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2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷 (1).docx

1、 第 1 页(共 23 页) 2019-2020 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 2 |23 0Ax xx , | 21Bxx且xZ,则(AB ) A 2,1 B 1,0 C 2,0 D 1,1 2 (5 分)设(1)1(i abi i 是虚数单位) ,其中a,b是实数,则| (abi ) A1 B2 C3 D2 3

2、 (5 分)已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N,若(4)0.9P,则( 21)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最 早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之, 三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h, 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3, 那么, 近似公式 2 2 75 VL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113

3、5 (5 分)函数( )yf x与( )yg x的图象如图所示,则( )( )yf x g x的部分图象可能是( ) A B C D 第 2 页(共 23 页) 6 (5 分)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪 种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有( ) A36 种 B30 种 C24 种 D20 种 7 (5 分)已知 3 sin() 45 ,且为锐角,则cos( ) A 7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 7 2 10 8 (5

4、分) 已知点P为双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab 右支上一点, 1 F, 2 F分别为C的左, 右焦点,直线 1 PF与C的一条渐近线垂直,垂足为H,若 11 | 4|PFHF,则该双曲线的离 心率为( ) A 15 3 B 21 3 C 5 3 D 7 3 二、 多项选择题: 本大题共二、 多项选择题: 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分, 共分, 共 20 分 在每小题给出的四个选项中,分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得

5、0 分分 9 (5 分)等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A2 B(12) C2 2 D(22 ) 10 (5 分)已知 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为,则下列说法正确 的有( ) A2 B函数( )f x在0, 6 上为增函数 C直线 3 x 要是函数( )yf x图象的一条对称轴 D点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心 11(5分) 已知等比数列 n a的公比 2 3 q , 等差数列 n b的首项 1 12b , 若 99 ab且 1010 ab, 则以下结论正确的

6、有( ) A 910 0a a B 910 aa C 10 0b D 910 bb 12 (5 分)把方程 | 1 169 x xy y 表示的曲线作为函数( )yf x的图象,则下列结论正确 第 3 页(共 23 页) 的有( ) A( )yf x的图象不经过第一象限 B( )f x在R上单调递增 C( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数( )4 ( )3g xf xx不存在零点 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)向量( , 4)ax,(1,)bx,若a与b共线,则实数x 14 (

7、5 分)已知圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称,则 21 ab 的最 小值为 15(5 分) 已知P是抛物线 2 4yx上的动点, 点P在y轴上的射影是M, 点A的坐标为(2,3), 则|PAPM的最小值是 16 (5 分)正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,点K在棱 11 A B上运动,过A,C,K三点 作正方体的截面,若K为棱 11 A B的中点,则截面面积为 ,若截面把正方体分成体积之 比为2:1的两部分,则 1 1 AK KB 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解

8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10,且 1 a, 2 a, 4 a是等比数 列 n b的前 3 项 (1)求 n a, n b; (2)设 1 , 1 nnn nn cbc aa 求的前n项和 n S 18 (12 分)在底面为正方形的四棱锥PABCD中,平面PAD 平面ABCD,PAPD, 第 4 页(共 23 页) E,F分别为棱PC和AB的中点 (1)求证:/ /EF平面PAD; (2) 若直线PC与AB所成角的正切值为 5 2 , 求平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小 19 (12 分)在3 sin4

9、cosaCcA,2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个,补 充在下面问题中,然后解答补充完整的题 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ,3 2a (1)求sin A; (2)如图,M为边AC上一点MCMB 2 ABM ,求ABC的面积 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 20 (12 分)读书可以使人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况,随 机抽取了n名学生进行调查, 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时

10、间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ,日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 (1)求n,p的值; (2) 根据已知条件完成下面的22列联表, 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 第 5 页(共 23 页) 男 女 10 55 总计 (3)将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 3 名学生,每 次抽取 1 名, 已知每个人是否被抽到互不影响, 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X, 求X的分布列和期望()E X 附:

11、2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21(12 分) 在平面直角坐标系中,( 1.0)A ,(1,0)B, 设ABC的内切圆分别与边AC,BC, AB相切于点P,Q,R,已知| 1CP ,记动点C的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)过(2,0)G的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线E交于点H,HAx轴,过S的另一 直线与曲线E交于M、N两点,若6 SMGSHN SS ,求直线MN的方程

