2021年新高考数学模拟试卷（8）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（8） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）在复平面 xOy 内，若 A（2，1） ，B（0，3） ，则OACB 中，点 C 对应的复数为 （ ） A2+2i B22i C1+i D1i 2 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 3 （5 分）若 = (9 4) 1 2，b3log83， = (2 3) 1 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba B

2、abc Cbac Dcab 4 （5 分）2020 年 2 月 8 日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中， 中国组合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军， 这也是他们第六次获得四大洲 冠军中国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌颁奖仪式上，国歌奏响！五星红 旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分，首先这 9 位评委 给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、 一个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 （ ） A中位数 B平均数 C方差

3、D极差 5 （5 分）将函数 g（x）3 2x 的图象经过下列哪一种变换可以得到函数 f（x）32 2x 的 图象（ ） A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度 6 （5 分）已知 ， ， 是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为 3，向量 满 足 2 4 +30，则| |的最小值是（ ） A3 1 B3 +1 C2 D23 7 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P1

4、20，则 C 的离 心率为（ ） 第 2 页（共 19 页） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 8 （5 分）在ABC 中，若 = 1 3 + 1 2 ，记 S1SABD，S2SACD，S3SBCD，则 下列结论正确的是（ ） A3 1 = 2 3 B2 3 = 1 2 C2 1 = 2 3 D1+2 3 = 16 3 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a1+3a5S7， 则以下结论一定正确的是 （ ） Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|a5| 10（

5、5 分） 已知函数 f （x） sin （3x+）（ 2 2） 的图象关于直线 x= 4对称， 则 （ ） A函数 f（x+ 12）为奇函数 B函数 f（x）在 12， 3上单调递増 C若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 3 D函数 f（x）的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 11 （5 分）给出下列 4 个命题： 命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”为假命题 命题 p：x2，x210，则p 是x2，x210 “x1”是“|x|0”的充分不必要条件 若 2x+5y2 y+5x，则 x+y0 其中所有正确命题是（ ） A B C D 12 （5 分

6、）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不相同 B把函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 C函数 f（x）和 g（x）在区间（ 4， 4）上都是增函数 第 3 页（共 19 页） D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（x+ 1 ） 6 的二项展开式中，常数项为 14 （5 分）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：

7、离心率为 2；一条渐近线的倾斜角为 30；实轴长为 4，且焦点在 x 轴上写出 符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 15 （5 分）在数列an中，a11，an+12nan，则数列an的通项公式 an 16 （5 分）已知集合 A0x|0x1给定一个函数 yf（x） ，定义集合 Any|yf（x） ， xAn1若 AnAn1对任意的 nN*成立，则称该函数 yf（x）具有性质“g” （I）具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是 ； （）给出下列函数： = 1 ；yx 2+1； = ( 2 ) + 2，其中具有性质“g” 的函数的序号是 （写出所有正确答案的序号） 四解答题（共四解答题（共

8、 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等差数列an满足 a1+a26，a2+a310 （）求数列an的通项公式； （）设数列= 2+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2bcosC （1）若 cosB= 1 3，求 sinA 的值； （2）若 a4，ABC 的面积为 82，AC 的中点为 D，求 BD 的长 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且ABC60，PBPDAB 2，PAPC，AC 与 BD 相交于点 O （1）求证：PO底面 ABCD； （2）

9、求直线 PB 与平面 PCD 所成的角 的值； （3）求平面 PCD 与平面 PAB 所成钝二面角 的余弦值 20 （12 分）设 A，B 为抛物线 C：x22py（p0）上不同两点，抛物线 C 的焦点到其准线 的距离为 4，A 与 B 的横坐标之和为 8 （）求直线 AB 的斜率； （）若设 M 为抛物线 C 上一点，C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，过 M 点作直线 l 第 4 页（共 19 页） 与曲线 C 相交于点 M，Q，与 y 轴交于点 P，且满足 = 2 ，求OPQ 的面积 21 （12 分）已知函数 f（x）excosxxsinx，() = 2，其中 e 是自然对数的底

10、 数 （1）1 2 ，0，2 0， 2，使得不等式 f（x1）m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x1，求证：f（x）g（x）0 22 （12 分）某医药开发公司实验室有 n（nN*）瓶溶液，其中 m（mN）瓶中有细菌 R， 现需要把含有细菌 R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验 n 次； 方案二：混合检验，将 n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 R， 则 n 瓶溶液全部不含有细菌 R；若检验结果含有细菌 R，就要对这 n 瓶溶液再逐瓶检验， 此时检验次数总共为 n+1 （1）假设 n5，m2，采用方案一，求恰好检验 3 次

