2021年新高考数学模拟试卷(8).docx

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资源描述

1、 第 1 页(共 19 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(8) 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)在复平面 xOy 内,若 A(2,1) ,B(0,3) ,则OACB 中,点 C 对应的复数为 ( ) A2+2i B22i C1+i D1i 2 (5 分)已知 Ax|x210,By|yex,则 AB( ) A (0,+) B (,1 C1,+) D (,11,+) 3 (5 分)若 = (9 4) 1 2,b3log83, = (2 3) 1 3,则 a,b,c 的大小关系是( ) Acba B

2、abc Cbac Dcab 4 (5 分)2020 年 2 月 8 日,在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中, 中国组合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军, 这也是他们第六次获得四大洲 冠军中国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌颁奖仪式上,国歌奏响!五星红 旗升起!团结一心!中国加油!花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分,首先这 9 位评委 给出某对选手的原始分数,评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、 一个最低分,得到 7 个有效评分,7 个有效评分与 9 个原始评分相比,不变的数字特征是 ( ) A中位数 B平均数 C方差

3、D极差 5 (5 分)将函数 g(x)3 2x 的图象经过下列哪一种变换可以得到函数 f(x)32 2x 的 图象( ) A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度 6 (5 分)已知 , , 是平面向量,是单位向量若非零向量与的夹角为 3,向量 满 足 2 4 +30,则| |的最小值是( ) A3 1 B3 +1 C2 D23 7 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P1

4、20,则 C 的离 心率为( ) 第 2 页(共 19 页) A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 8 (5 分)在ABC 中,若 = 1 3 + 1 2 ,记 S1SABD,S2SACD,S3SBCD,则 下列结论正确的是( ) A3 1 = 2 3 B2 3 = 1 2 C2 1 = 2 3 D1+2 3 = 16 3 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9(5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a1+3a5S7, 则以下结论一定正确的是 ( ) Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|a5| 10(

5、5 分) 已知函数 f (x) sin (3x+)( 2 2) 的图象关于直线 x= 4对称, 则 ( ) A函数 f(x+ 12)为奇函数 B函数 f(x)在 12, 3上单调递増 C若|f(x1)f(x2)|2,则|x1x2|的最小值为 3 D函数 f(x)的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 11 (5 分)给出下列 4 个命题: 命题“若 x2 且 y3,则 x+y5”为假命题 命题 p:x2,x210,则p 是x2,x210 “x1”是“|x|0”的充分不必要条件 若 2x+5y2 y+5x,则 x+y0 其中所有正确命题是( ) A B C D 12 (5 分

6、)已知函数 f(x)sinxcosx,g(x)是 f(x)的导函数,则下列结论中正确的 是( ) A函数 f(x)的值域 g(x)的值域不相同 B把函数 f(x)的图象向右平移 2个单位长度,就可以得到函数 g(x)的图象 C函数 f(x)和 g(x)在区间( 4, 4)上都是增函数 第 3 页(共 19 页) D若 x0是函数 f(x)的极值点,则 x0是函数 g(x)的零点 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)在(x+ 1 ) 6 的二项展开式中,常数项为 14 (5 分)对于中心在原点的双曲线,给出下列三个条件:

7、离心率为 2;一条渐近线的倾斜角为 30;实轴长为 4,且焦点在 x 轴上写出 符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 15 (5 分)在数列an中,a11,an+12nan,则数列an的通项公式 an 16 (5 分)已知集合 A0x|0x1给定一个函数 yf(x) ,定义集合 Any|yf(x) , xAn1若 AnAn1对任意的 nN*成立,则称该函数 yf(x)具有性质“g” (I)具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是 ; ()给出下列函数: = 1 ;yx 2+1; = ( 2 ) + 2,其中具有性质“g” 的函数的序号是 (写出所有正确答案的序号) 四解答题(共四解答题(共

8、 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17 (10 分)已知等差数列an满足 a1+a26,a2+a310 ()求数列an的通项公式; ()设数列= 2+1,求数列bn的前 n 项和 Sn 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2bcosC (1)若 cosB= 1 3,求 sinA 的值; (2)若 a4,ABC 的面积为 82,AC 的中点为 D,求 BD 的长 19 (12 分)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形,且ABC60,PBPDAB 2,PAPC,AC 与 BD 相交于点 O (1)求证:PO底面 ABCD; (2)

