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2019-2020学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷.docx

1、 第 1 页(共 25 页) 2019-2020 学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 2 |6 0Ax xx , |10Bx x ,则(AB ) A(,3 B(,2 C(,1) D 2,1) 2 (5 分)若复数z满足(1)2zii (其中i为虚数单位) ,则z的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 3 (5

2、 分)设xR,则“24 x ”是“(| 1)0lgx ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)已知函数 ,0 ( ) ,0 x xlnx x f x x x e 则函数(1)yfx的图象大致是( ) A B C D 5(5 分) 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2, 过焦点的直线与抛物线交于A, B两点,且| 8AB ,则弦AB的中点到y轴的距离为( ) A2 B3 C4 D6 6 (5 分)已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ,则 1 ( 5)()( 5 f lnf ln ) A0 B 1 2 C

3、1 D2 7 (5 分) 考古发现, 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857, 因为1428572285714, 1428573428571,所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律: 第 2 页(共 25 页) 142857999,571428999,若从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数 字构成一个三位数x,则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 3 10 8 (5 分)若F为双曲线 22 :1 45 xy C的左焦点,过原点的直线l与双曲线C的左右两支分 别交于A,B两点,则 14

4、|FAFB 的取值范围是( ) A 1 1 , 4 5 B 1 1 , 5 5 C 1 (,0 4 D 1 1 , 4 5 二、多项选择题本题:共二、多项选择题本题:共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的四个选项中,有多在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9 (5 分)习总书记讲到: “广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普 通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的

5、收入与支出数 据的折线图如下: 已知:利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 10 (5 分)声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 sinyAt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音若一个复合音的数学模型 第 3 页(共 25 页) 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx,则下列结论正

6、确的是( ) A2是( )f x的一个周期 B( )f x在0,2 上有 3 个零点 C( )f x的最大值为 3 3 4 D( )f x在0, 2 上是增函数 11 (5 分)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:ab规定:ab为同 时 与a,b垂 直 的 向 量 ; a,b,ab三 个 向 量 构 成 右 手 系 ( 如 图1); | |sin,a ba ba b如图 2,在长方体 1111 ABCDABC D中,2ABAD, 1 4AA , 则下列结论正确的是( ) A 1 ABADAA BABADADAB C 111 ()ABADAAABAAADAA D长方体 1111 ABC

7、DABC D的体积 1 ()VABAD CC 12 (5 分)若实数a,b满足2332 ab ab,则下列关系式中可能成立的是( ) A01ab B0ba C1ab Dab 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 第 4 页(共 25 页) 13 (5 分) 5 (2)xy的展开式中,含 32 x y项的系数为 (用数字作答) 14 (5 分)已知sin()3cos() 36 ,则tan2 15 (5 分)平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点N满足2BNNC,若 ABAMAN,则的值为 16 (5 分)如图,矩形ABCD中,2 3

8、AB ,2AD ,Q为BC的中点,点M,N分别 在线段AB,CD上运动(其中M不与A,B重合,N不与C,D重合) ,且/ /MNAD, 沿MN将DMN折起,得到三棱锥DMNQ,则三棱锥DMNQ体积的最大值为 ;当 三棱锥DMNQ体积最大时,其外接球的表面积的值为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)在 222 2bacac,cossinaBbA,sincos2BB,这三个条 件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题已知ABC的内角A,B,C的对 边分别为a

9、,b,c,_, 3 A ,2b ,求ABC的面积 18 (12 分)如图,五面体ABCDEF中,正方形ABCD的边长为2 2,2ABEF,/ /EF 平面ABCD,点P在线段DE上,且2DPPE,Q为BC的中点 (1)求证:/ /BE平面APQ; (2)已知AE 平面ABCD,且2AE ,求二面角PAFE的余弦值 19 (12 分)数学家也有一些美丽的错误,如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想: 第 5 页(共 25 页) 2 21() n n FnN是质数.1732年,瑞士数学家欧拉算出 5 641 6700417F ,该数不是质 数已知 n S为数列 n a的前n项和,且 2 l