12、22 (12 分)已知函数 2 ( )1() ( ) x f xaexaR g xx (1)讨论函数( )f x的单调性; (2) 当0a 时, 若曲线 1: ( )1Cyf xx与曲线 2: ( )Cyg x存在唯一的公切线, 求实数a 的值; (3)当1a ,0x时,不等式( )(1)f xkxln x恒成立,求实数k的取值范围 第 6 页(共 23 页) 第 7 页(共 23 页) 2019-2020 学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,

13、每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 2 |23 0Ax xx , | 21Bxx且xZ,则(AB ) A 2,1 B 1,0 C 2,0 D 1,1 【解答】解: | 13Axx 剟, 2B ,1,0, 1AB ,0 故选:B 2 (5 分)设(1)1(i abi i 是虚数单位) ,其中a,b是实数,则| (abi ) A1 B2 C3 D2 【解答】解:由(1)1i abi ,得1aaibi , 1a ab ,则1ab | |1|2abii 故选:B 3 (5 分

14、)已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N,若(4)0.9P,则( 21)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【解答】解:随机变量服从正态分布 2 (1,)N, 正态分布曲线的对称轴方程为1x , 由(4)0.9P,得(4)(2)0.1PP , 则 11 ( 21)( 24)0.80.4 22 PP 故选:C 4 (5 分) 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最 早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之, 三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式 第 8 页(共 23 页) 2

15、 1 36 VL h, 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3, 那么, 近似公式 2 2 75 VL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113 【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r,高为h,则2Lr, 22 12 (2) 375 r hrh, 25 8 故选:B 5 (5 分)函数( )yf x与( )yg x的图象如图所示,则( )( )yf x g x的部分图象可能是( ) A B C D 【解答】解:由图可知,当(,) 2 x 时,0y ;当(,0) 2 x 时,0y ;当(0,) 2 x 时,0y ;当(,) 2

16、 x 时,0y ; 符合要求的只有选项A 故选:A 6 (5 分)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账,顾客乙只会用现金和银联卡结账,顾客丙与甲、乙结账方式不同,丁用哪 种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账,那么他们结账方式的组合种数共有( ) A36 种 B30 种 C24 种 D20 种 【解答】解:根据题意,依次分析四人的结账方式: 第 9 页(共 23 页) 对于甲,只会用现金结账,有 1 种方式, 对于乙,只会用现金和银联卡结账,有 2 种方式, 对于丙,与甲、乙结账方式不同,若乙用现金,则丙有 3 种方式,若乙用银行卡,则丙有 2

17、 种方式, 对于丁,用哪种结账方式都可以,有 4 种方式, 则他们结账方式的组合有3 42420种, 故选:D 7 (5 分)已知 3 sin() 45 ,且为锐角,则cos( ) A 7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 7 2 10 【解答】解:由于 3 sin() 45 ,且为锐角, 则 444 , 即 2 34 cos()1( ) 455 , 则coscos() 44 cos()cossin()sin 4444 2 432 () 25510 故选:C 8 (5 分) 已知点P为双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab 右支上一点, 1 F, 2 F分别为C的左, 右

18、焦点,直线 1 PF与C的一条渐近线垂直,垂足为H,若 11 | 4|PFHF,则该双曲线的离 心率为( ) A 15 3 B 21 3 C 5 3 D 7 3 【解答】解:如图:取 1 PF的中点M 11 | 4|PFHF, 2 / /OHMF 直线 1 PF垂直OH,垂足为H, 21 MFPF,故 12 PFF为等腰三角形 212 2PFFFc,可得 1 22PFac 第 10 页(共 23 页) 121 tantan b FF MFOH a , 1 121 12 sinsin 2 MFacb FF MFOH FFcc 2acb, 2222 ()4()3250accaee , 解得 5 3

19、 e , 故选:C 二、 多项选择题: 本大题共二、 多项选择题: 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分, 共分, 共 20 分 在每小题给出的四个选项中,分 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 9 (5 分)等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A2 B(12) C2 2 D(22 ) 【解答】 解: 若绕一条直角边旋转一周时, 则圆锥的底面半径为 1, 高为 1, 所以母线长

20、2l , 这时表面积为 2 1 211(12) 2 l; 若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起,且由题意底面半径为 2 2 ,一个 圆锥的母线长为 1, 所以表面积 1 22 2 S 2 12 2 , 综上所述该几何体的表面积为2, 故选:AB 10 (5 分)已知 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为,则下列说法正确 的有( ) A2 第 11 页(共 23 页) B函数( )f x在0, 6 上为增函数 C直线 3 x 要是函数( )yf x图象的一条对称轴 D点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心 【解答】解: 2 ( )2c

