1、 数学试卷 第1页（共 4 页）武汉市 2024 届九所重点中学第一次联考 数 学 试 卷 武汉市第一中学命制 2023.10.14 本试卷共 4 页，22 小题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利 注意事项:1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试卷和答题
2、卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合|cos0Axx=，2|8200By yy=，则AB的元素个数为 A4 B5 C2 D0 2与(2,3)垂直的单位向量是 A32(,)55 B23(,)55 C1015(,)55 D1510(,)55 3以下满足|(1)|3z z+的虚数 z 是 A3i B512i+C2(12i)2+D21 i 4多项式6(1)ax+的2x项系数比3x项系数多 35，则其各项系数之和为 A1 B243 C64 D0 5在集合2,3,4,5,6的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为
3、偶数的概率是 A35 B715 C12 D815 数学试卷 第2页（共 4 页）6如图，三棱台111ABCABC中，BCAC=，现在以下四项中选择一个，可以证明11AABB=的条件有 1CCAB；1111A BAC=；11C CAC CB=；11A ACB BC=；A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7抛物线2:3C yx=的焦点为 F，顶点为 O，其上两点 A，B满足OAOB；过 O 点作OCAB于C，则CF的取值范围是 A(0,3 B3 3 9,24 C3 9,4 4 D3,34 8求值：22sin80 cos2014cos20 sin 50=+A33 B22 C1 D32 二、选择题
4、：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9将三角函数2()3cossincosh xxxx=经如下变换后得到sinyx=的图象：将图象向右平移3个单位；将图象向左平移3个单位；将图象向下平移32个单位；将图象上所有点的横坐标扩大至原来的 2 倍；以下变换顺序正确的是 A B C D 10等比数列na和函数()f x满足11a=，()nf na=，则以下数列也为等比数列的是 A(2)nbfn=B()2nnbf=C2()nbf n=D2()nbf n=11如图，在平整的地面上任一点
5、O 处观测点 P 处的太阳时，可以将太阳一日的运动轨迹看作一个圆，且这个圆在以 O 为球心，半径很大的球面上白天观测到的轨迹是其在地面以上的部分在点 O 处立一根杆 OA（A 也可看作球心），它在地面上形成日影OA，且,P A A三点共线，则白天时点A在地面上运动的轨迹可能是 A一个抛物线 B一条直线 C一个半椭圆 D双曲线的一支 数学试卷 第3页（共 4 页）12已知)sin0,6()3(1 cos)6,7 axxxf xaxx=，若它的图象恒在 x 轴上方，则 A()f x的单调递增区间为(0,6)B方程()f xm=可能有三个实数根 C若函数()f x在0 xx=处的切线经过原点，则00
6、tanxx=D过()f x图象上任何一点，最多可作函数()f x的 8 条切线 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13写出一个焦距为 3 的椭圆的标准方程：_ 14平面直角坐标系中有一直线:(0)l ykx k=，用斜二测画法画出平面的直观图，在直观图中直线 l 恰为 x 轴和 y 轴的角平分线，则k=_ 15已知矩形ABCD和另一点 E，4AB=，9AD=，且(0)DEDC=，连接 AE交直线BC于点 F，若BEF的面积为 6，则=_ 16一张圆形餐桌前有(3)n n 个人，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜现规定每人只能在相邻两人或餐桌中心的三道菜中随机夹取一道
7、菜，每个人都各夹过一次菜后，记未被夹取过的菜肴数为nX，则3()E X=_，()nE X的通项公式为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤 17（10 分）等差数列na中，21a=，na的前 n 项和为nS，且955SS=，（1）求数列na的通项公式；（2）证明：对任意正数 k，均存在 n(,3)nn+使得2nnSnank+成立 18（12 分）已知函数32()369f xxxx=+，（1）求()f x的极值；（2）作()f x在0 xx=处的切线交()f x的图象于另一点1(,)x b，若01|6xx=，求 l 的斜率 19（12 分）数学试卷
8、第4页（共 4 页）ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且6B=；AB边上有一点D（D不与三角形的顶点重合）满足2 cosbACDc=，（1）求C的取值范围；（2）若CDc=，求 A 20（12 分）在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来的发展方向某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近 6 年的新能源汽车保有量数据如下表，年份代号 x 1 2 3 4 5 6 保有量 y（万辆）1 1.8 2.7 4 5.9 9.1 （1）记(1,2,3,4,5,6)xi i=时对应的汽车保有量为iy，其相较去年的增长量为iz(2)i，分析发现变量 z 和 y 有线性关系，试建立变量 z
