2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Ax xx ， |10Bx x ，则(AB ) A(，3 B(，2 C(,1) D 2，1) 2 （5 分）若复数z满足(1)2zii （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 3 （5

2、 分）设xR，则“24 x ”是“(| 1)0lgx ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）已知函数 ,0 ( ) ,0 x xlnx x f x x x e 则函数(1)yfx的图象大致是( ) A B C D 5（5 分） 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2， 过焦点的直线与抛物线交于A， B两点，且| 8AB ，则弦AB的中点到y轴的距离为( ) A2 B3 C4 D6 6 （5 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ，则 1 ( 5)()( 5 f lnf ln ) A0 B 1 2 C

3、1 D2 7 （5 分） 考古发现， 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857， 因为1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律： 第 2 页（共 25 页） 142857999，571428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数 字构成一个三位数x，则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 3 10 8 （5 分）若F为双曲线 22 :1 45 xy C的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分 别交于A，B两点，则 14

4、|FAFB 的取值范围是( ) A 1 1 , 4 5 B 1 1 , 5 5 C 1 (,0 4 D 1 1 , 4 5 二、多项选择题本题：共二、多项选择题本题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的

5、收入与支出数 据的折线图如下： 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 10 （5 分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 第 3 页（共 25 页） 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx，则下列结论正

6、确的是( ) A2是( )f x的一个周期 B( )f x在0，2 上有 3 个零点 C( )f x的最大值为 3 3 4 D( )f x在0, 2 上是增函数 11 （5 分）给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：ab规定：ab为同 时 与a，b垂 直 的 向 量 ； a，b，ab三 个 向 量 构 成 右 手 系 （ 如 图1)； | |sin,a ba ba b如图 2，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 4AA ， 则下列结论正确的是( ) A 1 ABADAA BABADADAB C 111 ()ABADAAABAAADAA D长方体 1111 ABC

7、DABC D的体积 1 ()VABAD CC 12 （5 分）若实数a，b满足2332 ab ab，则下列关系式中可能成立的是( ) A01ab B0ba C1ab Dab 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 4 页（共 25 页） 13 （5 分） 5 (2)xy的展开式中，含 32 x y项的系数为 （用数字作答） 14 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则tan2 15 （5 分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足2BNNC，若 ABAMAN，则的值为 16 （5 分）如图，矩形ABCD中，2 3

8、AB ，2AD ，Q为BC的中点，点M，N分别 在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合） ，且/ /MNAD， 沿MN将DMN折起，得到三棱锥DMNQ，则三棱锥DMNQ体积的最大值为 ；当 三棱锥DMNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 222 2bacac，cossinaBbA，sincos2BB，这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对 边分别为a

9、，b，c，_， 3 A ，2b ，求ABC的面积 18 （12 分）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2 2，2ABEF，/ /EF 平面ABCD，点P在线段DE上，且2DPPE，Q为BC的中点 （1）求证：/ /BE平面APQ； （2）已知AE 平面ABCD，且2AE ，求二面角PAFE的余弦值 19 （12 分）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想： 第 5 页（共 25 页） 2 21() n n FnN是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出 5 641 6700417F ，该数不是质 数已知 n S为数列 n a的前n项和，且 2 l

10、og (1)1() nn SFnN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 (1)log nn bna ，设为数列 2 n b 的前n项和，求出 n T，并证明：对任意nN， 12 n T 20（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26 万公里，规模居世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析， 由图可知， 超速驾驶已经成为交通事故的一个主 要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速

11、度，单位：/km h； 1 d， 2 d分别表示反应距离和 制动距离，单位：)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5 （1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究，求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 2 d与v的平方成正比，且当行车速度为100/km h时，制动距离为65m ( ) i由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估

12、 计车速为110/km h时的停车距离； ( )ii我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以 上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据： 10 1 1004 i i v ， 10 1 1 ()210 i i d ， 10 1 1 ()22187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 参考公式：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜 第 6 页（共 25 页） 率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() ()

13、 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 21 （12 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，P为C上的动 点， 其中P到 1 F的最短距离为 1， 且当 12 PFF的面积最大时， 12 PFF恰好为等边三角形 （1）求椭圆C的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ，记椭圆C的外切圆为E ( ) i求圆E的方程； ( )ii在平面内是否存在定点Q， 使得以PQ为直径的圆与E相切， 若存在求出定点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 22（12 分） 已知函数( ) lnx f xk x 的极大值