11、就能确定哪两瓶溶液含有细菌 R 的概率； （2）现对 n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 R 的概率均为 P（0p1） 若采 用方案一需检验的总次数为 ；若采用方案二需检验的总次数为 （i）若 与 的期望相等试求 P 关于 n 的函数解析式 Pf（n） ； （ii）若 = 1 1 4，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求 n 的最大值参考数据：ln20.69，ln31.10，ln51.61，ln71.95 第 5 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（8） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小

12、题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）在复平面 xOy 内，若 A（2，1） ，B（0，3） ，则OACB 中，点 C 对应的复数为 （ ） A2+2i B22i C1+i D1i 【解答】解：如图，设 C（x，y） ， O（0，0） ，A（2，1） ，B（0，3） ， = (0，3)， = ( 2， + 1)， 由题意可得 = ，即 2 = 0 + 1 = 3，解得 xy2 复数 z2+2i 故选：A 2 （5 分）已知 Ax|x210，By|yex，则 AB（ ） A （0，+） B （，1 C1，+） D （，11，+） 【解答】解：Ax|x1 或 x1，By

13、|y0， AB1，+） 故选：C 3 （5 分）若 = (9 4) 1 2，b3log83， = (2 3) 1 3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Acba Babc Cbac Dcab 【解答】解： = (9 4) 1 2= 3 2， b3log83log2328 = 3 2， 第 6 页（共 19 页） = (2 3) 1 3（2 3） 01， a，b，c 的大小关系是 cab 故选：D 4 （5 分）2020 年 2 月 8 日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中， 中国组合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军， 这也是他们第六次获得四大洲 冠军中

14、国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌颁奖仪式上，国歌奏响！五星红 旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分，首先这 9 位评委 给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、 一个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数字特征是 （ ） A中位数 B平均数 C方差 D极差 【解答】解：根据题意，从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到 7 个有 效评分， 其中位数是不变的； 故选：A 5 （5 分）将函数 g（x）3 2x 的图象经过下列哪一种变换可以得到函数 f（x）32

15、2x 的 图象（ ） A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度 【解答】解：f（x）32 2x32（x1） ，所以 g（x）的图象向右平移一个单位得到 f（x） 的图象； 故选：B 6 （5 分）已知 ， ， 是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为 3，向量 满 足 2 4 +30，则| |的最小值是（ ） A3 1 B3 +1 C2 D23 【解答】解：由 2 4 +30，得( ) ( 3 ) = 0， （ ）（ 3 ） ， 如图，不妨设 = (1，0)， 第 7 页（共 19 页） 则 的终点在以（2，0）为圆心，以

16、 1 为半径的圆周上， 又非零向量 与的夹角为 3， 则 的终点在不含端点 O 的两条射线 y= 3（x0） 上 不妨以 y= 3为例，则| |的最小值是（2，0）到直线3 = 0的距离减 1 即|23| 3+1 1 =3 1 故选：A 7 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离 心率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解：由题意可知：A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 AP

17、的方程为：y= 3 6 （x+a） ， 由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则 P（2c，3c） ， 代入直线 AP：3c= 3 6 （2c+a） ，整理得：a4c， 题意的离心率 e= = 1 4 故选：D 第 8 页（共 19 页） 8 （5 分）在ABC 中，若 = 1 3 + 1 2 ，记 S1SABD，S2SACD，S3SBCD，则 下列结论正确的是（ ） A3 1 = 2 3 B2 3 = 1 2 C2 1 = 2 3 D1+2 3 = 16 3 【解答】解：如图， 作 = 1 3 ， = 1 2 ，则 = + ， 四边形 AEDF 是平行四边形， SADESADF，设A

18、BD 的边 AB 上的高为 h1，ACD 的边 AC 上的高为 h2，则： 1 2 | |1= 1 2 | |2， 1 3 (1 2 | |1) = 1 2 (1 2 | |2)， 1 3 1= 1 2 2， 2 1 = 1 3 1 2 = 2 3 故选：C 第 9 页（共 19 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a1+3a5S7， 则以下结论一定正确的是 （ ） Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|a5| 【解答】解：设等差数列an的公差为 d，则 a

19、1+3（a1+4d）7a1+21d，解得 a13d， 所以 ana1+（n1）d（n4）d，所以 a40，故 A 正确； 因为 S6S15a40，所以 S1S6，故 C 正确； 由于 d 的正负不清楚，故 S3可能为最大值或最小值，故 B 不正确； 因为 a3+a52a40，所以 a3a5，即|a3|a5|，故 D 错误 故选：AC 10（5 分） 已知函数 f （x） sin （3x+）（ 2 2） 的图象关于直线 x= 4对称， 则 （ ） A函数 f（x+ 12）为奇函数 B函数 f（x）在 12， 3上单调递増 C若|f（x1）f（x2）|2，则|x1x2|的最小值为 3 D函数 f（