21、os3sin21(0)cos23sin22cos(2) 3 f xxxxxx 的最小正周期为 2 2 , 1,( )2cos(2) 3 f xx ,故A错误 在0, 6 上,2 33 x ,0,故( )2cos(2) 3 f xx 单调递增,故B正确; 当 3 x 时,( )1f x ,不是最值,故直线 3 x 不是函数( )yf x图象的一条对称轴,故C 错误; 当 5 12 x 时,( )0f x ,故点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心,故D正确, 故选:BD 11(5分) 已知等比数列 n a的公比 2 3 q , 等差数列 n b的首项 1 12b , 若

22、99 ab且 1010 ab, 则以下结论正确的有( ) A 910 0a a B 910 aa C 10 0b D 910 bb 【解答】解:数列 n a是公比q为 2 3 的等比数列, n b是首项为 12,公差设为d的等差数 列, 则 8 91 2 () 3 aa, 9 101 2 () 3 aa, 217 9101 2 ()0 3 a aa,故A正确; 1 a正负不确定,故B错误; 10 a正负不确定,由 1010 ab,不能求得 10 b的符号,故C错误; 由 99 ab且 1010 ab,则 8 1 2 ()128 3 ad, 9 1 2 ()129 3 ad, 可得等差数列 n

23、b一定是递减数列,即0d , 即有 9910 abb,故D正确 第 12 页(共 23 页) 故选:AD 12 (5 分)把方程 | 1 169 x xy y 表示的曲线作为函数( )yf x的图象,则下列结论正确 的有( ) A( )yf x的图象不经过第一象限 B( )f x在R上单调递增 C( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数( )4 ( )3g xf xx不存在零点 【解答】 解: 根据题意画出方程 | 1 169 x xy y 曲线即为函数( )yf x的图象, 如图所示 轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形 从图形中可以看出,关于函数(

24、)yf x的有下列说法: A图象不过第一象限,正确; B,( )f x在R上单调递减,故B错误 C,由图象可知,( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3, C正确; D,由于4 ( )30f xx即 3 ( ) 4 x f x , 从而图形上看,函数( )f x的图象与直线 3 4 x y 没有交点, 故函数( )4 ( )3F xf xx不存在零点,故D正确 故选:ACD 第 13 页(共 23 页) 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)向量( , 4)ax,(1,)bx,若a与b共线,则实数

25、x 2 【解答】解:向量( , 4)ax,(1,)bx, 若a与b共线,则 2 ( 4) 10x , 解得2x 故答案为:2 14 (5 分)已知圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称,则 21 ab 的最 小值为 9 【解答】解:圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称, 21ab, 则 21212222 ()(2)5529 baba ab abababab , 当且仅当 22ba ab 即 1 3 ab时取等号,此时取得最小值 9 故答案为:9 15(5 分) 已知P是抛物线 2 4yx上的动点, 点P在y轴上的射影是M, 点A的坐标为(2

26、,3), 则|PAPM的最小值是 101 【解答】解:当2x 时, 2 4 28y ,所以2 2y ,即| 2 2y ,因为32, 第 14 页(共 23 页) 所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线1x , 由抛物线的定义可知| | 1 |PNPMPF , 当三点A,P,F共线时,|PAPF最小, 此时为| |PAPFAF,又焦点坐标为(1,0)F, 所以 22 |(2 1)310AF , 即| 1 |PMPA 的最小值为10,所以|PMPA的最小值为101, 故答案为:101 16 (5 分)正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,点K在棱 11 A B上运动,过A,C,K三点

27、作正方体的截面,若K为棱 11 A B的中点,则截面面积为 9 8 ,若截面把正方体分成体积 之比为2:1的两部分,则 1 1 AK KB 【解答】解:如图,过K作/ /KMAC,交 11 BC于M,连结MC, 第 15 页(共 23 页) 则平面ACMK是过A,C,K三点的正方体的截面, K为棱 11 A B的中点,M是 11 BC的中点, 22 112 11 222 KMAC, 截面ACMK的面积为 22 1229 ( 2)1() 2248 S 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,点K在棱 11 A B上运动, 截面ACMK把正方体分成体积之比为2:1的两部分, 设 1 B

28、Kx,则 1 B Mx, 1 1AKx , 22222 1 11111 (11 ) 11 3 22223 xx, 整理,得 2 10xx , 由01x,解得 51 2 x , 1 1 51 1 151 2 251 2 AKx KBx 故答案为: 9 8 , 51 2 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10,且 1 a, 2 a, 4 a是等比数 列 n b的前 3 项 (1)求 n a, n b; (2)