9、求直线 PB 与平面 PCD 所成的角 的值; (3)求平面 PCD 与平面 PAB 所成钝二面角 的余弦值 20 (12 分)设 A,B 为抛物线 C:x22py(p0)上不同两点,抛物线 C 的焦点到其准线 的距离为 4,A 与 B 的横坐标之和为 8 ()求直线 AB 的斜率; ()若设 M 为抛物线 C 上一点,C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行,过 M 点作直线 l 第 4 页(共 19 页) 与曲线 C 相交于点 M,Q,与 y 轴交于点 P,且满足 = 2 ,求OPQ 的面积 21 (12 分)已知函数 f(x)excosxxsinx,() = 2,其中 e 是自然对数的底

10、 数 (1)1 2 ,0,2 0, 2,使得不等式 f(x1)m+g(x2)成立,试求实数 m 的取值范围; (2)若 x1,求证:f(x)g(x)0 22 (12 分)某医药开发公司实验室有 n(nN*)瓶溶液,其中 m(mN)瓶中有细菌 R, 现需要把含有细菌 R 的溶液检验出来,有如下两种方案:方案一:逐瓶检验,则需检验 n 次; 方案二:混合检验,将 n 瓶溶液分别取样,混合在一起检验,若检验结果不含有细菌 R, 则 n 瓶溶液全部不含有细菌 R;若检验结果含有细菌 R,就要对这 n 瓶溶液再逐瓶检验, 此时检验次数总共为 n+1 (1)假设 n5,m2,采用方案一,求恰好检验 3 次

11、就能确定哪两瓶溶液含有细菌 R 的概率; (2)现对 n 瓶溶液进行检验,已知每瓶溶液含有细菌 R 的概率均为 P(0p1) 若采 用方案一需检验的总次数为 ;若采用方案二需检验的总次数为 (i)若 与 的期望相等试求 P 关于 n 的函数解析式 Pf(n) ; (ii)若 = 1 1 4,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望求 n 的最大值参考数据:ln20.69,ln31.10,ln51.61,ln71.95 第 5 页(共 19 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(8) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小

12、题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)在复平面 xOy 内,若 A(2,1) ,B(0,3) ,则OACB 中,点 C 对应的复数为 ( ) A2+2i B22i C1+i D1i 【解答】解:如图,设 C(x,y) , O(0,0) ,A(2,1) ,B(0,3) , = (0,3), = ( 2, + 1), 由题意可得 = ,即 2 = 0 + 1 = 3,解得 xy2 复数 z2+2i 故选:A 2 (5 分)已知 Ax|x210,By|yex,则 AB( ) A (0,+) B (,1 C1,+) D (,11,+) 【解答】解:Ax|x1 或 x1,By

13、|y0, AB1,+) 故选:C 3 (5 分)若 = (9 4) 1 2,b3log83, = (2 3) 1 3,则 a,b,c 的大小关系是( ) Acba Babc Cbac Dcab 【解答】解: = (9 4) 1 2= 3 2, b3log83log2328 = 3 2, 第 6 页(共 19 页) = (2 3) 1 3(2 3) 01, a,b,c 的大小关系是 cab 故选:D 4 (5 分)2020 年 2 月 8 日,在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中, 中国组合隋文静/韩聪以总分 217.51 分拿下四大洲赛冠军, 这也是他们第六次获得四大洲 冠军中

14、国另一对组合彭程/金杨以 213.29 分摘得银牌颁奖仪式上,国歌奏响!五星红 旗升起!团结一心!中国加油!花样滑冰锦标赛有 9 位评委进行评分,首先这 9 位评委 给出某对选手的原始分数,评定该对选手的成绩时从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、 一个最低分,得到 7 个有效评分,7 个有效评分与 9 个原始评分相比,不变的数字特征是 ( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 【解答】解:根据题意,从 9 个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分,得到 7 个有 效评分, 其中位数是不变的; 故选:A 5 (5 分)将函数 g(x)3 2x 的图象经过下列哪一种变换可以得到函数 f(x)32

