , 可得: 2 2 3 n m ,即 22 2 4 mn m , 可得双曲线的离心率为 22 2 2 mn e m 故答案为:31;2 16 (5 分)已知函数( )9sin(2) 6 f xx ,当0x,10 时,把函数( )(
28、)6F xf x的所 有零点依次记为 1 x, 2 x, 3 x, n x, 且 123n xxxx, 记数列 n x的前n项和为 n S, 则 1 2() nn Sxx 551 3 【解答】解:( )( )6F xf x的零点即( )6f x ,即 2 sin(2) 63 x , 由22 62 xk ,kZ,解得 12 (2) 23 xk ,0k ,1,9,即为sin(2) 6 yx 的图象的对称轴方程, 则 12 2 3 xx , 34 8 3 xx , 1920 56 3 xx , 可得 1 256290 () 10 2333 n S , 1 12229 (arcsin18arcsin)
29、 2 63363 n xx , 则 1 58029551 2() 333 nn Sxx , 故答案为: 551 3 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明,证分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤明过程或演算步骤 17 (10 分)在ABC面积2 ABC S, 6 ADC 这两个条件中任选一个,补充在下面 第 14 页(共 20 页) 问题中, 求AC 如图, 在平面四边形ABCD中, 3 4 ABC ,BACDAC , ABC 面积2 ABC S ,24CDAB,求AC 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【解答】解:当ABC面积
30、2 ABC S,24CDAB, 3 4 ABC , 所以2AB 故 13 sin2 24 ABBC ,解得2 2BC 则: 222 3 2cos 4 ACBCABBC AB , 解得:2 5AC 故答案为:ABC面积2 ABC S2 5AC 18 (12 分)已知数 n a, n b满足: 1 12 nn aan , nn ban, 1 2b (1)证明数列 n b是等比数列,并求数列 n b的通项 (2)求数列 n a的前n项和 n S 【解答】解: (1) nn ban, 1 2b , 1 1a, 1 12 nn aan , 1 12() nn anan , 1 (1) 2 n n an
31、an ,即 1 2 n n b b 数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列,则2n n b ; (2)由 nn ban,得2n n an, 12nn Sbbb 123 (2222 )(1 23) n n 第 15 页(共 20 页) 22 1 2(12 ) 22 1222 n n nnnn 19 (12 分) 如图, 扇形ADB的半径为 2, 圆心角120AOBPO 平面,5AOB PO, 点C为弧AB上一点,点M在线段PB上,2BMMP,且/ /PA平面MOC,AB与OC相 交于点N (1)求证:平面MOC 平面POB; (2)求平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值 【解答】
32、解:(1) 证明:/ /PA平面MOC,PA在平面PAB内, 平面PAB平面MOCMN, / /PAMN, 2BMMP, 2BNAN, 在AOB中,由余弦定理有, 22 1 2cos12044222()2 3 2 ABOAOBOA OB , 24 3 33 BNAB, 又在OBN中,30OBN,由余弦定理有, 22 164 332 3 2cos30422 3323 ONOBBNOB BN , 222 OBONBN,故OBON, 又PO 平面ABC,ON在平面ABC内, POON, 又POOBO,且PO,OB都在平面POB内, ON平面POB, 第 16 页(共 20 页) 又ON在平面MOC内
33、, 平面MOC 平面POB; (2)以点O为坐标原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系, 则 2 2 5 (0,0,0), (0,0, 5), (0,2,0), ( 3, 1,0),(0,) 33 OPBAM, 则(0,0, 5),( 3, 1,0)OPOA, 2 2 52 3 (0,),(,0,0) 333 OMON, 设平面POA的一个法向量为( , , )mx y z,则 50 30 m OPz m OAxy ,可取(1, 3,0)m ; 设平面MOC的一个法向量为( , , )na b c,则 22 5 0 33 2 3 0 3 n OMbc
34、 n ONa ,可取(0,5,1)n , |1510 |cos,| |446 m n m n m n , 平面POA与平面MOC所成二面角的正弦值为 6 4 20 (12 分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2,且 过点 2 (1,) 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M,N两点,问是否存在直 第 17 页(共 20 页) 线l,使得F为BMN的垂心,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 【解答】解: (1)由题意知:22c , 22 11 1 2ab , 222 abc,解得:
