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2020年新疆高考数学(理科)模拟试卷(1).docx

1、 第 1 页(共 20 页) 2020 年新疆高考数学(理科)模拟试卷(年新疆高考数学(理科)模拟试卷(1) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)据记载,欧拉公式 eixcosx+isinx(xR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公 式被誉为“数学中的天桥” 特别是当 x 时,得到一个令人着迷的优美恒等式 ei+1 0,将数学中五个重要的数(自然对数的底 e,圆周率 ,虚数单位 i,自然数的单位 1 和零元 0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式” 根据欧拉公式, 若复数 4的共轭复数为,则 =( ) A

2、 2 2 2 2 B 2 2 + 2 2 C 2 2 + 2 2 D 2 2 2 2 2 (5 分)已知集合 A0,1,2,3,集合 Bx|x|2,则 AB( ) A0,3 B0,1,2 C1,2 D0,1,2,3 3 (5 分)函数 f(x)x2+e|x|的图象只可能是( ) A B C D 4 (5 分)已知向量 =(1,3) , =(3,2) ,则向量 2 =( ) A12 B3 C3 D6 5 (5 分)已知 F2为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的右焦点,且 F2在 C 的渐近线 上的射影为点 H,O 为坐标原点,若|OH|F2H|,则 C 的渐近线方程为( ) Axy

3、0 B3xy0 Cx3y0 Dx2y0 6(5分) ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, M在边AB上, 且AM= 1 3AB, b2, CM= 27 3 ,2 2 = ,则 S ABC( ) A33 4 B3 C23 D83 3 第 2 页(共 20 页) 7 (5 分)中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示) ,表 示一个多位数时,像阿拉伯记数样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的 筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表 示,例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 可用算筹表示为( ) A

4、B C D 8 (5 分)甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较(成绩 均为整数满分 100 分) ,乙同学对其中一次成绩记忆模糊,只记得成绩不低于 90 分且不 是满分,则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( ) A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 9 (5 分)如图,在菱形 ABCD 中, = 2 3 ,线段 AD,BD 的中点分别 E,F现将 MBD 沿对角线 BD 翻折,当二面角 ABDC 的余弦值为1 3时,异面直线 BE 与 CF 所成 角的正弦值是( ) A 35 6 B1 6 C26 5 D1 5 10(5分) 已知函数() = |(

5、 + 6)|(0)在0, 2上单调递减, 则的最大值为 ( ) 第 3 页(共 20 页) A1 3 B2 3 C4 3 D5 3 11(5分) 已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, (3 2 + ) = ( 3 2), 且 ( 3 2,0)时, f (x) log2(3x+1) ,则 f(2020)( ) A4 Blog27 C2 D2 12 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶 点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则 C 的离心率为( ) A2 3 B1 2

6、C1 3 D1 4 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)曲线 f(x)2x3x1 在点(0,f(0) )处的切线在 x 轴上的截距为 14 (5 分)若实数 x,y 满足|x3|+|y2|1,则 = 的最小值是 15 (5 分)已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43,底面边长为 6,则该正三棱锥外接球的 表面积是 16 (5 分)已知函数 f(x)ax 2 3lnx,其中 a 为实数若函数 f(x)在区间(1,+) 上有极小值,无极大值,则 a 的取值范围是 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,

7、每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)在等比数列an中,公比 q(0,1) ,且满足 a32,a1a3+2a2a4+a3a525 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bnlog2an,数列bn的前 n 项和为 Sn,当1 1 + 2 2 + + 取最大值时,求 n 的值 18 (12 分)如图 1,四边形 PBCD 是等腰梯形,BCPD,PBBCCD2,PD4,A 为 PD 的中点,将ABP 沿 AB 折起,如图 2,点 M 是棱 PD 上的点 (1)若 M 为 PD 的中点,证明:平面 PCD平面 ABM; (2)若 PC= 6,试确定 M 的位置,使二面角 MABD 的余

8、弦值等于 5 5 第 4 页(共 20 页) 19 (12 分)某医院体检中心为回馈大众,推出优惠活动:对首次参加体检的人员,按 200 元/次收费,并注册成为会员,对会员的后续体检给予相应优惠,标准如下: 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.8 该休检中心从所有会员中随机选取了 100 位对他们在本中心参加体检的次数进行统计, 得到数据如表: 检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 60 20 12 4 4 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为 150 元,根据所给数据,解答下列问题: ()已知某顾客在此体检中