14、为1 e e ， 其中2.71828e 为自然对数的底数 （1）求实数k的值； （2）若函数( ) x a g xe x ，对任意(0,)x，( )( )g xaf x恒成立 ( ) i求实数a的取值范围； ( )ii证明： 22 ( )sin1x f xaxx 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有，只有 一项

15、是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 2 |6 0Ax xx ， |10Bx x ，则(AB ) A(，3 B(，2 C(,1) D 2，1) 【解答】解：集合 2 |6 0 | 23Ax xxxx剟?， |10 |1Bx xx x ， |3(ABx x ，3 故选：A 2 （5 分）若复数z满足(1)2zii （其中i为虚数单位） ，则z的共轭复数是( ) A1i B1i C1i D1i 【解答】解：(1)2zii ， 22 (1) 1 1(1)(1) iii zi iii ， 则1zi 故选：D 3 （5 分）设xR，则“24 x ”是“(| 1)0lgx ”的(

16、 ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：设xR，则“24 x ” “(| 1)0lgx ” ， “(| 1)0lgx ” “2x 或2x ” “24 x 或 1 2 4 x ” ， “24 x ”是“(| 1)0lgx ”的充分不必要条件 故选：A 4 （5 分）已知函数 ,0 ( ) ,0 x xlnx x f x x x e 则函数(1)yfx的图象大致是( ) 第 8 页（共 25 页） A B C D 【解答】解：当0x 时，( )f xxlnx，则令( )10fxlnx ，解得 1 x e ，所以当 1 0x e 时，( )f x单调

17、递减， 1 x e 时，( )f x单调递增， 当0x时，( ) x x f x e ，则令( )1 0 x f xe ，所以当0x时，( )f x单调递增， 作出函数( )f x的图象如图： 又因为(1)fx的图象时将( )f x图象先关于y轴对称，再向左移动一个单位得到的， 故根据( )f x图象可值(1)fx图象为 故选：B 5（5 分） 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2， 过焦点的直线与抛物线交于A， B两点，且| 8AB ，则弦AB的中点到y轴的距离为( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p的焦点到准线的距离为 2，可得2p

18、，抛物线方程为： 第 9 页（共 25 页） 2 4yx， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，根据抛物线定义， 12 8xxp， 所以 12 6xx， AB的中点的横坐标为：3，中点到y轴的距离为 3， 故选：B 6 （5 分）已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ，则 1 ( 5)()( 5 f lnf ln ) A0 B 1 2 C1 D2 【解答】解：根据题意，函数 2 1 ( )(1) 2 f xlgxx ，则 22 11 ()(1)(1) 22 fxlgxxlgxx ， 则( )()1f xfx， 则有 1 ( 5)()( 5)(5)1 5 f

19、lnf lnf lnfln； 故选：C 7 （5 分） 考古发现， 在埃及金字塔内有一组神秘的数字 142857， 因为1428572285714， 1428573428571，所以这组数字又叫走马灯数该组数字还有如下规律： 142857999，571428999，若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数 字构成一个三位数x，则999x的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位数的概率为( ) A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 3 10 【解答】解：根据题意，从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三 位数x，共有 3 654120

20、 6 A 种 又因为从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中：189，279，459，共 3 组 所以要使 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数x，999x的结果恰好是剩下 3 个 数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个， 所以共有 111 6 4 26 4 248 痧?种， 故 482 1205 P 故选：C 第 10 页（共 25 页） 8 （5 分）若F为双曲线 22 :1 45 xy C的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分 别交于A，B两点，则 14 |FAFB 的取值范围是( ) A 1 1 , 4 5 B 1 1 , 5 5 C 1 (,0

21、 4 D 1 1 , 4 5 【解答】解：双曲线 22 :1 45 xy C的2a ，5b ，3c ， 设|AFm，|FBn， F 为双曲线的右焦点， 连接 BF ， AF ， 由对称性可得四边形AFBF 为平行四边形， 可得| |BFAFm ，可得24nma，4nm， 且1m ca， 则 1414 |4FAFBmm ，设 14 ( ) 4 f m mm ，1m， 2222 14(4)(34) ( ) (4)(4) mm f m mmmm ， 当4m 时，( )0f m，( )f m递增，14m时，( )0f m，( )f m递减， 可得( )f m在4m 处取得极小值，且为最小值 1 4 ，