29、设 1 , 1 nnn nn cbc aa 求的前n项和 n S 第 16 页(共 23 页) 【解答】解: (1)设数列 n a的公差为(0)d d , 由题意, 411 4(41) 44610 2 Sadad , 又 1 a, 2 a, 4 a成等比数列, 2 214 aa a, 即 2 111 ()(3 )ada ad,得 1 ad, 联立可得, 1 1ad n an, 1 2n n b ; (2) 1 11 2 (1)(1) n nn nn cb a an n , 011 11111 (222)(1) 2231 n n S nn 1211 12 1211 n n nn 数列 n c的前

30、n项和为 1 2 1 n n S n 18 (12 分)在底面为正方形的四棱锥PABCD中,平面PAD 平面ABCD,PAPD, E,F分别为棱PC和AB的中点 (1)求证:/ /EF平面PAD; (2) 若直线PC与AB所成角的正切值为 5 2 , 求平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小 【解答】解: (1)证明:取CD的中点M,连结EM,FM, E,F分别为PC和AB的中点,四边形ABCD是正方形, / /EMPD,/ /FMAD, EMFMM,PDADD,平面/ /EFM平面PAD, EF 平面EFM,/ /EF平面PAD (2)解:平面PAD 平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD

31、, 第 17 页(共 23 页) CDAD,CD 平面ABCD, CD平面PAD,CDPD, / /ABCD,PCD是直线PC与AB所成角, 5 tan 2 PD PCD DC ,设5PD ,2CD , 分别取AD和BC的中点O,N,连结PO,ON, PAPD,POAD, 平面PAD 平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO 平面PAD, PO平面ABCD, 以O为原点,OA为x轴,ON为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系, 则(0P,0,2),( 1C ,2,0),(1B,2,0), (2CB ,0,0),(1CP ,2,2), 设(mx,y,) z是平面BPC的一个法向量, 则 2

32、0 220 m CBx m CPxyz ,取1y ,得(0m ,1,1), 平面PAD的一个法向量(0n ,1,0), 12 cos, | |22 1 m n m n mn ,, 4 m n , 平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小为 4 19 (12 分)在3 sin4 cosaCcA,2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个,补 充在下面问题中,然后解答补充完整的题 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ,3 2a 第 18 页(共 23 页) (1)求sin A; (2)如图,M为边AC上一点MCMB 2 ABM ,求ABC的面积 注:如果选择两个条

33、件分别解答,按第一个解答计分 【解答】解:若选择条件,则: (1)在ABC中,由正弦定理可得3sinsin4sincosACCA, 因为sin0C , 所以3sin4cosAA,可得 22 9sin16cosAA, 所以 2 25sin16A, 因为sin0A, 所以 4 sin 5 A (2)设BMMCm,易知 4 coscossin 5 BMCBMAA , 在BMC中,由余弦定理可得 22 4 1822() 5 mm,解得5m , 所 以 2 1133 s i n5 2252 B M C SmB M C , 在R tA B M中 , 4 s i n 5 A ,5BM , 2 ABM , 所

34、以 3 5 4 AB ,所以 15 8 ABM S, 所以 31527 288 ABCBMCABM SSS 若选择,则: (1)因为2 sin5 sin 2 BC baB , 所以2 sin5 sin 2 A baB , 由正弦定理可得2sincos5sinsin 2 A BAB, 因为sin0B , 所以2cos5sin 2 A A,2cos52sincos 222 AAA , 第 19 页(共 23 页) 因为cos0 2 A , 可得 1 sin 25 A ,则 2 cos 25 A , 所以 4 sin2sincos 225 AA A (2)同选择 20 (12 分)读书可以使人保持思

35、想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体,读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况,随 机抽取了n名学生进行调查, 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ,日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 (1)求n,p的值; (2) 根据已知条件完成下面的22列联表, 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关? 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 (3)

36、将上述调查所得到的频率视为概率,现从该地区大量学生中,随机抽取 3 名学生,每 次抽取 1 名, 已知每个人是否被抽到互不影响, 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X, 求X的分布列和期望()E X 附: 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 第 20 页(共 23 页) 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解: (1)由频率分布直方图可知0.01p , 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人 10

37、 100 0.1 n (2)100n , “读书之星”有1000.2525, 从而22列联表如下图所示: 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算得: 2 2 100 (30 10 15 45) 100 3.0303.841 45 55 75 2525 K 没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 (3)将频率视为概率,即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4 , 由题意得 1 (3, ) 4 XB, 03 3 327 (0)( ) 464 P XC, 12 3 1327 (1)(