10、og (1)1() nn SFnN (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 21 (1)log nn bna ,设为数列 2 n b 的前n项和,求出 n T,并证明:对任意nN, 12 n T 20(12 分) 截止到 2018 年末, 我国公路总里程达到 484.65 万公里, 其中高速公路达到 14.26 万公里,规模居世界第一与此同时,行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析, 由图可知, 超速驾驶已经成为交通事故的一个主 要因素研究表明,急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和,下表是根据某部门 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速

11、度,单位:/km h; 1 d, 2 d分别表示反应距离和 制动距离,单位:)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 (1)从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究,求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率(用频率代替概率) ; (2)已知 2 d与v的平方成正比,且当行车速度为100/km h时,制动距离为65m ( ) i由表中数据可知, 1 d与v之间具有线性相关关系,请建立 1 d与v之间的回归方程,并估

12、 计车速为110/km h时的停车距离; ( )ii我国道路交通安全法规定:车速超过100/km h时,应该与同车道前车保持100m以 上的距离,请解释一下上述规定的合理性 参考数据: 10 1 1004 i i v , 10 1 1 ()210 i i d , 10 1 1 ()22187.3 ii i v d , 10 2 1 106054 i i v ,110330.21 52524 参考公式:对于一组数据 1 (x, 1) y, 2 (x, 2) y,( n x,) n y,其回归直线 ybxa的斜 第 6 页(共 25 页) 率和截距的最小二乘估计分别为: 1 2 1 ()() ()

13、 n ii i n i i xxyy b xx , a ybx 21 (12 分)已知 1 F, 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点,P为C上的动 点, 其中P到 1 F的最短距离为 1, 且当 12 PFF的面积最大时, 12 PFF恰好为等边三角形 (1)求椭圆C的标准方程; (2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ,记椭圆C的外切圆为E ( ) i求圆E的方程; ( )ii在平面内是否存在定点Q, 使得以PQ为直径的圆与E相切, 若存在求出定点Q的坐标; 若不存在,请说明理由 22(12 分) 已知函数( ) lnx f xk x 的极大值

14、为1 e e , 其中2.71828e 为自然对数的底数 (1)求实数k的值; (2)若函数( ) x a g xe x ,对任意(0,)x,( )( )g xaf x恒成立 ( ) i求实数a的取值范围; ( )ii证明: 22 ( )sin1x f xaxx 第 7 页(共 25 页) 2019-2020 学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有,只有 一项

15、是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 2 |6 0Ax xx , |10Bx x ,则(AB ) A(,3 B(,2 C(,1) D 2,1) 【解答】解:集合 2 |6 0 | 23Ax xxxx剟?, |10 |1Bx xx x , |3(ABx x ,3 故选:A 2 (5 分)若复数z满足(1)2zii (其中i为虚数单位) ,则z的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解:(1)2zii , 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii , 则1zi 故选:D 3 (5 分)设xR,则“24 x ”是“(| 1)0lgx ”的(

16、 ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:设xR,则“24 x ” “(| 1)0lgx ” , “(| 1)0lgx ” “2x 或2x ” “24 x 或 1 2 4 x ” , “24 x ”是“(| 1)0lgx ”的充分不必要条件 故选:A 4 (5 分)已知函数 ,0 ( ) ,0 x xlnx x f x x x e 则函数(1)yfx的图象大致是( ) 第 8 页(共 25 页) A B C D 【解答】解:当0x 时,( )f xxlnx,则令( )10fxlnx ,解得 1 x e ,所以当 1 0x e 时,( )f x单调

