1、 第 1 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， | 21Bxx且xZ，则(AB ) A 2，1 B 1，0 C 2，0 D 1，1 2 （5 分）设(1)1(i abi i 是虚数单位） ，其中a，b是实数，则| (abi ) A1 B2 C3 D2 3
2、 （5 分）已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若(4)0.9P，则( 21)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之， 三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h， 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3， 那么， 近似公式 2 2 75 VL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113
3、5 （5 分）函数( )yf x与( )yg x的图象如图所示，则( )( )yf x g x的部分图象可能是( ) A B C D 第 2 页（共 23 页） 6 （5 分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪 种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A36 种 B30 种 C24 种 D20 种 7 （5 分）已知 3 sin() 45 ，且为锐角，则cos( ) A 7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 7 2 10 8 （5
4、分） 已知点P为双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab 右支上一点， 1 F， 2 F分别为C的左， 右焦点，直线 1 PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若 11 | 4|PFHF，则该双曲线的离 心率为( ) A 15 3 B 21 3 C 5 3 D 7 3 二、 多项选择题： 本大题共二、 多项选择题： 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得
5、0 分分 9 （5 分）等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A2 B(12) C2 2 D(22 ) 10 （5 分）已知 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为，则下列说法正确 的有( ) A2 B函数( )f x在0, 6 上为增函数 C直线 3 x 要是函数( )yf x图象的一条对称轴 D点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心 11（5分） 已知等比数列 n a的公比 2 3 q ， 等差数列 n b的首项 1 12b ， 若 99 ab且 1010 ab， 则以下结论正确的
6、有( ) A 910 0a a B 910 aa C 10 0b D 910 bb 12 （5 分）把方程 | 1 169 x xy y 表示的曲线作为函数( )yf x的图象，则下列结论正确 第 3 页（共 23 页） 的有( ) A( )yf x的图象不经过第一象限 B( )f x在R上单调递增 C( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数( )4 ( )3g xf xx不存在零点 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）向量( , 4)ax，(1,)bx，若a与b共线，则实数x 14 （
7、5 分）已知圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称，则 21 ab 的最 小值为 15（5 分） 已知P是抛物线 2 4yx上的动点， 点P在y轴上的射影是M， 点A的坐标为(2,3)， 则|PAPM的最小值是 16 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，点K在棱 11 A B上运动，过A，C，K三点 作正方体的截面，若K为棱 11 A B的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之 比为2:1的两部分，则 1 1 AK KB 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10，且 1 a， 2 a， 4 a是等比数 列 n b的前 3 项 （1）求 n a， n b； （2）设 1 , 1 nnn nn cbc aa 求的前n项和 n S 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD， 第 4 页（共 23 页） E，F分别为棱PC和AB的中点 （1）求证：/ /EF平面PAD； （2） 若直线PC与AB所成角的正切值为 5 2 ， 求平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小 19 （12 分）在3 sin4
9、cosaCcA，2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个，补 充在下面问题中，然后解答补充完整的题 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，3 2a （1）求sin A； （2）如图，M为边AC上一点MCMB 2 ABM ，求ABC的面积 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 20 （12 分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了n名学生进行调查， 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时