9、心参加了 3 次体检,求这 3 次体检,该体检中心的平均利 润; ()该体检中心要从这 100 人里至少体检 3 次的会员中,按体检次数用分层抽样的方 法抽出 5 人,再从这 5 人中抽取 2 人,每人发放现金 200 元用 5 表示体检 3 次的会员 所得现金和,求 的分布列及 E() 20 (12 分)已知曲线() = 在点(1,f(1) )处的切线斜率为 1 (1)求 m 的值,并求函数 f(x)的极小值; (2)当 x(0,)时,求证:exsinxx+ex 2+1exxcosx 21 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2= 1(a1)的离心率是 2 2 ()求椭圆 C 的方程;

10、()已知 F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点,过 F2作斜率为 k 的直线 l,交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 F1A,F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M,N如果MF1N 为锐角,求 k 的取值范围 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 第 5 页(共 20 页) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,参数方程 = = (其中 为参数)的曲线经过伸缩 变换: = 2 = 得到曲线 C,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 ()求曲线 C 的普通方程及曲

11、线 D 的直角坐标方程; ()设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点,求|MN|的最小值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|xa2|+|x2a+3|,g(x)x2+ax+3 (1)当 a1 时,解关于 x 的不等式 f(x)6; (2)若对任意 x1R,都存在 x2R,使得不等式 f(x1)g(x2)成立,求实数 a 的取 值范围 第 6 页(共 20 页) 2020 年新疆高考数学(理科)模拟试卷(年新疆高考数学(理科)模拟试卷(1) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每

12、小题 5 分)分) 1 (5 分)据记载,欧拉公式 eixcosx+isinx(xR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公 式被誉为“数学中的天桥” 特别是当 x 时,得到一个令人着迷的优美恒等式 ei+1 0,将数学中五个重要的数(自然对数的底 e,圆周率 ,虚数单位 i,自然数的单位 1 和零元 0)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的数学公式” 根据欧拉公式, 若复数 4的共轭复数为,则 =( ) A 2 2 2 2 B 2 2 + 2 2 C 2 2 + 2 2 D 2 2 2 2 【解答】解:复数 4=cos 4 +isin 4 = 2 2 + 2 2 i, 则共轭复数为 = 2

13、 2 2 2 i, 故选:D 2 (5 分)已知集合 A0,1,2,3,集合 Bx|x|2,则 AB( ) A0,3 B0,1,2 C1,2 D0,1,2,3 【解答】解:A0,1,2,3,Bx|2x2, AB0,1,2 故选:B 3 (5 分)函数 f(x)x2+e|x|的图象只可能是( ) A B C D 【解答】解:因为对于任意的 xR,f(x)x2+e|x|0 恒成立,所以排除 A,B, 由于 f(0)02+e|0|1,则排除 D, 第 7 页(共 20 页) 故选:C 4 (5 分)已知向量 =(1,3) , =(3,2) ,则向量 2 =( ) A12 B3 C3 D6 【解答】解

14、:向量 =(1,3) , =(3,2) , 则向量 2 =(2,6) , 所以 2 =23+6(2)6 故选:D 5 (5 分)已知 F2为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的右焦点,且 F2在 C 的渐近线 上的射影为点 H,O 为坐标原点,若|OH|F2H|,则 C 的渐近线方程为( ) Axy0 B3xy0 Cx3y0 Dx2y0 【解答】解:双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的渐近线方程为 y , 若|OH|F2H|,可得在直角三角形 OHF2中,HOF245, 可得 C 的渐近线方程为 xy0 故选:A 6(5分) ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为

15、a, b, c, M在边AB上, 且AM= 1 3AB, b2, CM= 27 3 ,2 2 = ,则 S ABC( ) A33 4 B3 C23 D83 3 【解答】解:ABC 中,2 2 = , 2 2 = , 2sinCcosB2sinAsinB, 第 8 页(共 20 页) 2sinCcosB2(sinBcosC+cosBsinC)sinB, cosC= 1 2, 又 C(0,180) , C60; 又 = 1 3 , = + = + 1 3 = + 1 3( )= 2 3 + 1 3 , 3 =2 + , 9 24 2+ 2+4 ; 2816+a2+4a, 解得 a2 或 a6(不合

16、题意,舍去) , ABC 的面积为 SABC= 1 2 22sin60= 3 故选:B 7 (5 分)中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示) ,表 示一个多位数时,像阿拉伯记数样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的 筹式需要纵横相间,其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表 示,例如 6613 用算筹表示就是,则 8335 可用算筹表示为( ) 第 9 页(共 20 页) A B C D 【解答】解:个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示, 8335 用算筹表示的话,千位上的 8 是横式,百位上的 3 是纵式,十位上的 3 是