17、递减, 1 x e 时,( )f x单调递增, 当0x时,( ) x x f x e ,则令( )1 0 x f xe ,所以当0x时,( )f x单调递增, 作出函数( )f x的图象如图: 又因为(1)fx的图象时将( )f x图象先关于y轴对称,再向左移动一个单位得到的, 故根据( )f x图象可值(1)fx图象为 故选:B 5(5 分) 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2, 过焦点的直线与抛物线交于A, B两点,且| 8AB ,则弦AB的中点到y轴的距离为( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解:抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2,可得2p

18、,抛物线方程为: 第 9 页(共 25 页) 2 4yx, 设 1 (A x, 1) y, 2 (B x, 2) y,根据抛物线定义, 12 8xxp, 所以 12 6xx, AB的中点的横坐标为:3,中点到y轴的距离为 3, 故选:B 6 (5 分)已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ,则 1 ( 5)()( 5 f lnf ln ) A0 B 1 2 C1 D2 【解答】解:根据题意,函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ,则 22 11 ()(1)(1) 22 fxlgxxlgxx , 则( )()1f xfx, 则有 1 ( 5)()( 5)(5)1 5 f

19、lnf lnf lnfln; 故选:C 7 (5 分) 考古发现, 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857, 因为1428572285714, 1428573428571,所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律: 142857999,571428999,若从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数 字构成一个三位数x,则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 3 10 【解答】解:根据题意,从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三 位数x,共有 3 654120

20、 6 A 种 又因为从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中:189,279,459,共 3 组 所以要使 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数x,999x的结果恰好是剩下 3 个 数字构成的一个三位数,则每次抽取只能抽取一组数字中的一个, 所以共有 111 6 4 26 4 248 痧?种, 故 482 1205 P 故选:C 第 10 页(共 25 页) 8 (5 分)若F为双曲线 22 :1 45 xy C的左焦点,过原点的直线l与双曲线C的左右两支分 别交于A,B两点,则 14 |FAFB 的取值范围是( ) A 1 1 , 4 5 B 1 1 , 5 5 C 1 (,0

21、 4 D 1 1 , 4 5 【解答】解:双曲线 22 :1 45 xy C的2a ,5b ,3c , 设|AFm,|FBn, F 为双曲线的右焦点, 连接 BF , AF , 由对称性可得四边形AFBF 为平行四边形, 可得| |BFAFm ,可得24nma,4nm, 且1m ca, 则 1414 |4FAFBmm ,设 14 ( ) 4 f m mm ,1m, 2222 14(4)(34) ( ) (4)(4) mm f m mmmm , 当4m 时,( )0f m,( )f m递增,14m时,( )0f m,( )f m递减, 可得( )f m在4m 处取得极小值,且为最小值 1 4 ,

22、 当1m 时,f(1) 1 5 ,当m时,( )0f m , 则 1 ( ) 4 f m , 1 5 , 故选:D 二、多项选择题本题:共二、多项选择题本题:共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的四个选项中,有多在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9 (5 分)习总书记讲到: “广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普 通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的收入与支

23、出数 第 11 页(共 25 页) 据的折线图如下: 已知:利润收入支出,根据该折线图,下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 【解答】解:由企业 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图,得: 在A中,该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润约为: 1 (304035305060)(202510202230)118x , 该企业 2019 年

24、 7 月至 12 月的总利润约为: (807575809080)(282230404550)265, 该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润,故A正确; 在B中,该企业 2019 年第一季度的利润约约是: (304035)(2025 10)50万元,故B错误; 在C中,该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润分别为(单位:万元):10,28,30,52, 该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长,故C正确; 在D中,该企业 2019 年 7 月和 8 月的月利润比 11 月份的月利润大,故D错误 故选:AC 10 (5

25、分)声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 sinyAt,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音若一个复合音的数学模型 第 12 页(共 25 页) 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx,则下列结论正确的是( ) A2是( )f x的一个周期 B( )f x在0,2 上有 3 个零点 C( )f x的最大值为 3 3 4 D( )f x在0, 2 上是增函数 【解答】解:sinyx的周期为2, 1 sin2 2 yx的周期为, 1 ( )sinsin2 2 f xxx的 周期为2,故A正确; 由 1 ( )sinsin20 2 f xxx,得sins