10、间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 （1）求n，p的值； （2） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 第 5 页（共 23 页） 男 女 10 55 总计 （3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名， 已知每个人是否被抽到互不影响， 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X， 求X的分布列和期望()E X 附：
11、2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21（12 分） 在平面直角坐标系中，( 1.0)A ，(1,0)B， 设ABC的内切圆分别与边AC，BC， AB相切于点P，Q，R，已知| 1CP ，记动点C的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）过(2,0)G的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线E交于点H，HAx轴，过S的另一 直线与曲线E交于M、N两点，若6 SMGSHN SS ，求直线MN的方程
12、22 （12 分）已知函数 2 ( )1() ( ) x f xaexaR g xx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 当0a 时， 若曲线 1: ( )1Cyf xx与曲线 2: ( )Cyg x存在唯一的公切线， 求实数a 的值； （3）当1a ，0x时，不等式( )(1)f xkxln x恒成立，求实数k的取值范围 第 6 页（共 23 页） 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，
13、每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Ax xx ， | 21Bxx且xZ，则(AB ) A 2，1 B 1，0 C 2，0 D 1，1 【解答】解： | 13Axx 剟， 2B ，1，0， 1AB ，0 故选：B 2 （5 分）设(1)1(i abi i 是虚数单位） ，其中a，b是实数，则| (abi ) A1 B2 C3 D2 【解答】解：由(1)1i abi ，得1aaibi ， 1a ab ，则1ab | |1|2abii 故选：B 3 （5 分
14、）已知随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若(4)0.9P，则( 21)(P ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【解答】解：随机变量服从正态分布 2 (1,)N， 正态分布曲线的对称轴方程为1x ， 由(4)0.9P，得(4)(2)0.1PP ， 则 11 ( 21)( 24)0.80.4 22 PP 故选：C 4 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之， 三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式 第 8 页（共 23 页） 2
15、 1 36 VL h， 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3， 那么， 近似公式 2 2 75 VL h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A 22 7 B 25 8 C 157 50 D 355 113 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2Lr， 22 12 (2) 375 r hrh， 25 8 故选：B 5 （5 分）函数( )yf x与( )yg x的图象如图所示，则( )( )yf x g x的部分图象可能是( ) A B C D 【解答】解：由图可知，当(,) 2 x 时，0y ；当(,0) 2 x 时，0y ；当(0,) 2 x 时，0y ；当(,) 2
16、 x 时，0y ； 符合要求的只有选项A 故选：A 6 （5 分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡若顾客甲 只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪 种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A36 种 B30 种 C24 种 D20 种 【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式： 第 9 页（共 23 页） 对于甲，只会用现金结账，有 1 种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有 2 种方式， 对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有 3 种方式，若乙用银行卡，则丙有 2
17、 种方式， 对于丁，用哪种结账方式都可以，有 4 种方式， 则他们结账方式的组合有3 42420种， 故选：D 7 （5 分）已知 3 sin() 45 ，且为锐角，则cos( ) A 7 2 10 B 2 10 C 2 10 D 7 2 10 【解答】解：由于 3 sin() 45 ，且为锐角， 则 444 ， 即 2 34 cos()1( ) 455 ， 则coscos() 44 cos()cossin()sin 4444 2 432 () 25510 故选：C 8 （5 分） 已知点P为双曲线 22 22 :1(00) xy Cab ab 右支上一点， 1 F， 2 F分别为C的左， 右
18、焦点，直线 1 PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若 11 | 4|PFHF，则该双曲线的离 心率为( ) A 15 3 B 21 3 C 5 3 D 7 3 【解答】解：如图：取 1 PF的中点M 11 | 4|PFHF， 2 / /OHMF 直线 1 PF垂直OH，垂足为H， 21 MFPF，故 12 PFF为等腰三角形 212 2PFFFc，可得 1 22PFac 第 10 页（共 23 页） 121 tantan b FF MFOH a ， 1 121 12 sinsin 2 MFacb FF MFOH FFcc 2acb， 2222 ()4()3250accaee ， 解得 5 3