20、x）的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 【解答】解：函数 f（x）sin（3x+） （ 2 2）的图象关于直线 x= 4对称，3 4 += 2 +k，kZ； 2 2，= 4；f（x）sin（3x 4） ； 对于 A，函数 f（x+ 12）sin3（x+ 12） 4sin（3x） ，根据正弦函数的奇偶性，所以 f（x）f（x）因此函数 f（x）是奇函数，故 A 正确 第 10 页（共 19 页） 对于 B，由于 x 12， 3，3x 40， 3 4 ，函数 f（x）sin（3x 4）在 12， 3上不单 调，故 B 错误； 对于 C， 因为 f （x）max1， f （x

21、）min1 又因为|f （x1） f （x2） |2， f （x） sin （3x 4） 的周期为 T= 2 3 ，所以则|x1x2|的最小值为 3，C 正确； 对于 D， 函数 f （x） 的图象向右平移 4个单位长度得到函数 f （x 4） sin3 （x 4） 4 sin3x，故 D 错误 故选：AC 11 （5 分）给出下列 4 个命题： 命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”为假命题 命题 p：x2，x210，则p 是x2，x210 “x1”是“|x|0”的充分不必要条件 若 2x+5y2 y+5x，则 x+y0 其中所有正确命题是（ ） A B C D 【解答】解：对于，根据不等

22、式的基本性质，命题“若 x2 且 y3，则 x+y5”显 然为真命题；故错误； 对于， 命题的否定， 命题 p： x2， x210， 则p 是x2， x210； 故错误； 对于，若 x1，则|x|0若|x|0，则 x 不一定大于 1；故“x1”是“|x|0”的充 分不必要条件正确； 对于，设 f（x）2x5 x，则 f（x）在 R 上为增函数，且 f（y）2y5y； 由条件得，f（x）f（y） ；xy，x+y0；故正确； 故答案为 故选：CD 12 （5 分）已知函数 f（x）sinxcosx，g（x）是 f（x）的导函数，则下列结论中正确的 是（ ） A函数 f（x）的值域 g（x）的值域不

23、相同 B把函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度，就可以得到函数 g（x）的图象 C函数 f（x）和 g（x）在区间（ 4， 4）上都是增函数 第 11 页（共 19 页） D若 x0是函数 f（x）的极值点，则 x0是函数 g（x）的零点 【解答】解：函数 f（x）sinxcosx，g（x）f（x）cosx+sinx， 对于 A，f（x）= 2sin（x 4） ，值域是2，2； g（x）= 2sin（x+ 4） ，值域是2，2，它们的值域相同，所以 A 错误； 对于 B，函数 f（x）的图象向右平移 2个单位长度， 得 yf（x 2）= 2sin（x 3 4 ） 2sin（x+ 4）的图

24、象，不是 g（x）的图象，所以 B 错误； 对于 C，x（ 4， 4）时，x 4（ 2，0） ，f（x）是单调增函数； x（ 4， 4）时，x+ 4（0， 2） ，g（x）是单调增函数；所以 C 正确； 对于 D，若 x0是函数 f（x）的极值点，则 g（x0）0， 即 x0是函数 g（x）的零点，D 正确 故选：CD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（x+ 1 ） 6 的二项展开式中，常数项为 15 【解答】解： （x+ 1 ） 6 的二项展开式中，通项公式为 Tr+1= 6 63 2，令 63 2 =0，可 得

25、 r4， 故展开式中的常数项为6 4 =15， 故答案为：15 14 （5 分）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： 离心率为 2；一条渐近线的倾斜角为 30；实轴长为 4，且焦点在 x 轴上写出 符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 若符合条件时 2 3 y2（0）或 x2 2 3 =（0） ；当符合时： 2 4 2 12 =1；当符合时 2 4 2 4 3 =1 【解答】 解： 若符合条件时， 当焦点在 x 轴上时， 设双曲线的方程为： 2 2 2 2 =1， 可得 =2， =tan30= 3 3 ，可得 = 2 = 3 3 ，可得 2 3 y2（0） ， 第 12 页（共 19