9、和 y 的回归方程（精确到 0.01）；（2）根据（1）问的结果分析：ycxd=+；edxycf=+；2ycxd=+当中哪一个更适合作为汽车保有量 y 与年份 x 的回归方程类型？判断并说明理由 附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v，(,)nnu v，其回归直线vabu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()niiiniiuu vvbuu=，avbu=21（12 分）空间中的两平行平面与之间的距离为 4，边长为 2 的等边三角形ABC,111A BC分别在平面,中，且它们中心的连线垂直于平面；若111AABBCC=恒成立，（1）证明：1AA,1BB,1CC两两夹角相
10、等；（2）当四面体11ACC A的体积最大时，求（1）问中夹角的余弦值 22（12 分）双曲线2222:1(0,0)xyCabab=经过点5 2 3 2(,)22P，且点 P 到双曲线C两渐近线的距离之比为 4：1，（1）求C的方程；（2）过点 P 作不平行于坐标轴的直线1l交双曲线于另一点 Q，作直线21ll交C的渐近线于两点 A，B（A 在第一象限），使ABPQ=，记1l和直线 QB 的斜率分别为12,k k，（i）证明：12kk是定值；（ii）若四边形ABQP的面积为 5，求12kk 武汉市 2024 届九所重点中学第一次联考 数学参考答案与评分标准 选择题：题号 1 2 3 4 5 6
11、 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D B C C A BCD AC ABD AD 填空题：13（答案不唯一）224133xy+=142 1534或32 164427；4293nn+解答题：17（10 分）解：（1）设数列na的公差为 d，于是2(2)(2)1naandnd=+=，因为955SS=，所以53925aa=，所以9(31)25(1)dd=，解得8d=，则158nan=；3 分（2）17a=，1()2nnn aaS+=，考虑2nnSnank+，即21()2nnn aanank+，即12nnaanank+，由于0d，则3n 时，20naa，且12280naan+=，结合上
12、述不等式得12nnaknnaa+，整理得44411nknn，7 分 任取整数nk，则44411nnnkn，原不等式成立，于是对于任意正数 k，均存在 n(,3)nn+使得2nnSnank+成立 10 分 18（12 分）解：（1）()f x的导函数2()366fxxx=，令()0fx=得113x=，213x=+，列表如下：所以()f x有一个极大值为321()(13)3(13)6(13)916 3f x=+=+，一个极小值为322()(13)3(13)6(13)916 3f x=+=4 分（2）切线 l 的方程为000()()()yf xfxxx=，整理得2320000(366)239yxxx
13、xx=+，设322320000()()3(36)23g xf xyxxxxxxx=+，且易知0()0g x=，x(,13)13(13,13)+13+(13,)+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 则20()()()g xxxxmxn=+，从而32000()()()g xxmxxnmxxnx=+，于是032000323mxnxxx=，解得0200323mxnxx=+，于是222000000()()(3)23()(23)g xxxxxxxxxxxx=+=+，由题意可知，方程()0g x=有另一解110()x xx，于是1032xx=，所以010|33|6xxx=，解得03x=或01x=，
14、10 分 03x=时，l 的斜率0()3kfx=，01x=时，l 的斜率0()3kfx=；综上，切线 l 的斜率为 312 分 19（12 分）解：（1）在ABC中，由正弦定理得2sinsincbbCB=，则2 sinbCc=，又2 cosbACDc=，且0bc，所以sincosCACD=，考虑到sin0C，则ACD是锐角，若 C 为钝角，则2CACD=，即2DCB=，此时有2C，又0A，则56CAB=，则5(,)26C；4 分 若 C 为锐角，则2CACD+=，由题意知0DCB，则CACD，所以22CACDC+=，又0ACD，所以2C，所以(,)4 2C，综上所述，5(,)(,)4 226C
15、 6 分（2）由题知BDc，若 C 为钝角，则DBC中，22BDCDc=，不合题意，故 C 为锐角，也即2CACD+=，7 分 ACD中，由余弦定理得222cos22ACCDADcACDAC CDb+=，解得22ADb=，因为0AD，所以ADb=，9 分 结合正弦定理知ACDADC=，于是2AACD=，又2CACD+=，则2()22ACC=，又ABC+=，将上式代入，得326A+=，解得59A=12 分 20（12 分）解：（1）设 z 关于 y 的回归方程为 zaby=+，2,3,4,5,6i=时，6214.75iiyy=，611.625yyz=，则121()()11.330.3433.7(
16、)niiiniizzyybzz=，0.02azby=，于是 z 关于 y 的回归方程为0.020.34zy=+6 分（2）选择，理由如下：由（1）问知 z 和 y 有线性关系，故用 z估计 z，知10.020.34iiiyyy=+，则10.660.02iiyy=+，于是10.66(0.06)0.06iiyy+=+，即0.06iy+是首项为10.061.06y+=，公比为10.66q=的等比数列，从而(ln0.66)11.06(0.66)0.060.7e0.06ixiiy=，满足式的形式，故适宜作为 y 与 x 的回归方程类型12 分 21（12 分）（1）证明：记ABC和111A BC的中心分