22、 当1m 时，f（1） 1 5 ，当m时，( )0f m ， 则 1 ( ) 4 f m ， 1 5 ， 故选：D 二、多项选择题本题：共二、多项选择题本题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）习总书记讲到： “广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普 通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的” 某企业 2019 年 12 个月的收入与支

23、出数 第 11 页（共 25 页） 据的折线图如下： 已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是( ) A该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润 B该企业 2019 年第一季度的利润约是 60 万元 C该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长 D该企业 2019 年 11 月份的月利润最大 【解答】解：由企业 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图，得： 在A中，该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润约为： 1 (304035305060)(202510202230)118x ， 该企业 2019 年

24、 7 月至 12 月的总利润约为： (807575809080)(282230404550)265， 该企业 2019 年 1 月至 6 月的总利润低于 2019 年 7 月至 12 月的总利润，故A正确； 在B中，该企业 2019 年第一季度的利润约约是： (304035)(2025 10)50万元，故B错误； 在C中，该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润分别为（单位：万元）:10，28，30，52， 该企业 2019 年 4 月至 7 月的月利润持续增长，故C正确； 在D中，该企业 2019 年 7 月和 8 月的月利润比 11 月份的月利润大，故D错误 故选：AC 10 （5

25、分）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数 sinyAt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型 第 12 页（共 25 页） 是函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx，则下列结论正确的是( ) A2是( )f x的一个周期 B( )f x在0，2 上有 3 个零点 C( )f x的最大值为 3 3 4 D( )f x在0, 2 上是增函数 【解答】解：sinyx的周期为2， 1 sin2 2 yx的周期为， 1 ( )sinsin2 2 f xxx的 周期为2，故A正确； 由 1 ( )sinsin20 2 f xxx，得sins

26、in cos0xxx，得sin0x 或cos1x ， 0x，2 ，0x，x，2x，则( )f x在0，2 上有 3 个零点，故B正确； 函数 1 ( )sinsin2 2 f xxx的最大值在0， 2 上取得， 由 2 ( )coscos22coscos10f xxxxx ，可得 1 cos 2 x ，当(0,) 3 x 时，cosx单调 递减，原函数单调递增， 当( 3 x ，) 2 时，cosx单调递减，原函数单调递减，则当 3 x 时，原函数求得最大值为 123 3 sinsin 3234 ，故C正确； 121 ()sinsin1 44222 f ， 1 ()sinsin1 222 f

27、，( )f x在0, 2 上不是增函 数，故D错误 故选：ABC 11 （5 分）给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：ab规定：ab为同 时 与a，b垂 直 的 向 量 ； a，b，ab三 个 向 量 构 成 右 手 系 （ 如 图1)； | |sin,a ba ba b如图 2，在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABAD， 1 4AA ， 则下列结论正确的是( ) 第 13 页（共 25 页） A 1 ABADAA BABADADAB C 111 ()ABADAAABAAADAA D长方体 1111 ABCDABC D的体积 1 ()VABAD CC 【解答】解：| |s

28、in9022 14ABADABAD ，且 1 AA分别与,AB AD垂直， 1 ABADAA，故A正确； 由题意， 1 ABADAA， 1 ADABA A，故B错误； ABADAC， 11 |()| | 2 24 18 2ABADAAACAA ， 且 1 ()ABADAA与 DB共线同向， 1 | 24 18ABAA ， 1 ABAA与DA共线同向， 1 | 2 4 18ADAA ， 1 ADAA与 DB共线同向， 11 | 8 2ABAAADAA，且 11 ABAAADAA与DB共线同向，故C正确； 11 ()| | sin90cos022416ABAD CCABADCC ，故D成立 第 1

29、4 页（共 25 页） 故选：ACD 12 （5 分）若实数a，b满足2332 ab ab，则下列关系式中可能成立的是( ) A01ab B0ba C1ab Dab 【解答】解：由2332 ab ab， 设( )23 x f xx，( )32 x g xx，易知( )f x，( )g x是递增函数， 画出( )f x，( )g x的图象如下：绿色，蓝色的分别是( )f x，( )g x的图象， 根据图象可知：当0x ，1 时，( )( )f xg x， 01ab，f（a）f（b）可能成立；故A正确； 当0ba时，因为( )( )f xg x，所以f（a）f（b）可能成立，B正确； 当ab时，显