26、页） 当焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为： 2 2 2 2 =1，由题意可得 =2， = 3 3 ，可得 = 2 = 3，所以双曲线的方程为：x 22 3 =（0） ， 当符合时，可得 2a4，即 a2， =2，所以 c4，b2c2a216412，所 以这时双曲线的方程为： 2 4 2 12 =1； 当符合时，可得 = 3 3 ，2a4，即 a2，b= 23 3 ，所以双曲线的标准方程为： 2 4 2 4 3 =1， 故答案：若符合条件时 2 3 y2（0）或 x2 2 3 =（0） ；当符合时： 2 4 2 12 =1；当符合时 2 4 2 4 3 =1 15 （5 分）在数列an中，a1

27、1，an+12nan，则数列an的通项公式 an ，为奇数 1，为偶数 【解答】解：an+12nan， an+1+an2n，an+an12（n1） （n2）， 得：an+1an12 （n2） ，又a11， 数列an的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列， 当 n 为奇数时，ann， 当 n 为偶数时，则 n1 为奇数，an2（n1）an12（n1）（n1）n1， 数列an的通项公式= ，为奇数 1，为偶数， 故答案为：= ，为奇数 1，为偶数 16 （5 分）已知集合 A0x|0x1给定一个函数 yf（x） ，定义集合 Any|yf（x） ， xAn1若 AnAn1对任意的 nN*成立，

28、则称该函数 yf（x）具有性质“g” （I）具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是 yx+1 ； （）给出下列函数： = 1 ；yx 2+1； = ( 2 ) + 2，其中具有性质“g” 第 13 页（共 19 页） 的函数的序号是 （写出所有正确答案的序号） 【解答】解： （I）可取 yx+1， 由 A0x|0x1，Any|yf（x） ，xAn1， 可得 A1y|1y2，A2y|2y3， ，An1y|n1yn，Any|nyn+1， 满足 AnAn1对任意的 nN*成立； （） = 1 ，由 A0x|0x1，Any|yf（x） ，xAn1， 可得 A1y|y1，A2y|0y1，A3y|y1

29、，A4y|0y1， 满足 AnAn1对任意的 nN*成立，故具有性质“g” ； yx2+1，由 A0x|0x1，Any|yf（x） ，xAn1， 可得 A1y|1y2，A2y|2y5，A3y|5y26， 满足 AnAn1对任意的 nN*成立，故具有性质“g” ； = ( 2 ) + 2，由 A0x|0x1，Any|yf（x） ，xAn1， 可得 A1y|2y3，A2y|1y2，A3y|1y2， 不满足 AnAn1对任意的 nN*成立，故不具有性质“g” 故答案为：yx+1， 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知等差数列an满足 a1+a26

30、，a2+a310 （）求数列an的通项公式； （）设数列= 2+1，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （）设数列an的公差为 d， 因为 a1+a26，a2+a310，所以 a3a14， 所以 2d4，d2（3 分） 又 a1+a1+d6，所以 a12，（4 分） 所以 ana1+（n1）d2n（6 分） （）记= 2+1 所以= 22(+1)= 4+1，（7 分） 第 14 页（共 19 页） 又+1 = 4+2 4+1 = 4，1= 42= 16（9 分） 所以bn是首项为 16，公比为 4 的等比数列，（10 分） 其前 n 项和= 16(14)

31、14 （11 分） = 4+216 3 （13 分） 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2bcosC （1）若 cosB= 1 3，求 sinA 的值； （2）若 a4，ABC 的面积为 82，AC 的中点为 D，求 BD 的长 【解答】解： （1）a2bcosC， sinA2sinBcosC， 即 sin（B+C）2sinBcosC， sinBcosC+sinCcosB2sinBcosC， sin（CB）0，B，C 为三角形的内角， 所以 BC， cosB= 1 3， sinB= 22 3 ， sinAsin（B+C）2sinBcosB2 1

32、3 22 3 = 42 9 ， （2）由已知结合（1）可知 BC， 故 bc，设 BC 边上的高 h， sABC= 1 2 4 =82， h42， 此时 tanBtanC= 42 2 =22， 则 cosBcosC= 1 3， bc6 BDC 中，由余弦定理可知，BD=16 + 9 2 3 4 1 3 = 17 19 （12 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且ABC60，PBPDAB 2，PAPC，AC 与 BD 相交于点 O 第 15 页（共 19 页） （1）求证：PO底面 ABCD； （2）求直线 PB 与平面 PCD 所成的角 的值； （3）求平面 PCD 与平面