19、 e ， 故选：C 二、 多项选择题： 本大题共二、 多项选择题： 本大题共 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中，分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分选对但不全的得分选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的 几何体的表面积可以为( ) A2 B(12) C2 2 D(22 ) 【解答】 解： 若绕一条直角边旋转一周时， 则圆锥的底面半径为 1， 高为 1， 所以母线长
20、2l ， 这时表面积为 2 1 211(12) 2 l； 若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为 2 2 ，一个 圆锥的母线长为 1， 所以表面积 1 22 2 S 2 12 2 ， 综上所述该几何体的表面积为2， 故选：AB 10 （5 分）已知 2 ( )2cos3sin21(0)f xxx的最小正周期为，则下列说法正确 的有( ) A2 第 11 页（共 23 页） B函数( )f x在0, 6 上为增函数 C直线 3 x 要是函数( )yf x图象的一条对称轴 D点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心 【解答】解： 2 ( )2c
21、os3sin21(0)cos23sin22cos(2) 3 f xxxxxx 的最小正周期为 2 2 ， 1，( )2cos(2) 3 f xx ，故A错误 在0, 6 上，2 33 x ，0，故( )2cos(2) 3 f xx 单调递增，故B正确； 当 3 x 时，( )1f x ，不是最值，故直线 3 x 不是函数( )yf x图象的一条对称轴，故C 错误； 当 5 12 x 时，( )0f x ，故点 5 (,0) 12 是函数( )yf x图象的一个对称中心，故D正确， 故选：BD 11（5分） 已知等比数列 n a的公比 2 3 q ， 等差数列 n b的首项 1 12b ， 若
22、99 ab且 1010 ab， 则以下结论正确的有( ) A 910 0a a B 910 aa C 10 0b D 910 bb 【解答】解：数列 n a是公比q为 2 3 的等比数列， n b是首项为 12，公差设为d的等差数 列， 则 8 91 2 () 3 aa， 9 101 2 () 3 aa， 217 9101 2 ()0 3 a aa，故A正确； 1 a正负不确定，故B错误； 10 a正负不确定，由 1010 ab，不能求得 10 b的符号，故C错误； 由 99 ab且 1010 ab，则 8 1 2 ()128 3 ad， 9 1 2 ()129 3 ad， 可得等差数列 n
23、b一定是递减数列，即0d ， 即有 9910 abb，故D正确 第 12 页（共 23 页） 故选：AD 12 （5 分）把方程 | 1 169 x xy y 表示的曲线作为函数( )yf x的图象，则下列结论正确 的有( ) A( )yf x的图象不经过第一象限 B( )f x在R上单调递增 C( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3 D函数( )4 ( )3g xf xx不存在零点 【解答】 解： 根据题意画出方程 | 1 169 x xy y 曲线即为函数( )yf x的图象， 如图所示 轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形 从图形中可以看出，关于函数(
24、)yf x的有下列说法： A图象不过第一象限，正确； B，( )f x在R上单调递减，故B错误 C，由图象可知，( )yf x的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 3， C正确； D，由于4 ( )30f xx即 3 ( ) 4 x f x ， 从而图形上看，函数( )f x的图象与直线 3 4 x y 没有交点， 故函数( )4 ( )3F xf xx不存在零点，故D正确 故选：ACD 第 13 页（共 23 页） 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）向量( , 4)ax，(1,)bx，若a与b共线，则实数
25、x 2 【解答】解：向量( , 4)ax，(1,)bx， 若a与b共线，则 2 ( 4) 10x ， 解得2x 故答案为：2 14 （5 分）已知圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称，则 21 ab 的最 小值为 9 【解答】解：圆 22 (2)(1)2xy关于直线1(0,0)axbyab对称， 21ab， 则 21212222 ()(2)5529 baba ab abababab ， 当且仅当 22ba ab 即 1 3 ab时取等号，此时取得最小值 9 故答案为：9 15（5 分） 已知P是抛物线 2 4yx上的动点， 点P在y轴上的射影是M， 点A的坐标为(2
26、,3)， 则|PAPM的最小值是 101 【解答】解：当2x 时， 2 4 28y ，所以2 2y ，即| 2 2y ，因为32， 第 14 页（共 23 页） 所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x ， 由抛物线的定义可知| | 1 |PNPMPF ， 当三点A，P，F共线时，|PAPF最小， 此时为| |PAPFAF，又焦点坐标为(1,0)F， 所以 22 |(2 1)310AF ， 即| 1 |PMPA 的最小值为10，所以|PMPA的最小值为101， 故答案为：101 16 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，点K在棱 11 A B上运动，过A，C，K三点
27、作正方体的截面，若K为棱 11 A B的中点，则截面面积为 9 8 ，若截面把正方体分成体积 之比为2:1的两部分，则 1 1 AK KB 【解答】解：如图，过K作/ /KMAC，交 11 BC于M，连结MC， 第 15 页（共 23 页） 则平面ACMK是过A，C，K三点的正方体的截面， K为棱 11 A B的中点，M是 11 BC的中点， 22 112 11 222 KMAC， 截面ACMK的面积为 22 1229 ( 2)1() 2248 S 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，点K在棱 11 A B上运动， 截面ACMK把正方体分成体积之比为2:1的两部分， 设 1 B