30、然成立， 当1ab时，因为f（a）g（b） ，所以不可能成立， 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） 5 (2)xy的展开式中，含 32 x y项的系数为 80 （用数字作答） 【解答】解：二项式 5 (2)xy的展开式的通项为 55 15 2( 1) rrrrr r TC xy ， 令2r ，可得含 32 x y的项的系数是 32 5 280C 故答案为：80 第 15 页（共 25 页） 14 （5 分）已知sin()3cos() 36 ，则tan2 4 3 【解答】解：由于sin()3cos()

31、 36 ， 所以： 133 33 sincoscossin 2222 ， 整理得：3cos2sin ， 所以： 3 tan 2 ， 则： 2 2tan tan24 3 1tan ， 故答案为：4 3 15 （5 分）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足2BNNC，若 ABAMAN，则的值为 1 2 【解答】解：平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足2BNNC， 所以 12 ()() 23 ABAMANADABABAD， 21 ()() 32 ADAB， 则根据平面向量基本定理可得， 2 0 3 1 1 2 ， 解可得，1 ， 3 2 ， 则 1 2 ， 故答案为： 1 2 1

32、6 （5 分）如图，矩形ABCD中，2 3AB ，2AD ，Q为BC的中点，点M，N分别 在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合） ，且/ /MNAD， 第 16 页（共 25 页） 沿MN将DMN折起，得到三棱锥DMNQ，则三棱锥DMNQ体积的最大值为 1 ； 当三棱锥DMNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为 【解答】解：设MBt，则2 3AMDNt， 沿MN将DMN折起，当DN 平面MNQ时，三棱锥DMNQ的体积最大， 此时 2 11112 3 (2 3) 32333 D MNQ VMNMBttttt ， 当3t 时， D MNQ V 取最大值，最大值为 1， 此

33、时3MB ，3DN ，2MQNQ，MNQ为等边三角形， 当三棱锥DMNQ体积最大时，三棱锥DMNQ是正三棱柱的一部分，如图所示： 则三棱柱MNQEDF的外接球即是三棱锥DMNQ的外接球， 设点G，H分别是上下地面正三角形的中心， 线段GH的中点即是三棱柱MNQEDF的外接球的球心O， 13 22 OHDN 又，MNQ是边长为 2 的等边三角形， 2 3 3 HQ， 三棱柱MNQEDF的外接球的半径 22 5 3 6 ROQOHHQ， 三棱锥DMNQ的外接球的表面积为 2 25 4 3 R ， 故答案为：1； 25 3 第 17 页（共 25 页） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题

34、，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在 222 2bacac，cossinaBbA，sincos2BB，这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，_， 3 A ，2b ，求ABC的面积 【解答】解：取cossinaBbA， 由正弦定理可得：sincossinsin0AaBBA，tan1B，(0, )B， 4 B 5 12 CAB ， 321262 sinsin() 3422224 C 由正弦定理可得： 2 sinsin 34 a ，解得3a

35、ABC的面积 16233 32 244 S 18 （12 分）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2 2，2ABEF，/ /EF 平面ABCD，点P在线段DE上，且2DPPE，Q为BC的中点 （1）求证：/ /BE平面APQ； （2）已知AE 平面ABCD，且2AE ，求二面角PAFE的余弦值 第 18 页（共 25 页） 【解答】解： （1）连结BD，交AQ于点M，连结PM， BMQDMA， 1 2 BQAD， 1 2 BMDM， 1 2 EPDP，/ /PMBE， PM 平面APQ，BE 平面APQ， / /BE平面APQ （2）解：以A为坐标原点，分别以,AB AD AE为

36、x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则(0A，0，0)，(2 2C，2，0)，(0D，2 2，0)，(0E，0，2)，( 2F，0，2)， 设(P x，y，) z，2DPPE， 2 3 DPDE，则(x，2 2y ， 2 )(0 3 z ，2 2，2)， 则(0P， 2 2 3 ， 4) 3 ，(0AP ， 2 2 3 ， 4) 3 ， 设平面AFP的法向量为(nx，y，) z， ( 2AF ，0，2)， 220 2 24 0 33 AF nxz AP nyz ，取2x ，则( 2, 2, 1)n ， 平面AEF的法向量(0m ，1，0)， 设二面角PAFE的平面角为， 则 |10 cos