35、 2 2a , 2 1b , 所以椭圆的方程为: 2 2 1 2 x y; (2) 假设存在这样的直线l, 使得F为BMN的垂心, 由 (1) 得( 0 , 1 )B,(1,0)F,1 BF k , 由题意可得lBF,NFBM,设直线l的方程为:yxm,( , )M x y,( ,)N x y, 联立直线与椭圆的方程整理得: 22 34220xmxm, 22 164 3 (22)0mm , 可得 2 3m ,即33m, 且 4 3 m x x , 2 22 3 m xx , 2 ()yyxxm xxm (1FN BM x ,)(yx, 22 22 22434 1)()2(1)()2(1) 33
36、3 mmmm yxxxyyyxxyyxxmxxmxxmmmmm , 因为NFBM,所以0NF BM , 所以 2 340mm,解得:1m 或 4 3 m , 当1m 过了B点,所以舍去 所以存在直线 4 : 3 l yx符合F为BMN的垂心 21 (12 分)某公司准备投产一种新产品,经测算,已知每年生产(515)xx剟万件的该种产 品所需要的总成本 3 2 23 ( )1630 910 x C xxx(万元) ,依据产品尺寸,产品的品质可能出 现优、 中、 差三种情况, 随机抽取了1000件产品测量尺寸, 尺寸分别在25.26,25.30),25.30, 25.34),25.34,25.38
37、),25.38,25.42),25.42,25.46),25.46,25.50),25.50,25.54 第 18 页(共 20 页) (单位:)mm中,经统计得到的频率分布直方图如图所示 产品的品质情况和相应的价格m(元/件)与年产量x之间的函数关系如表所示 产品品质 产品尺寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34,25.46) 34mx 中 25.26,25.34) 3 25 5 mx 差 25.46,25.54 3 20 5 mx 以频率作为概率解决如下问题: (1)求实数a的值; (2)当产量x确定时,设不同品质的产品价格为随机变量,求随机变量的分布列; (3)估计当年产量
38、x为何值时,该公司年利润最大,并求出最大值 【解答】解: (1)由题意得:0.04 (2342.54.53)1a ;解得6a ; (2)当产品品质为优时频率为:0.04 (462.5)0.5,此时价格为34x ; 当产品品质为中时频率为:0.04 (23)0.2,此时价格为 3 25 5 x; 当产品品质为差时频率为:0.04(4.53)0.3,此时价格为 3 20 5 x; 以频率作为概率,随机变量的分布列: 34x 3 25 5 x 3 20 5 x p 0.5 0.2 0.3 ; 第 19 页(共 20 页) (3)设公司年利润为( )f x; 则 3 2 3323 ( )(34) 0.
39、5(25) 0.2(20) 0.3(1630) 55910 x f xxxxxxx , 整理得 3 2 3 ( )1230 92 x f xxx ; 2 11 ( )312(3)(12) 33 fxxxxx ; 5x ,12时,( ) 0fx;12x,15时,( ) 0fx; 显然当12x 时函数( )f x取最大值(12)138f; 估计当年产量x为 12 时,该公司年利润最大,最大值为 138 22 (12 分)已知函数( ), ( ) x lnx f xg xe x (1)若函数 2 1 ( )1(1) ( ) 2 h xaxxaf x有唯一的极小值点,求实数a的取值范围; (2)求证:
40、( )1(1)f xg x 【解答】解: (1) 22 11 ( )1(1) ( )(1) 22 h xaxxaf xaxxalnx, 则 2 1(1)(1)(1) ( )1 aaxxaaxax h xax xxx ,0x , 令( )(1)(1)g xaxax, 当0a 时,( )1g xx,易得函数( )h x在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,此时 存在唯一的极小值点,满足题意, 当0a 时,令( )0g x 可得1x , 1 10x a (舍), 易得当01x时,( )0g x ,即( )0h x,则函数( )h x在(0,1)上单调递减, x xe xlnx e 当0a 时
41、,令( )0g x 可得 2 1x , 1 1 1x a , ( ) i若 1 10 a ,则不合题意,故 1 10 a ,且 12 xx,即10a 且 1 2 a , 设 1 mmax x, 2 x, 1 nmin x, 2 x, 当(0, )xn时,( )0g x ,即( )0h x,( )h x在( ,)n m上单调递减, 当( ,)xn m时,( )0g x ,即( )0h x,( )h x在( ,)n m上单调递增, 当( ,)xm时,( )0g x ,即( )0h x,( )h x在( ,)n m上单调递减, 此时存在唯一的极小值点,满足题意, 综上可得,1a 且 1 2 a , 第 20 页(共 20 页) (2)令( ) x xe F xxlnx e ,则 1 (1)11 ( )1(1)() x x xe F xxe exx , 令 1 1 ( ) x H xe x ,易得( )H x上单调递增且H(1)0, 当(0,1)x时,( )0H x ,从而( )0F x,F( ) x单调递减, 当(1,)x时,( )0H x ,从而( )0F x,F( ) x单调递增, 故( )F xF(1)0, 即0 x xe xlnx e , 所以 1 1 x lnx e x , 所以,( )1(1)f xg x