28、Kx，则 1 B Mx， 1 1AKx ， 22222 1 11111 (11 ) 11 3 22223 xx， 整理，得 2 10xx ， 由01x，解得 51 2 x ， 1 1 51 1 151 2 251 2 AKx KBx 故答案为： 9 8 ， 51 2 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知各项均不相等的等差数列 n a的前 4 项和为 10，且 1 a， 2 a， 4 a是等比数 列 n b的前 3 项 （1）求 n a， n b； （2）
29、设 1 , 1 nnn nn cbc aa 求的前n项和 n S 第 16 页（共 23 页） 【解答】解： （1）设数列 n a的公差为(0)d d ， 由题意， 411 4(41) 44610 2 Sadad ， 又 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 2 214 aa a， 即 2 111 ()(3 )ada ad，得 1 ad， 联立可得， 1 1ad n an， 1 2n n b ； （2） 1 11 2 (1)(1) n nn nn cb a an n ， 011 11111 (222)(1) 2231 n n S nn 1211 12 1211 n n nn 数列 n c的前
30、n项和为 1 2 1 n n S n 18 （12 分）在底面为正方形的四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD， E，F分别为棱PC和AB的中点 （1）求证：/ /EF平面PAD； （2） 若直线PC与AB所成角的正切值为 5 2 ， 求平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小 【解答】解： （1）证明：取CD的中点M，连结EM，FM， E，F分别为PC和AB的中点，四边形ABCD是正方形， / /EMPD，/ /FMAD， EMFMM，PDADD，平面/ /EFM平面PAD， EF 平面EFM，/ /EF平面PAD （2）解：平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD
31、， 第 17 页（共 23 页） CDAD，CD 平面ABCD， CD平面PAD，CDPD， / /ABCD，PCD是直线PC与AB所成角， 5 tan 2 PD PCD DC ，设5PD ，2CD ， 分别取AD和BC的中点O，N，连结PO，ON， PAPD，POAD， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， 以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则(0P，0，2)，( 1C ，2，0)，(1B，2，0)， (2CB ，0，0)，(1CP ，2，2)， 设(mx，y，) z是平面BPC的一个法向量， 则 2
32、0 220 m CBx m CPxyz ，取1y ，得(0m ，1，1)， 平面PAD的一个法向量(0n ，1，0)， 12 cos, | |22 1 m n m n mn ，, 4 m n ， 平面PAD与平面PBC所成锐二面的大小为 4 19 （12 分）在3 sin4 cosaCcA，2 sin5 sin 2 BC baB 这两个条件中任选一个，补 充在下面问题中，然后解答补充完整的题 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，3 2a 第 18 页（共 23 页） （1）求sin A； （2）如图，M为边AC上一点MCMB 2 ABM ，求ABC的面积 注：如果选择两个条
33、件分别解答，按第一个解答计分 【解答】解：若选择条件，则： （1）在ABC中，由正弦定理可得3sinsin4sincosACCA， 因为sin0C ， 所以3sin4cosAA，可得 22 9sin16cosAA， 所以 2 25sin16A， 因为sin0A， 所以 4 sin 5 A （2）设BMMCm，易知 4 coscossin 5 BMCBMAA ， 在BMC中，由余弦定理可得 22 4 1822() 5 mm，解得5m ， 所 以 2 1133 s i n5 2252 B M C SmB M C ， 在R tA B M中 ， 4 s i n 5 A ，5BM ， 2 ABM ， 所
34、以 3 5 4 AB ，所以 15 8 ABM S， 所以 31527 288 ABCBMCABM SSS 若选择，则： （1）因为2 sin5 sin 2 BC baB ， 所以2 sin5 sin 2 A baB ， 由正弦定理可得2sincos5sinsin 2 A BAB， 因为sin0B ， 所以2cos5sin 2 A A，2cos52sincos 222 AAA ， 第 19 页（共 23 页） 因为cos0 2 A ， 可得 1 sin 25 A ，则 2 cos 25 A ， 所以 4 sin2sincos 225 AA A （2）同选择 20 （12 分）读书可以使人保持思
35、想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是 文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随 机抽取了n名学生进行调查， 根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率 分布直方图将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书之星” ，日均课余读书时 间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星” 已知抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分 钟的有 10 人 （1）求n，p的值； （2） 根据已知条件完成下面的22列联表， 并判断是否有95%以上的把握认为 “读书之星” 与性别有关？ 非读书之星 读书之星 总计 男 女 10 55 总计 （3）