17、横式, 个位上的 5 时纵式, 故选:B 8 (5 分)甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较(成绩 均为整数满分 100 分) ,乙同学对其中一次成绩记忆模糊,只记得成绩不低于 90 分且不 是满分,则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为( ) A2 5 B1 2 C3 5 D4 5 【解答】解:由题意可得甲= 1 6(88+87+85+92+93+95)90, 设被污损的数字为 x, 则乙= 1 6(85+86+88+90+99+x)89+ 6, 满足题意时,甲乙 即:9089+ 6,解得 x6, 即 x 可能的取值为 0,1,2,3,4,5, 结合古

18、典概型计算公式可得满足题意的概率为:p= 6 10 = 3 5 故选:C 9 (5 分)如图,在菱形 ABCD 中, = 2 3 ,线段 AD,BD 的中点分别 E,F现将 MBD 沿对角线 BD 翻折,当二面角 ABDC 的余弦值为1 3时,异面直线 BE 与 CF 所成 角的正弦值是( ) 第 10 页(共 20 页) A 35 6 B1 6 C26 5 D1 5 【解答】解:设菱形边长为 2,过 E 作 EHBD,交 BD 于 H 点, 设 BE 与 CF 的夹角为 ,则 0, 2, 记 ABDC,则 cos = 1 3, = ( + ) = , 即 = | | | |( ) = 3 3

19、 2 ( 1 3) = 1 2, 则| | | = 1 2, = 1 6,即 = 35 6 , 故选:A 10(5分) 已知函数() = |( + 6)|(0)在0, 2上单调递减, 则的最大值为 ( ) A1 3 B2 3 C4 3 D5 3 【解答】解:当 0x 2时,0x 2, 6 x+ 6 2+ 6, y|cosx|在0, 2上为减函数, 要使 f(x)在0, 2上单调递减, 则 2+ 6 2得 2 3, 即 0 2 3, 第 11 页(共 20 页) 即 的最大值为2 3, 故选:B 11(5分) 已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, (3 2 + ) = ( 3 2), 且

20、( 3 2,0)时, f (x) log2(3x+1) ,则 f(2020)( ) A4 Blog27 C2 D2 【解答】解:根据题意,f(x)满足(3 2 + ) = ( 3 2),即 f(x+3)f(x) ,函数 f(x) 是周期为 3 的周期函数, 则 f(2020)f(1+2019)f(1) , 又由 f(x)为奇函数,则 f(1)f(1)log2(3+1)2, 故选:D 12 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶 点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则 C

21、的离心率为( ) A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解:由题意可知:A(a,0) ,F1(c,0) ,F2(c,0) , 直线 AP 的方程为:y= 3 6 (x+a) , 由F1F2P120,|PF2|F1F2|2c,则 P(2c,3c) , 代入直线 AP:3c= 3 6 (2c+a) ,整理得:a4c, 题意的离心率 e= = 1 4 故选:D 第 12 页(共 20 页) 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)曲线 f(x)2x3x1 在点(0,f(0) )处的切线在 x 轴上的截距为 1 【解答】解

22、:f(x)6x21, kf(0)1,而 f(0)1, 切线方程为 y+1x, 令 y0 得 x1, 故答案为:1 14 (5 分)若实数 x,y 满足|x3|+|y2|1,则 = 的最小值是 1 3 【解答】解:不等式|x3|+|y2|1 可表示为如图所示的平面区域 = 为该区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然,当 x3,y1 时, = 取得最小 值1 3 故答案为:1 3 第 13 页(共 20 页) 15 (5 分)已知正三棱锥 SABC 的侧棱长为43,底面边长为 6,则该正三棱锥外接球的 表面积是 64 【解答】解:如图所示:由正棱锥得,顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心

23、 O,外接圆的半径 r, 正三棱锥的外接球的球心在高 SO所在的直线上,设为 O, 连接 OA 得:r= 6 3 , 所以 r23,即 OA23, 所以三棱锥的高 h= 2 2=(43)2 (23)2=6, 由勾股定理得,R2r2+(Rh)2,解得:R4, 所以外接球的表面积 S4R264 故答案为:64 16 (5 分)已知函数 f(x)ax 2 3lnx,其中 a 为实数若函数 f(x)在区间(1,+) 上有极小值,无极大值,则 a 的取值范围是 (0,1) 【解答】解:函数 f(x)ax 2 3lnx, f(x)a+ 2 2 3 = 23+2 2 , 函数在区间(1,+)上有极小值无极大