38、 )( ) 4464 P XC, 22 3 139 (2)( ) ( ) 4449 P XC, 33 3 11 (3)( ) 464 P XC, 第 21 页(共 23 页) X的分布列为: X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 13 ()3 44 E X 21(12 分) 在平面直角坐标系中,( 1.0)A ,(1,0)B, 设ABC的内切圆分别与边AC,BC, AB相切于点P,Q,R,已知| 1CP ,记动点C的轨迹为曲线E (1)求曲线E的方程; (2)过(2,0)G的直线与y轴正半轴交于点S,与曲线E交于点H,HAx轴,过S的另一 直线与曲线E交于M、N两

39、点,若6 SMGSHN SS ,求直线MN的方程 【解答】 解:(1) 由题意知,| | 2| 4 |CACBCPCQAPBQCPABAB, 曲线E是以A,B为焦点,长轴长为 4 的椭圆(除去与x轴的交点) , 设曲线 22 22 :1(0,0) xy Eaby ab ,则1c ,24a , 即2a , 222 3bac, 曲线E的方程为 22 1(0) 43 xy y; (2)因为HAx轴,所以 3 ( 1, ) 2 H ,设 0 (0,)Sy, 0 3 2 23 y ,解得 0 1y ,则(0,1)S, 因为2ac,所以| 2|SGSH, 1 |sin 2| 2 6 1 | |sin 2

40、SMG SHN SMSGMSG SSM SSN SNSHNSH , | 3 | SM SN ,则3SMSN , 设 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y,则 1122 ( ,1),(,1)SMx ySNxy,则 12 3xx , 当直线MN斜率不存在时,MN的方程为0x , 此时 |31 23 |31 SM SN ,不符合条件,舍去; 当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为1ykx, 第 22 页(共 23 页) 联立 22 1 1 43 ykx xy ,得 22 (34)880kxkx , 12 2 12 2 8 34 8 34 k xx k x x k , 将 12 3

41、xx 代入得, 2 2 2 2 2 8 2 34 8 3 34 k x k x k , 2 22 48 3() 3434 k kk , 2 3 2 k ,解得 6 2 k , 直线MN的方程为 6 1 2 yx或 6 1 2 yx 22 (12 分)已知函数 2 ( )1() ( ) x f xaexaR g xx (1)讨论函数( )f x的单调性; (2) 当0a 时, 若曲线 1: ( )1Cyf xx与曲线 2: ( )Cyg x存在唯一的公切线, 求实数a 的值; (3)当1a ,0x时,不等式( )(1)f xkxln x恒成立,求实数k的取值范围 【解答】解: (1)( )1 x

42、 f xaex,( )1 x fxae, 当0a时,f ( ) 0x ,在R上单调递减; 当0a 时,( )0fx时,xlna , 当(,)xlna ,( )0fx,( )f x递减;当(,)xlna ,f ( )0x ,( )f x递增; (2)曲线 1: ( )1 x Cyf xxae , 2 2: ( )Cyg xx, 设公切线与 1 C, 2 C的切点为 1 1 ( ,) x x ae, 2 22 (,)x x,易知 12 xx, 由 1 1 2 2 2 12 2 x x aex kaex xx , 1 222 1 22222 222 x x xxaexxx, 所以 2 1 222 2

43、2x xxx, 第 23 页(共 23 页) 由0a ,故 2 0x ,所以 21 220xx,故 1 1x , 所以 11 21 1 24(1) (1) xx xx ax ee , 构造函数 4(1) ( ) x x F x e ,(1)x 问题等价于直线ya与曲线( )yF x在1x 时有且只有一 个交点, 4(2) ( ) x x F x e ,当(1,2)x时,( )F x递增;当(2,)x时,( )F x递减; ( )F x的最大值为F(2) 2 4 e ,F(1)0,当x时,( )0F x , 故 2 4 a e ; (3)当1a 时,( )1 x f xex, 设( )1(1)(0) x h xexkxln xx ,(0)0h, ( )1 (1) 1 x x h xek ln x x ,(0)0 h 2 11 ( ) 1(1) x h xek xx ,(0)12hk , 当1 20k,即 1 2 k时,由0x,1 x e , 22 11111 1 1(1)21(1) k xxxx 剟, 则( ) 0h x,( )h x在0,)递增,故( )(0)0h xh, 所以( )h x在0,)递增,由(0)0h, 所以( ) 0h x 成立; 当 1 2 k

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