26、in cos0xxx,得sin0x 或cos1x , 0x,2 ,0x,x,2x,则( )f x在0,2 上有 3 个零点,故B正确; 函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx的最大值在0, 2 上取得, 由 2 ( )coscos22coscos10f xxxxx ,可得 1 cos 2 x ,当(0,) 3 x 时,cosx单调 递减,原函数单调递增, 当( 3 x ,) 2 时,cosx单调递减,原函数单调递减,则当 3 x 时,原函数求得最大值为 123 3 sinsin 3234 ,故C正确; 121 ()sinsin1 44222 f , 1 ()sinsin1 222 f

27、,( )f x在0, 2 上不是增函 数,故D错误 故选:ABC 11 (5 分)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:ab规定:ab为同 时 与a,b垂 直 的 向 量 ; a,b,ab三 个 向 量 构 成 右 手 系 ( 如 图1); | |sin,a ba ba b如图 2,在长方体 1111 ABCDABC D中,2ABAD, 1 4AA , 则下列结论正确的是( ) 第 13 页(共 25 页) A 1 ABADAA BABADADAB C 111 ()ABADAAABAAADAA D长方体 1111 ABCDABC D的体积 1 ()VABAD CC 【解答】解:| |s

28、in9022 14ABADABAD ,且 1 AA分别与,AB AD垂直, 1 ABADAA,故A正确; 由题意, 1 ABADAA, 1 ADABA A,故B错误; ABADAC, 11 |()| | 2 24 18 2ABADAAACAA , 且 1 ()ABADAA与 DB共线同向, 1 | 24 18ABAA , 1 ABAA与DA共线同向, 1 | 2 4 18ADAA , 1 ADAA与 DB共线同向, 11 | 8 2ABAAADAA,且 11 ABAAADAA与DB共线同向,故C正确; 11 ()| | sin90cos022416ABAD CCABADCC ,故D成立 第 1

29、4 页(共 25 页) 故选:ACD 12 (5 分)若实数a,b满足2332 ab ab,则下列关系式中可能成立的是( ) A01ab B0ba C1ab Dab 【解答】解:由2332 ab ab, 设( )23 x f xx,( )32 x g xx,易知( )f x,( )g x是递增函数, 画出( )f x,( )g x的图象如下:绿色,蓝色的分别是( )f x,( )g x的图象, 根据图象可知:当0x ,1 时,( )( )f xg x, 01ab,f(a)f(b)可能成立;故A正确; 当0ba时,因为( )( )f xg x,所以f(a)f(b)可能成立,B正确; 当ab时,显

30、然成立, 当1ab时,因为f(a)g(b) ,所以不可能成立, 故选:ABD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分) 5 (2)xy的展开式中,含 32 x y项的系数为 80 (用数字作答) 【解答】解:二项式 5 (2)xy的展开式的通项为 55 15 2( 1) rrrrr r TC xy , 令2r ,可得含 32 x y的项的系数是 32 5 280C 故答案为:80 第 15 页(共 25 页) 14 (5 分)已知sin()3cos() 36 ,则tan2 4 3 【解答】解:由于sin()3cos()

31、 36 , 所以: 133 33 sincoscossin 2222 , 整理得:3cos2sin , 所以: 3 tan 2 , 则: 2 2tan tan24 3 1tan , 故答案为:4 3 15 (5 分)平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点N满足2BNNC,若 ABAMAN,则的值为 1 2 【解答】解:平行四边形ABCD中,M为CD的中点,点N满足2BNNC, 所以 12 ()() 23 ABAMANADABABAD, 21 ()() 32 ADAB, 则根据平面向量基本定理可得, 2 0 3 1 1 2 , 解可得,1 , 3 2 , 则 1 2 , 故答案为: 1 2 1