15、2x 的 图象( ) A向左平移 1 个单位长度 B向右平移 1 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度 D向右平移 2 个单位长度 【解答】解:f(x)32 2x32(x1) ,所以 g(x)的图象向右平移一个单位得到 f(x) 的图象; 故选:B 6 (5 分)已知 , , 是平面向量,是单位向量若非零向量与的夹角为 3,向量 满 足 2 4 +30,则| |的最小值是( ) A3 1 B3 +1 C2 D23 【解答】解:由 2 4 +30,得( ) ( 3 ) = 0, ( )( 3 ) , 如图,不妨设 = (1,0), 第 7 页(共 19 页) 则 的终点在以(2,0)为圆心,以

16、 1 为半径的圆周上, 又非零向量 与的夹角为 3, 则 的终点在不含端点 O 的两条射线 y= 3(x0) 上 不妨以 y= 3为例,则| |的最小值是(2,0)到直线3 = 0的距离减 1 即|23| 3+1 1 =3 1 故选:A 7 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点, 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120,则 C 的离 心率为( ) A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解:由题意可知:A(a,0) ,F1(c,0) ,F2(c,0) , 直线 AP

17、的方程为:y= 3 6 (x+a) , 由F1F2P120,|PF2|F1F2|2c,则 P(2c,3c) , 代入直线 AP:3c= 3 6 (2c+a) ,整理得:a4c, 题意的离心率 e= = 1 4 故选:D 第 8 页(共 19 页) 8 (5 分)在ABC 中,若 = 1 3 + 1 2 ,记 S1SABD,S2SACD,S3SBCD,则 下列结论正确的是( ) A3 1 = 2 3 B2 3 = 1 2 C2 1 = 2 3 D1+2 3 = 16 3 【解答】解:如图, 作 = 1 3 , = 1 2 ,则 = + , 四边形 AEDF 是平行四边形, SADESADF,设A

18、BD 的边 AB 上的高为 h1,ACD 的边 AC 上的高为 h2,则: 1 2 | |1= 1 2 | |2, 1 3 (1 2 | |1) = 1 2 (1 2 | |2), 1 3 1= 1 2 2, 2 1 = 1 3 1 2 = 2 3 故选:C 第 9 页(共 19 页) 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9(5 分) 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a1+3a5S7, 则以下结论一定正确的是 ( ) Aa40 BSn的最大值为 S3 CS1S6 D|a3|a5| 【解答】解:设等差数列an的公差为 d,则 a

19、1+3(a1+4d)7a1+21d,解得 a13d, 所以 ana1+(n1)d(n4)d,所以 a40,故 A 正确; 因为 S6S15a40,所以 S1S6,故 C 正确; 由于 d 的正负不清楚,故 S3可能为最大值或最小值,故 B 不正确; 因为 a3+a52a40,所以 a3a5,即|a3|a5|,故 D 错误 故选:AC 10(5 分) 已知函数 f (x) sin (3x+)( 2 2) 的图象关于直线 x= 4对称, 则 ( ) A函数 f(x+ 12)为奇函数 B函数 f(x)在 12, 3上单调递増 C若|f(x1)f(x2)|2,则|x1x2|的最小值为 3 D函数 f(

20、x)的图象向右平移 4个单位长度得到函数 ycos3x 的图象 【解答】解:函数 f(x)sin(3x+) ( 2 2)的图象关于直线 x= 4对称,3 4 += 2 +k,kZ; 2 2,= 4;f(x)sin(3x 4) ; 对于 A,函数 f(x+ 12)sin3(x+ 12) 4sin(3x) ,根据正弦函数的奇偶性,所以 f(x)f(x)因此函数 f(x)是奇函数,故 A 正确 第 10 页(共 19 页) 对于 B,由于 x 12, 3,3x 40, 3 4 ,函数 f(x)sin(3x 4)在 12, 3上不单 调,故 B 错误; 对于 C, 因为 f (x)max1, f (x

21、)min1 又因为|f (x1) f (x2) |2, f (x) sin (3x 4) 的周期为 T= 2 3 ,所以则|x1x2|的最小值为 3,C 正确; 对于 D, 函数 f (x) 的图象向右平移 4个单位长度得到函数 f (x 4) sin3 (x 4) 4 sin3x,故 D 错误 故选:AC 11 (5 分)给出下列 4 个命题: 命题“若 x2 且 y3,则 x+y5”为假命题 命题 p:x2,x210,则p 是x2,x210 “x1”是“|x|0”的充分不必要条件 若 2x+5y2 y+5x,则 x+y0 其中所有正确命题是( ) A B C D 【解答】解:对于,根据不等