17、别为点1,O O，当11AAOO时，记点111,A B C所在位置分别为点000,A B C，易知000ABCA B C为正三棱柱，且点111000,A B C A B C均在以1O为圆心的圆上，1O的半径为012 33A O=；因为010111A O BAO B=，所以011011A O AB O B=，同理可得011011011A O AB O BC OC=，记011(0)A O A=，则在1O中，010101A AB BC C=，由上知1OO，于是00014AABBCCOO=，且001AAA A，001BBB B，001CCC C，则111AABBCC=，3 分 下面只需证明111111
18、AA BBBB CCCCAA=，因为110010010001010101()()16AA BBAAA ABBB BAABBA A B BA A B B=+=+=+，同理有11010116BB CCB B C C=+，11010116CCAAC CA A=+，而01010101010101010011()()A A B BB B C CB BA AC CB BA CAC=0100001111()B BA BB CA BBC=+在1O中，由于0011B CAB=，所以10A B和10BC所对弧长相等，即110100AB BB B C=，所以010101A B BB B C=，则01001011B
19、BB AB BBC=，01001011B BB CB BB A=，也即010101010A A B BB B C C=，则01010101A A B BB B C C=，同理有01010101B B C CC CA A=，所以111111AA BBBB CCCCAA=，所以111111111111|AA BBBB CCCCAAAABBBBCCCCAA=，即1AA,1BB,1CC两两夹角相等6 分（2）解：记直线11C A和00C A的交点为 P，连接 PA，PC，设1A和1C到平面00ACC A的距离分别为1d，2d，作100C GA C于 G，100AHA C于 H，由（1）问知0AA，0C
20、C，则01CCC G，01AAA H，于是1A H 平面00ACC A，1C G 平面00ACC A，从而11AHd=，12C Gd=，又APC的面积0142SAC AA=，若 P 在线段00A C上（如上图），则203，因为0011116C A OC AO=，所以01011A PAA O A=，于是11sindC P=，21sindAP=，则1 111121133ACC AACPAACC PVVVS dS d=+=+1148sin()sin33C PPA=+=，若 P 在线段00A C的延长线上（如下图），则23，因为0011116C A OC AO=，所以110PAO A+=，所以P=，于
21、是111sin()sindC PC P=，21sindAP=，则1 11112111148sin()sin3333ACC AACPAACC PVVVS dS dPAC P=，综上，当sin1=时，四面体11ACC A的体积取最大值，此时2=，9 分 则0111A OAO，则01012 623A AA O=，221110012 423AABBCCAAA A=+=，由（1）问知，110101011101111616()()AA BBA A B BA OO AB OO B=+=+22 322244416()2coscos()cos()16333333=+=，设1AA和1BB的夹角为，则1111441
22、13cos5614|3AA BBAABB=12 分 22（12 分）解：（1）将5 2 3 2(,)22P代入双曲线 C 得：22259122ab=，双曲线的渐近线为byxa=，即0bxay=；取3:0lbxay+=，4:0lbxay=，则点 P 到3l的距离122|53|2()badab+=+，点 P 到4l的距离222|53|2()badab=+，因为0a 且0b，所以|53|53|baba+，所以12dd，于是124dd=，即|53|4|53|baba+=，又222591022ab=，所以53ba，所以534(53)baba+=，解得ba=，所以22222259259812222abaa
23、a=，则28a=，则22:188xyC=4 分（2）i设11:lyk xm=+，21:()lyk xn mn=+，11(,)Q x y，将点 P 代入直线1l得：15 23 222km=+，即1235mk=，联立直线1l和双曲线的方程，消去 y 得：22211(1)280kxk mxm+=，则12121PQk mxxk+=，（式）5 分 因为点 A 在第一象限，故联立直线yx=与2l解得11nxk=，则11(,)11nnAkk，联立直线yx=与2l解得11nxk=+，则11(,)11nnBkk+，所以1221122(,)11nknABkk=，又12ll，|ABPQ=，所以PQAB=，于是212
24、1QPnxxk=，（式）7 分 得：122112225 211Pk mnxkk=，则22111111225(1)(35)5(1)53nk mkkkkk=，则12111233212255APAPyynkkxxkknk+=+，即121kk=，故12kk为定值 19 分（2）ii直线1l与2l之间的距离111222111|(53)(35)|2|1|1211kkknmdkkk+=+，由i问的证明知四边形ABQP是平行四边形，而221112211532|1|2(1)|11knABkkkk=+=+，故四边形 ABQP 的面积1112115353|2|1|2|511kkSAB dkkk=+=，解得15k=或11511k=，于是12111245kkkk=或10416512 分