37、 | |5 n m nm 二面角PAFE的余弦值为 10 5 第 19 页（共 25 页） 19 （12 分）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于 1640 年提出了以下猜想： 2 21() n n FnN是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出 5 641 6700417F ，该数不是质 数已知 n S为数列 n a的前n项和，且 2 log (1)1() nn SFnN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 21 (1)log nn bna ，设为数列 2 n b 的前n项和，求出 n T，并证明：对任意nN， 12 n T 【解答】解： （1） 22 log (1)1log

38、2 nn SF 2 121 n n ， 当1n 时， 11 1aS，2n时， 11 1 21 212 nnn nnn aSS ，对1n 也成立， 则 1 2n n a ，*nN； （2） 212 (1)log(1)log 2 nn bnan (1) n n n， 2211 2() (1)1 n bn nnn ， 则 111111 2(1)2(1) 22311 n T nnn ， 由于 1 2(1) 1n 随着n的增大而增大，可得 1 2 n TT ， 即对任意nN，12 n T 20（12 分） 截止到 2018 年末， 我国公路总里程达到 484.65 万公里， 其中高速公路达到 14.26

39、 万公里，规模居世界第一与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点如图是某 部门公布的一年内道路交通事故成因分析， 由图可知， 超速驾驶已经成为交通事故的一个主 要因素研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门 第 20 页（共 25 页） 的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：/km h； 1 d， 2 d分别表示反应距离和 制动距离，单位：)m 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 1 d 13.4 15.2 16.7 18.6 20.1 21.9 23.5 25.3 26.8 28.5

40、（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出 3 起进行分析研究，求其中恰好有 1 起属于 超速驾驶的概率（用频率代替概率） ； （2）已知 2 d与v的平方成正比，且当行车速度为100/km h时，制动距离为65m ( ) i由表中数据可知， 1 d与v之间具有线性相关关系，请建立 1 d与v之间的回归方程，并估 计车速为110/km h时的停车距离； ( )ii我国道路交通安全法规定：车速超过100/km h时，应该与同车道前车保持100m以 上的距离，请解释一下上述规定的合理性 参考数据： 10 1 1004 i i v ， 10 1 1 ()210 i i d ， 10 1 1 ()22

41、187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ，110330.21 52524 参考公式：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 【解答】解： （1）由题意知， 3 3 11 ( ) (1) 55 iii i PC ， 故所求的概率为 12 13 1448 ( ) 55125 PC； 第 21 页（共 25 页） （2）由 2 d与v的平方成正比，设 2 2 dkv， 当行车速

42、度为100/vkm h时，制动距离为 2 65dm； 即 2 10065k，解得0.0065k ， 所以 2 2 0.0065dv； ( ) i由 1 d与v之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 且 10 1 11 1004100.4 1010 i i vv ， 10 11 1 11 ()21021 1010 i i dd ； 又 10 1 1 ()22187.3 ii i v d ， 10 2 1 106054 i i v ， 11033 0.21 52524 ， 所以 10 1 11 102 222 11 ()10()() 22187.3 10 100.42111033 0.21 1

43、0605410 100.452524 ()( )10 n iiii iii n ii ii vdv dxxyy b xxvv ， 1 210.21 100.40.084adbv ， 所以 1 d与v间的回归方程为 1 0.210.084dv； 110v 时， 1 0.21 1100.08423.016d 2 2 0.0065 11078.65d ， 所以估计车速为110/km h时的停车距离为23.01678.65101.666102( )dm； ( )100ii v 时， 1 0.21 1000.08420.916d 2 2 0.0065 10065d ， 车速为100/km h时的停车距离为20.9166585.91686( )dm； 车速超过100/km h时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m以上的距离 21 （12 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点，P为C上的动 点， 其中P到 1 F的最短距离为 1， 且当 12 PFF的面积最大时， 12 PFF恰好为等边三角形 （1）求椭圆C的标准方程； （2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆” ，记椭圆C的外切圆为E ( ) i求圆E的方程； 第 22 页（共 25 页） ( )ii在平面内是否存在定点Q，