22、式的基本性质,命题“若 x2 且 y3,则 x+y5”显 然为真命题;故错误; 对于, 命题的否定, 命题 p: x2, x210, 则p 是x2, x210; 故错误; 对于,若 x1,则|x|0若|x|0,则 x 不一定大于 1;故“x1”是“|x|0”的充 分不必要条件正确; 对于,设 f(x)2x5 x,则 f(x)在 R 上为增函数,且 f(y)2y5y; 由条件得,f(x)f(y) ;xy,x+y0;故正确; 故答案为 故选:CD 12 (5 分)已知函数 f(x)sinxcosx,g(x)是 f(x)的导函数,则下列结论中正确的 是( ) A函数 f(x)的值域 g(x)的值域不

23、相同 B把函数 f(x)的图象向右平移 2个单位长度,就可以得到函数 g(x)的图象 C函数 f(x)和 g(x)在区间( 4, 4)上都是增函数 第 11 页(共 19 页) D若 x0是函数 f(x)的极值点,则 x0是函数 g(x)的零点 【解答】解:函数 f(x)sinxcosx,g(x)f(x)cosx+sinx, 对于 A,f(x)= 2sin(x 4) ,值域是2,2; g(x)= 2sin(x+ 4) ,值域是2,2,它们的值域相同,所以 A 错误; 对于 B,函数 f(x)的图象向右平移 2个单位长度, 得 yf(x 2)= 2sin(x 3 4 ) 2sin(x+ 4)的图

24、象,不是 g(x)的图象,所以 B 错误; 对于 C,x( 4, 4)时,x 4( 2,0) ,f(x)是单调增函数; x( 4, 4)时,x+ 4(0, 2) ,g(x)是单调增函数;所以 C 正确; 对于 D,若 x0是函数 f(x)的极值点,则 g(x0)0, 即 x0是函数 g(x)的零点,D 正确 故选:CD 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)在(x+ 1 ) 6 的二项展开式中,常数项为 15 【解答】解: (x+ 1 ) 6 的二项展开式中,通项公式为 Tr+1= 6 63 2,令 63 2 =0,可 得

25、 r4, 故展开式中的常数项为6 4 =15, 故答案为:15 14 (5 分)对于中心在原点的双曲线,给出下列三个条件: 离心率为 2;一条渐近线的倾斜角为 30;实轴长为 4,且焦点在 x 轴上写出 符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 若符合条件时 2 3 y2(0)或 x2 2 3 =(0) ;当符合时: 2 4 2 12 =1;当符合时 2 4 2 4 3 =1 【解答】 解: 若符合条件时, 当焦点在 x 轴上时, 设双曲线的方程为: 2 2 2 2 =1, 可得 =2, =tan30= 3 3 ,可得 = 2 = 3 3 ,可得 2 3 y2(0) , 第 12 页(共 19

26、页) 当焦点在 y 轴上,设双曲线的方程为: 2 2 2 2 =1,由题意可得 =2, = 3 3 ,可得 = 2 = 3,所以双曲线的方程为:x 22 3 =(0) , 当符合时,可得 2a4,即 a2, =2,所以 c4,b2c2a216412,所 以这时双曲线的方程为: 2 4 2 12 =1; 当符合时,可得 = 3 3 ,2a4,即 a2,b= 23 3 ,所以双曲线的标准方程为: 2 4 2 4 3 =1, 故答案:若符合条件时 2 3 y2(0)或 x2 2 3 =(0) ;当符合时: 2 4 2 12 =1;当符合时 2 4 2 4 3 =1 15 (5 分)在数列an中,a1

27、1,an+12nan,则数列an的通项公式 an ,为奇数 1,为偶数 【解答】解:an+12nan, an+1+an2n,an+an12(n1) (n2), 得:an+1an12 (n2) ,又a11, 数列an的奇数项为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 当 n 为奇数时,ann, 当 n 为偶数时,则 n1 为奇数,an2(n1)an12(n1)(n1)n1, 数列an的通项公式= ,为奇数 1,为偶数, 故答案为:= ,为奇数 1,为偶数 16 (5 分)已知集合 A0x|0x1给定一个函数 yf(x) ,定义集合 Any|yf(x) , xAn1若 AnAn1对任意的 nN*成立,