32、6 (5 分)如图,矩形ABCD中,2 3AB ,2AD ,Q为BC的中点,点M,N分别 在线段AB,CD上运动(其中M不与A,B重合,N不与C,D重合) ,且/ /MNAD, 第 16 页(共 25 页) 沿MN将DMN折起,得到三棱锥DMNQ,则三棱锥DMNQ体积的最大值为 1 ; 当三棱锥DMNQ体积最大时,其外接球的表面积的值为 【解答】解:设MBt,则2 3AMDNt, 沿MN将DMN折起,当DN 平面MNQ时,三棱锥DMNQ的体积最大, 此时 2 11112 3 (2 3) 32333 D MNQ VMNMBttttt , 当3t 时, D MNQ V 取最大值,最大值为 1, 此

33、时3MB ,3DN ,2MQNQ,MNQ为等边三角形, 当三棱锥DMNQ体积最大时,三棱锥DMNQ是正三棱柱的一部分,如图所示: 则三棱柱MNQEDF的外接球即是三棱锥DMNQ的外接球, 设点G,H分别是上下地面正三角形的中心, 线段GH的中点即是三棱柱MNQEDF的外接球的球心O, 13 22 OHDN 又,MNQ是边长为 2 的等边三角形, 2 3 3 HQ, 三棱柱MNQEDF的外接球的半径 22 5 3 6 ROQOHHQ, 三棱锥DMNQ的外接球的表面积为 2 25 4 3 R , 故答案为:1; 25 3 第 17 页(共 25 页) 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题

34、,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)在 222 2bacac,cossinaBbA,sincos2BB,这三个条 件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题已知ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,_, 3 A ,2b ,求ABC的面积 【解答】解:取cossinaBbA, 由正弦定理可得:sincossinsin0AaBBA,tan1B,(0, )B, 4 B 5 12 CAB , 321262 sinsin() 3422224 C 由正弦定理可得: 2 sinsin 34 a ,解得3a

35、ABC的面积 16233 32 244 S 18 (12 分)如图,五面体ABCDEF中,正方形ABCD的边长为2 2,2ABEF,/ /EF 平面ABCD,点P在线段DE上,且2DPPE,Q为BC的中点 (1)求证:/ /BE平面APQ; (2)已知AE 平面ABCD,且2AE ,求二面角PAFE的余弦值 第 18 页(共 25 页) 【解答】解: (1)连结BD,交AQ于点M,连结PM, BMQDMA, 1 2 BQAD, 1 2 BMDM, 1 2 EPDP,/ /PMBE, PM 平面APQ,BE 平面APQ, / /BE平面APQ (2)解:以A为坐标原点,分别以,AB AD AE为

36、x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 则(0A,0,0),(2 2C,2,0),(0D,2 2,0),(0E,0,2),( 2F,0,2), 设(P x,y,) z,2DPPE, 2 3 DPDE,则(x,2 2y , 2 )(0 3 z ,2 2,2), 则(0P, 2 2 3 , 4) 3 ,(0AP , 2 2 3 , 4) 3 , 设平面AFP的法向量为(nx,y,) z, ( 2AF ,0,2), 220 2 24 0 33 AF nxz AP nyz ,取2x ,则( 2, 2, 1)n , 平面AEF的法向量(0m ,1,0), 设二面角PAFE的平面角为, 则 |10 cos

37、 | |5 n m nm 二面角PAFE的余弦值为 10 5 第 19 页(共 25 页) 19 (12 分)数学家也有一些美丽的错误,如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想: 2 21() n n FnN是质数.1732年,瑞士数学家欧拉算出 5 641 6700417F ,该数不是质 数已知 n S为数列 n a的前n项和,且 2 log (1)1() nn SFnN (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 21 (1)log nn bna ,设为数列 2 n b 的前n项和,求出 n T,并证明:对任意nN, 12 n T 【解答】解: (1) 22 log (1)1log

