第一章 整除及其基本性质 性质 1()|babababa;()acabbc|,|且;()btasctsbcac|,|,|有对任意的整数且;()babaab|且;()设0c,则acbcab|;()若0a,则|abab。()若0b,且,21kddd是b的全体因数,则/,/,/21kdbdbdb也是b的全体因数。反证法。如果n不是素数,则n必为合数。令|2nddT,因为Tn1,所以T是有下界的非空集合,从而集合T中一定存在最小的正整数,设为p,则p一定为素数,否则,2p 是合数,由定义 1-2 知,必有因数d:pd 2。显然Td,这和p的最小性矛盾。因为np|,所以存在整数q,使得pqn,则2q,否则pn,由于p是n的大于 1 的最小正因数,与n为合数矛盾。从而Tq,由p的定义知qp,所以2ppqn,即npnp|,,p为素数,与题设矛盾。所以n一定是素数。由定理1可以看出每个大于1的整数都有一个素因数,下面我们要证明每个整数一定可以表示成素数的乘积。定理 2 任一整数1n都可以表示成素数的乘积,即 rpppn21,rppp21 (1)其中ip是素数。定理 3 素数有无穷多个。定理 4 形如14 k素数有无穷多个。定理 5 设全体素数按大小顺序排成的序列是:.,5,3,254321ppppp 我们有 xxx2,loglog)(22,(2)和,2,1,212npnn (3)