28、则称该函数 yf(x)具有性质“g” (I)具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是 yx+1 ; ()给出下列函数: = 1 ;yx 2+1; = ( 2 ) + 2,其中具有性质“g” 第 13 页(共 19 页) 的函数的序号是 (写出所有正确答案的序号) 【解答】解: (I)可取 yx+1, 由 A0x|0x1,Any|yf(x) ,xAn1, 可得 A1y|1y2,A2y|2y3, ,An1y|n1yn,Any|nyn+1, 满足 AnAn1对任意的 nN*成立; () = 1 ,由 A0x|0x1,Any|yf(x) ,xAn1, 可得 A1y|y1,A2y|0y1,A3y|y1

29、,A4y|0y1, 满足 AnAn1对任意的 nN*成立,故具有性质“g” ; yx2+1,由 A0x|0x1,Any|yf(x) ,xAn1, 可得 A1y|1y2,A2y|2y5,A3y|5y26, 满足 AnAn1对任意的 nN*成立,故具有性质“g” ; = ( 2 ) + 2,由 A0x|0x1,Any|yf(x) ,xAn1, 可得 A1y|2y3,A2y|1y2,A3y|1y2, 不满足 AnAn1对任意的 nN*成立,故不具有性质“g” 故答案为:yx+1, 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17 (10 分)已知等差数列an满足 a1+a26

30、,a2+a310 ()求数列an的通项公式; ()设数列= 2+1,求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: ()设数列an的公差为 d, 因为 a1+a26,a2+a310,所以 a3a14, 所以 2d4,d2(3 分) 又 a1+a1+d6,所以 a12,(4 分) 所以 ana1+(n1)d2n(6 分) ()记= 2+1 所以= 22(+1)= 4+1,(7 分) 第 14 页(共 19 页) 又+1 = 4+2 4+1 = 4,1= 42= 16(9 分) 所以bn是首项为 16,公比为 4 的等比数列,(10 分) 其前 n 项和= 16(14)

31、14 (11 分) = 4+216 3 (13 分) 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a2bcosC (1)若 cosB= 1 3,求 sinA 的值; (2)若 a4,ABC 的面积为 82,AC 的中点为 D,求 BD 的长 【解答】解: (1)a2bcosC, sinA2sinBcosC, 即 sin(B+C)2sinBcosC, sinBcosC+sinCcosB2sinBcosC, sin(CB)0,B,C 为三角形的内角, 所以 BC, cosB= 1 3, sinB= 22 3 , sinAsin(B+C)2sinBcosB2 1

32、3 22 3 = 42 9 , (2)由已知结合(1)可知 BC, 故 bc,设 BC 边上的高 h, sABC= 1 2 4 =82, h42, 此时 tanBtanC= 42 2 =22, 则 cosBcosC= 1 3, bc6 BDC 中,由余弦定理可知,BD=16 + 9 2 3 4 1 3 = 17 19 (12 分)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形,且ABC60,PBPDAB 2,PAPC,AC 与 BD 相交于点 O 第 15 页(共 19 页) (1)求证:PO底面 ABCD; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成的角 的值; (3)求平面 PCD 与平面

33、 PAB 所成钝二面角 的余弦值 【解答】解(1)证明:因为 ABCD 为菱形, 所以 O 为 AC,BD 的中点(1 分) 因为 PBPD,PAPC, 所以 POBD,POAC 所以 PO底面 ABCD(3 分) (2)因为 ABCD 为菱形,所以 ACBD, 建立如图所示空间直角坐标系, 又ABC60,PAAB2,得 OA1,OB= 3,OP1, P (0, 0, 1) , B (3, 0, 0) , C (0, 1, 0) , D (3, 0, 0) , A (0, 1, 0) = (0, 1, 1) =(3,0,1) , =(0,1,1) , =(3,0,1) 设平面 PCD 的法向量