36、将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取 3 名学生，每 次抽取 1 名， 已知每个人是否被抽到互不影响， 记被抽取的 “读书之星” 人数为随机变量X， 求X的分布列和期望()E X 附： 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 其中 2 0 ()P Kk 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 第 20 页（共 23 页） 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知0.01p ， 抽取的样本中日均课余读书时间低于 10 分钟的有 10 人 10
37、 100 0.1 n （2）100n ， “读书之星”有1000.2525， 从而22列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将22列联表中的数据代入公式计算得： 2 2 100 (30 10 15 45) 100 3.0303.841 45 55 75 2525 K 没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关 （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为 1 4 ， 由题意得 1 (3, ) 4 XB， 03 3 327 (0)( ) 464 P XC， 12 3 1327 (1)(
38、 )( ) 4464 P XC， 22 3 139 (2)( ) ( ) 4449 P XC， 33 3 11 (3)( ) 464 P XC， 第 21 页（共 23 页） X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 13 ()3 44 E X 21（12 分） 在平面直角坐标系中，( 1.0)A ，(1,0)B， 设ABC的内切圆分别与边AC，BC， AB相切于点P，Q，R，已知| 1CP ，记动点C的轨迹为曲线E （1）求曲线E的方程； （2）过(2,0)G的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线E交于点H，HAx轴，过S的另一 直线与曲线E交于M、N两
39、点，若6 SMGSHN SS ，求直线MN的方程 【解答】 解：（1） 由题意知，| | 2| 4 |CACBCPCQAPBQCPABAB， 曲线E是以A，B为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去与x轴的交点） ， 设曲线 22 22 :1(0,0) xy Eaby ab ，则1c ，24a ， 即2a ， 222 3bac， 曲线E的方程为 22 1(0) 43 xy y； （2）因为HAx轴，所以 3 ( 1, ) 2 H ，设 0 (0,)Sy， 0 3 2 23 y ，解得 0 1y ，则(0,1)S， 因为2ac，所以| 2|SGSH， 1 |sin 2| 2 6 1 | |sin 2
40、SMG SHN SMSGMSG SSM SSN SNSHNSH ， | 3 | SM SN ，则3SMSN ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 1122 ( ,1),(,1)SMx ySNxy，则 12 3xx ， 当直线MN斜率不存在时，MN的方程为0x ， 此时 |31 23 |31 SM SN ，不符合条件，舍去； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx， 第 22 页（共 23 页） 联立 22 1 1 43 ykx xy ，得 22 (34)880kxkx ， 12 2 12 2 8 34 8 34 k xx k x x k ， 将 12 3
41、xx 代入得， 2 2 2 2 2 8 2 34 8 3 34 k x k x k ， 2 22 48 3() 3434 k kk ， 2 3 2 k ，解得 6 2 k ， 直线MN的方程为 6 1 2 yx或 6 1 2 yx 22 （12 分）已知函数 2 ( )1() ( ) x f xaexaR g xx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2） 当0a 时， 若曲线 1: ( )1Cyf xx与曲线 2: ( )Cyg x存在唯一的公切线， 求实数a 的值； （3）当1a ，0x时，不等式( )(1)f xkxln x恒成立，求实数k的取值范围 【解答】解： （1）( )1 x
42、 f xaex，( )1 x fxae， 当0a时，f ( ) 0x ，在R上单调递减； 当0a 时，( )0fx时，xlna ， 当(,)xlna ，( )0fx，( )f x递减；当(,)xlna ，f ( )0x ，( )f x递增； （2）曲线 1: ( )1 x Cyf xxae ， 2 2: ( )Cyg xx， 设公切线与 1 C， 2 C的切点为 1 1 ( ,) x x ae， 2 22 (,)x x，易知 12 xx， 由 1 1 2 2 2 12 2 x x aex kaex xx ， 1 222 1 22222 222 x x xxaexxx， 所以 2 1 222 2
43、2x xxx， 第 23 页（共 23 页） 由0a ，故 2 0x ，所以 21 220xx，故 1 1x ， 所以 11 21 1 24(1) (1) xx xx ax ee ， 构造函数 4(1) ( ) x x F x e ，(1)x 问题等价于直线ya与曲线( )yF x在1x 时有且只有一 个交点， 4(2) ( ) x x F x e ，当(1,2)x时，( )F x递增；当(2,)x时，( )F x递减； ( )F x的最大值为F（2） 2 4 e ，F（1）0，当x时，( )0F x ， 故 2 4 a e ； （3）当1a 时，( )1 x f xex， 设( )1(1)(0) x h xexkxln xx ，(0)0h， ( )1 (1) 1 x x h xek ln x x ，(0)0 h 2 11 ( ) 1(1) x h xek xx ，(0)12hk ， 当1 20k，即 1 2 k时，由0x，1 x e ， 22 11111 1 1(1)21(1) k xxxx 剟， 则( ) 0h x，( )h x在0，)递增，故( )(0)0h xh， 所以( )h x在0，)递增，由(0)0h， 所以( ) 0h x 成立； 当 1 2 k