24、值, 第 14 页(共 20 页) f(x)0 即 ax23x+20 在区间(1,+)上有 1 个变号实根,且 x1 时,f(x) 0,x1 时,f(x)0, 结合二次函数的性质可知,0 10,单调递减, 解可得,0a1 当 a1 时,f(x)= (1)(2) 2 , 因为 x1,所以 x10,x20, 故当 x2 时,f(x)0,函数单调递增,当 1x2 时,f(x)0,函数单调递 减, 故当 x2 时,函数取得极小值,满足题意, 当 a0 时,f(x)在(1,+)单调递减,没有极值 故答案为: (0,1 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12

25、分)分) 17 (12 分)在等比数列an中,公比 q(0,1) ,且满足 a32,a1a3+2a2a4+a3a525 (1)求数列an的通项公式; (2)设 bnlog2an,数列bn的前 n 项和为 Sn,当1 1 + 2 2 + + 取最大值时,求 n 的值 【解答】解: (1)a1a3+2a2a4+a3a525, 可得 a22+2a2a4+a42(a2+a4)225, 由 a32,即 a1q22,可得 a10,由 0q1,可得 an0, 可得 a2+a45,即 a1q+a1q35, 由解得 q= 1 2(2 舍去) ,a18, 则 an8 (1 2) n124n; (2)bnlog2a

26、nlog224 n4n, 可得 Sn= 1 2n(3+4n)= 72 2 , = 7 2 , 则1 1 + 2 2 + + =3+ 5 2 + + 7 2 第 15 页(共 20 页) = 1 2n(3+ 7 2 )= 132 4 = 1 4(n 13 2 )2+ 169 16 , 可得 n6 或 7 时,1 1 + 2 2 + + 取最大值21 2 则 n 的值为 6 或 7 18 (12 分)如图 1,四边形 PBCD 是等腰梯形,BCPD,PBBCCD2,PD4,A 为 PD 的中点,将ABP 沿 AB 折起,如图 2,点 M 是棱 PD 上的点 (1)若 M 为 PD 的中点,证明:平

27、面 PCD平面 ABM; (2)若 PC= 6,试确定 M 的位置,使二面角 MABD 的余弦值等于 5 5 【解答】解: (1)证明:由题意, ADBC, 且 ADBC,故四边形 ABCD 是平行四边形, 又 PBBCCD2,PD4, PBA 是正三角形,四边形 ABCD 是菱形, 取 AB 的中点 E,连接 PE,CE,易知ABC 是正三角形,则 ABPE,ABEC, 又 PEECE, AB平面 PEC, ABPC, 取 PC 的中点 N,连接 MN,BN,则 MNCDAB,即 A,B,N,M 四点共面, 又 PBBC2,则 BNPC, 又 ABBNB, PC平面 ABM, 又 PC 在平

28、面 PCD 内, 平面 PCD平面 ABM; (2) = = 2 3 2 = 3, = 6, PEEC, 又 ABPE 且 ABEC,则可以 EB,EC,AB 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系, 第 16 页(共 20 页) 则(1,0,0),(1,0,0),(2, 3 ,0),(0,0,3),设 = (0), 则( 2 1+, 3 1+, 3 1+), 易知平面 ABD 的一个法向量为 = (0,0,1), 设平面MAB的一个法向量为 = (,),又 = (2,0,0), = (1+ 1+ , 3 1+, 3 1+), = 2 = 0 = 1+ 1+ + 3 1+ +

29、3 1+ = 0 ,则可取 = (0, ,1), 由题意,| | | = 1 2+1 = 5 5 ,解得 2,故 DM2MP 19 (12 分)某医院体检中心为回馈大众,推出优惠活动:对首次参加体检的人员,按 200 元/次收费,并注册成为会员,对会员的后续体检给予相应优惠,标准如下: 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.8 该休检中心从所有会员中随机选取了 100 位对他们在本中心参加体检的次数进行统计, 得到数据如表: 检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 60 20 12 4 4 假设该体检中心为顾客体检一次

30、的成本费用为 150 元,根据所给数据,解答下列问题: ()已知某顾客在此体检中心参加了 3 次体检,求这 3 次体检,该体检中心的平均利 润; ()该体检中心要从这 100 人里至少体检 3 次的会员中,按体检次数用分层抽样的方 法抽出 5 人,再从这 5 人中抽取 2 人,每人发放现金 200 元用 5 表示体检 3 次的会员 第 17 页(共 20 页) 所得现金和,求 的分布列及 E() 【解答】解: (1)医院 3 次体检的收入为 200(1+0.95+0.9)570, 三次体验的成本为 1503450, 故平均利润为(570450)340 元; (2)根据题意抽取的 5 个人中 3