34、为 =(x,y,z) , = = 0 = 3 = 0 = (1, 3, 3) cos , = | | | = 23 72 = 21 7 直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 21 7 (3)又 = (0, 1, 1)设设平面 PAB 的法向量为 = (,) = = 0 = 3 = 0 , = (1, 3,3) cos , = | |= 1+33 77 = 1 7 平面 PCD 与平面 PAB 所成钝二面角 的余弦值为 1 7 第 16 页(共 19 页) 20 (12 分)设 A,B 为抛物线 C:x22py(p0)上不同两点,抛物线 C 的焦点到其准线 的距离为 4,A 与 B 的横

35、坐标之和为 8 ()求直线 AB 的斜率; ()若设 M 为抛物线 C 上一点,C 在点 M 处的切线与直线 AB 平行,过 M 点作直线 l 与曲线 C 相交于点 M,Q,与 y 轴交于点 P,且满足 = 2 ,求OPQ 的面积 【解答】解: ()由条件可知:p4,x28y 设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 1 2 = 81 2 2 = 82, = 12 12 = 1+2 8 = 1 ()设 M(x0,y0) ,= 1 4, 1 4 0= 1,x04,y02 设点 P(0,y3) ,Q(x4,y4) ,直线 l 为:yk(x4)+2, = ( 4) + 2 2= 8 ,x28k

36、x+32k160, x0+x48k,x0x432k16 = 2 ,x02x4,x42, = 1 4, = 1 2 | = 3,= 1 3 = 1 21 (12 分)已知函数 f(x)excosxxsinx,() = 2,其中 e 是自然对数的底 数 (1)1 2 ,0,2 0, 2,使得不等式 f(x1)m+g(x2)成立,试求实数 m 的取值范围; (2)若 x1,求证:f(x)g(x)0 第 17 页(共 19 页) 【解答】解: (1)由题意,1 2 ,0,2 0, 2,使得不等式 f(x1)m+g (x2)成立,等价于 f(x1)maxm+g(x2)max (1 分) f(x)ex(c

37、osxsinx)(sinx+xcosx)(axx)cosx(ax+1)sinx, 当 x 2,0时,f(x)0,故 f(x)在区间0, 2上单调递增, 所以 x0 时,f(x)取得最大值 1即 f(x)max1 (3 分) 又当 x0, 2时,g(x)cosx2e x,g(x)sinx2ex0, 所以 g(x)在0, 2上单调递减,所以 g(x)g(0)120, 故 g(x)在区间0, 2上单调递减,因此,x0 时,g(x)maxg(0)= 2 所以 1m2,则 m 2 +1 实数 m 的取值范围是2 + 1,+) (6 分) (2)当 x1 时,要证 f(x)g(x)0 成立,只要证 exc

38、osxxsinxsinx+2ex0, 即证 ex(cosx+2)(x+1)sinx,由于 cosx+20,x+10, 只要证 +1 +2 (7 分) 下面证明当 x1 时,不等式即 +1 +2成立 令 h(x)= +1(x1) ,则 h(x)= (+1) (+1)2 = (+1)2, 当 x(1,0)时,h(x)0,h(x)单调递减; 当 x(0,+)时,h(x)0,h(x)单调递增 所以当且仅当 x0 时,h(x)取最小值为 1 (9 分) 法一: k= +2, 则 kcosx+2ksinx, 即 sinxkcosx= 2k, 即 sin (x) = 2 1+2, 由三角函数的有界性, 2

39、1+2 1,即1k1,所以 kmax1,而 h(x)minh(0) 1, 但当 x0 时,k01h(0) ;x0 时,h(x)1k, 所以,( +1)( +2),即 +1 +2 综上所述,当 x1 时,f(x)g(x)0 成立 (12 分) 法二:令 (x)= +2,其可看作点 A(cosx,sinx)与点 B(2,0)连线的斜率 k, 第 18 页(共 19 页) 所以直线 AB 的方程为:yk(x+2) , 由于点 A 当直线 AB 与圆 x2+y21 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1而当 x0 时,(0)01h(0) ; x0 时,h(x)1k,所以,h(x)min(x)max,即 +1 +2, 综上所述,当 x1 时,f(x)g(x)0 成立 (12 分) 法三:令 (x)= +2,则 (x)= 1+2 (+2) 2, 当 x2k+ 3 4 (kN)时,(x)取得最大值

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