第一章 整除及其基本性质 性质 1（）|babababa；（）acabbc|,|且；（）btasctsbcac|,|,|有对任意的整数且；（）babaab|且；（）设0c，则acbcab|；（）若0a，则|abab。（）若0b，且,21kddd是b的全体因数，则/,/,/21kdbdbdb也是b的全体因数。反证法。如果n不是素数，则n必为合数。令|2nddT，因为Tn1，所以T是有下界的非空集合，从而集合T中一定存在最小的正整数，设为p，则p一定为素数，否则，2p 是合数，由定义 1-2 知，必有因数d：pd 2。显然Td，这和p的最小性矛盾。因为np|，所以存在整数q，使得pqn，则2q，否则pn，由于p是n的大于 1 的最小正因数，与n为合数矛盾。从而Tq，由p的定义知qp，所以2ppqn，即npnp|,，p为素数，与题设矛盾。所以n一定是素数。由定理1可以看出每个大于1的整数都有一个素因数，下面我们要证明每个整数一定可以表示成素数的乘积。定理 2 任一整数1n都可以表示成素数的乘积，即 rpppn21，rppp21 （1）其中ip是素数。定理 3 素数有无穷多个。定理 4 形如14 k素数有无穷多个。定理 5 设全体素数按大小顺序排成的序列是：.,5,3,254321ppppp 我们有 xxx2,loglog)(22，（2）和,2,1,212npnn （3）