38、2 nn SF 2 121 n n , 当1n 时, 11 1aS,2n时, 11 1 21 212 nnn nnn aSS ,对1n 也成立, 则 1 2n n a ,*nN; (2) 212 (1)log(1)log 2 nn bnan (1) n n n, 2211 2() (1)1 n bn nnn , 则 111111 2(1)2(1) 22311 n T nnn , 由于 1 2(1) 1n 随着n的增大而增大,可得 1 2 n TT , 即对任意nN,12 n T 20(12 分) 截止到 2018 年末, 我国公路总里程达到 484.65 万公里, 其中高速公路达到 14.26

39、 万公里,规模居世界第一与此同时,行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析, 由图可知, 超速驾驶已经成为交通事故的一个主 要因素研究表明,急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和,下表是根据某部门 第 20 页(共 25 页) 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度,单位:/km h; 1 d, 2 d分别表示反应距离和 制动距离,单位:)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5

40、(1)从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究,求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率(用频率代替概率) ; (2)已知 2 d与v的平方成正比,且当行车速度为100/km h时,制动距离为65m ( ) i由表中数据可知, 1 d与v之间具有线性相关关系,请建立 1 d与v之间的回归方程,并估 计车速为110/km h时的停车距离; ( )ii我国道路交通安全法规定:车速超过100/km h时,应该与同车道前车保持100m以 上的距离,请解释一下上述规定的合理性 参考数据: 10 1 1004 i i v , 10 1 1 ()210 i i d , 10 1 1 ()22

41、187.3 ii i v d , 10 2 1 106054 i i v ,110330.21 52524 参考公式:对于一组数据 1 (x, 1) y, 2 (x, 2) y,( n x,) n y,其回归直线 ybxa的斜 率和截距的最小二乘估计分别为: 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx , a ybx 【解答】解: (1)由题意知, 3 3 11 ( ) (1) 55 iii i PC , 故所求的概率为 12 13 1448 ( ) 55125 PC; 第 21 页(共 25 页) (2)由 2 d与v的平方成正比,设 2 2 dkv, 当行车速

42、度为100/vkm h时,制动距离为 2 65dm; 即 2 10065k,解得0.0065k , 所以 2 2 0.0065dv; ( ) i由 1 d与v之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 , 且 10 1 11 1004100.4 1010 i i vv , 10 11 1 11 ()21021 1010 i i dd ; 又 10 1 1 ()22187.3 ii i v d , 10 2 1 106054 i i v , 11033 0.21 52524 , 所以 10 1 11 102 222 11 ()10()() 22187.3 10 100.42111033 0.21 1

43、0605410 100.452524 ()( )10 n iiii iii n ii ii vdv dxxyy b xxvv , 1 210.21 100.40.084adbv , 所以 1 d与v间的回归方程为 1 0.210.084dv; 110v 时, 1 0.21 1100.08423.016d 2 2 0.0065 11078.65d , 所以估计车速为110/km h时的停车距离为23.01678.65101.666102( )dm; ( )100ii v 时, 1 0.21 1000.08420.916d 2 2 0.0065 10065d , 车速为100/km h时的停车距离为20.9166585.91686( )dm; 车速超过100/km h时,考虑到车速增加后刹车距离也随着增大, 要保证行车安全,车辆应该与同车道前车保持在100m以上的距离 21 (12 分)已知 1 F, 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点,P为C上的动 点, 其中P到 1 F的最短距离为 1, 且当 12 PFF的面积最大时, 12 PFF恰好为等边三角形 (1)求椭圆C的标准方程; (2)以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ,记椭圆C的外切圆为E ( ) i求圆E的方程; 第 22 页(共 25 页) ( )ii在平面内是否存在定点Q,

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