33、 PAB 所成钝二面角 的余弦值 【解答】解（1）证明：因为 ABCD 为菱形， 所以 O 为 AC，BD 的中点（1 分） 因为 PBPD，PAPC， 所以 POBD，POAC 所以 PO底面 ABCD（3 分） （2）因为 ABCD 为菱形，所以 ACBD， 建立如图所示空间直角坐标系， 又ABC60，PAAB2，得 OA1，OB= 3，OP1， P （0， 0， 1） ， B （3， 0， 0） ， C （0， 1， 0） ， D （3， 0， 0） ， A （0， 1， 0） = (0， 1， 1) =（3，0，1） ， =（0，1，1） ， =（3，0，1） 设平面 PCD 的法向量

34、为 =（x，y，z） ， = = 0 = 3 = 0 = (1， 3， 3) cos ， = | | | = 23 72 = 21 7 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 21 7 （3）又 = (0， 1， 1)设设平面 PAB 的法向量为 = (，) = = 0 = 3 = 0 ， = (1， 3，3) cos ， = | |= 1+33 77 = 1 7 平面 PCD 与平面 PAB 所成钝二面角 的余弦值为 1 7 第 16 页（共 19 页） 20 （12 分）设 A，B 为抛物线 C：x22py（p0）上不同两点，抛物线 C 的焦点到其准线 的距离为 4，A 与 B 的横

35、坐标之和为 8 （）求直线 AB 的斜率； （）若设 M 为抛物线 C 上一点，C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行，过 M 点作直线 l 与曲线 C 相交于点 M，Q，与 y 轴交于点 P，且满足 = 2 ，求OPQ 的面积 【解答】解： （）由条件可知：p4，x28y 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 1 2 = 81 2 2 = 82， = 12 12 = 1+2 8 = 1 （）设 M（x0，y0） ，= 1 4， 1 4 0= 1，x04，y02 设点 P（0，y3） ，Q（x4，y4） ，直线 l 为：yk（x4）+2， = ( 4) + 2 2= 8 ，x28k

36、x+32k160， x0+x48k，x0x432k16 = 2 ，x02x4，x42， = 1 4， = 1 2 | = 3，= 1 3 = 1 21 （12 分）已知函数 f（x）excosxxsinx，() = 2，其中 e 是自然对数的底 数 （1）1 2 ，0，2 0， 2，使得不等式 f（x1）m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x1，求证：f（x）g（x）0 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）由题意，1 2 ，0，2 0， 2，使得不等式 f（x1）m+g （x2）成立，等价于 f（x1）maxm+g（x2）max （1 分） f（x）ex（c

37、osxsinx）（sinx+xcosx）（axx）cosx（ax+1）sinx， 当 x 2，0时，f（x）0，故 f（x）在区间0， 2上单调递增， 所以 x0 时，f（x）取得最大值 1即 f（x）max1 （3 分） 又当 x0， 2时，g（x）cosx2e x，g（x）sinx2ex0， 所以 g（x）在0， 2上单调递减，所以 g（x）g（0）120， 故 g（x）在区间0， 2上单调递减，因此，x0 时，g（x）maxg（0）= 2 所以 1m2，则 m 2 +1 实数 m 的取值范围是2 + 1，+） （6 分） （2）当 x1 时，要证 f（x）g（x）0 成立，只要证 exc

38、osxxsinxsinx+2ex0， 即证 ex（cosx+2）（x+1）sinx，由于 cosx+20，x+10， 只要证 +1 +2 （7 分） 下面证明当 x1 时，不等式即 +1 +2成立 令 h（x）= +1（x1） ，则 h（x）= (+1) (+1)2 = (+1)2， 当 x（1，0）时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（0，+）时，h（x）0，h（x）单调递增 所以当且仅当 x0 时，h（x）取最小值为 1 （9 分） 法一： k= +2， 则 kcosx+2ksinx， 即 sinxkcosx= 2k， 即 sin （x） = 2 1+2， 由三角函数的有界性， 2

39、1+2 1，即1k1，所以 kmax1，而 h（x）minh（0） 1， 但当 x0 时，k01h（0） ；x0 时，h（x）1k， 所以，( +1)( +2)，即 +1 +2 综上所述，当 x1 时，f（x）g（x）0 成立 （12 分） 法二：令 （x）= +2，其可看作点 A（cosx，sinx）与点 B（2，0）连线的斜率 k， 第 18 页（共 19 页） 所以直线 AB 的方程为：yk（x+2） ， 由于点 A 当直线 AB 与圆 x2+y21 相切且切点在第二象限时， 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1而当 x0 时，（0）01h（0） ； x0 时，h（x）1k，所以，h（x）min（x）max，即 +1 +2， 综上所述，当 x1 时，f（x）g（x）0 成立 （12 分） 法三：令 （x）= +2，则 （x）= 1+2 (+2) 2， 当 x2k+ 3 4 （kN）时，（x）取得最大值