31、 人体检三次,1 人体检四次,1 人体验 5 次及以上, 0,200,400, P(0)= 1 5 2 = 1 10, P(200)= 3 1 2 1 5 3 = 3 5 P(400)= 3 2 2 1 5 3 = 3 10, 分布列如下: 0 200 400 P 0.1 0.6 0.3 E()0+2000.6+4000.3120+120240 20 (12 分)已知曲线() = 在点(1,f(1) )处的切线斜率为 1 (1)求 m 的值,并求函数 f(x)的极小值; (2)当 x(0,)时,求证:exsinxx+ex 2+1exxcosx 【解答】解: (1)由题意,f(x)的定义域为 R

32、 () = (2) ,f(1)= = 1 ,m1 () = 1 ,() = 2 , 当 x2 时,f(x)0,f(x)单调递增; 当 x2 时,f(x)0,f(x)单调递减, x2 是 f(x)的极小值点, f(x)的极小值为(2) = 1 2 (2)证明:要证 exsinxx+ex 2+1exxcosx,两边同除以 ex, 只需证1 + 1 2 即可即证() + 1 2 , 由(1)可知,() + 1 2在 x2 处取得最小值 0; 第 18 页(共 20 页) 设 g(x)xcosxsinx,x(0,) ,则 g(x)cosxxsinxcosxxsinx, x(0,) ,g(x)0,g(x

33、)在区间(0,)上单调递减,从而 g(x)g(0) 0, () + 1 2 , 即 exsinxx+ex 2+1exxcosx 21 (12 分)已知椭圆 C: 2 2 + 2= 1(a1)的离心率是 2 2 ()求椭圆 C 的方程; ()已知 F1,F2分别是椭圆 C 的左、右焦点,过 F2作斜率为 k 的直线 l,交椭圆 C 于 A,B 两点,直线 F1A,F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M,N如果MF1N 为锐角,求 k 的取值范围 【解答】解: ()由题意, = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ,解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1; ()由已知直线 l 的斜率

34、不为 0,设直线 l 的方程为 yk(x1) , 直线 l 与椭圆 C 的交点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ,得(2k2+1)x24k2x+2k220 由已知,0 恒成立,且1+ 2= 42 22+1,12 = 222 22+1, 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1),令 x0,得 M(0, 1 1+1) , 同理可得 N(0, 2 2+1) 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 , 将代入并化

35、简得:1 1 = 721 821, 依题意,MF1N 为锐角,则1 1 = 721 821 0, 解得:k2 1 7或 k 21 8 第 19 页(共 20 页) 综上,直线 l 的斜率的取值范围为(, 7 7 )( 2 4 ,0)(0, 2 4 )( 7 7 ,+ ) 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,参数方程 = = (其中 为参数)的曲线经过伸缩 变换: = 2 = 得到曲线 C,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2

36、 ()求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程; ()设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点,求|MN|的最小值 【解答】 解:() 参数方程 = = (其中 为参数) 的曲线经过伸缩变换: = 2 = 得 到曲线 C: 2 4 + 2= 1; 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为: + 35 = 0; ()设点 P(2cos,sin)到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 , 当 sin(+)1 时,dmin= 10 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23已知函数 f(x)|xa2|

37、+|x2a+3|,g(x)x2+ax+3 (1)当 a1 时,解关于 x 的不等式 f(x)6; (2)若对任意 x1R,都存在 x2R,使得不等式 f(x1)g(x2)成立,求实数 a 的取 值范围 【解答】解: (1)当 a1 时,不等式 f(x)6 即为|x1|+|x+1|6, 等价为 1 2 6或 11 2 6 或 1 2 6, 解得 1x3 或1x1 或3x1, 则原不等式的解集为3,3; (2)若对任意 x1R,都存在 x2R,使得不等式 f(x1)g(x2)成立, 可得 f(x1)ming(x2)min, 由 f (x) |xa2|+|x2a+3|xa2x+2a3|a22a+3, 当且仅当 (xa2) (x2a+3) 第 20 页(共 20 页) 0 取得等号, 可得 f(x)的最小值为 a22a+3, g(x)x2+ax+3 的最小值为12 2 4 , 则 a22a+3 122 4 ,即 5a28a0, 解得 a 8 5或 a0

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