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13、得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分 9BCD 10BC 11ABD 三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分 123；1323；1432 7+四、解答题：本题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解：（1）2 cosabcB+=，由正弦定理得：sinsin2sincosABCB+=，2 分 又2C=，则sincosAB=，cossin2cosBBB+=，4 分 tan1B=，又 B 是三角形内角，5 分 4B=；6 分（2）2 cosab
14、cB+=，且31ba=，cos2cB=，8 分 22222acbcac+=，9 分 2224acba+=，11 分 2 3c=13 分 16解：（1）a=0 时，()e1xf x=+，(1)e1f=+，且()exfx=，2 分(1)ekf=，4 分 故切线方程为：y(e+1)=e(x1)，即 exy+1=0；6 分（2）()exfxa=，e1 ex，7 分 由 1ae，存在00 1x，使得0()0fx=，即0exa=，0lnxa=，9 分 当00)，xx时，0()0fx，()f x单调递减；10 分 当0(1，xx时，0()0fx，()f x单调递增，11 分 故0min00()()1ln13
15、 2ln2xf xf xeaxaaa=+=+=，12 分 令()ln1g aaaa=+，()1(1 ln)ln0g aaa=+=，13 分()g a在(1e)，上单调递减，14 分 易知(2)32ln2g=，所以2a=15 分 17解：（1）设数列na的公差为 d，令1n=，得1 2114a a=，所以1 24a a=，2 分 令2n=，得1 22 31127a aa a+=，所以2 328a a=，4 分 数列na的公差大于 0，11a=，3d=，所以32nan=；6 分（2）（i）k=1 时，n=1，则11b=；7 分 k=1 时，11234kkaa+=，8 分 1222b=，1322b=
16、；9 分（ii）由题意可知：112kkkkaaaa+，10 分 当kna=时，kabk=，则nabn=，32nbn=；11 分 当1kna=+时，12kkab+=，则12nnab+=，312nnb=；12 分 当2kna=+时，22kkab+=，则22nnab+=，32nnb=，13 分 31233nnSbbbb=+L 14322531363()()()nnnbbbbbbbbb=+LLL 1212(12)(222)(222)nnn=+LLL(1)2(12)2212nn n+=+2(1)242nn n+=+，14 分 972021217 82424082SSb=+=15 分 18解法一：（1）证
17、明：如图 1，设 AC 的中点为 F，连接 BF 并延长交 CD 于点 G，易知ABC 为等边三角形，且 BGAC，1 分 在ACD 中，AC=AD=2，满足222ACADCD+=，ADAC，则 G 为 CD 中点，2 分 又点 E 为 PD 中点，G 为 CD 中点，EG/PC，又 PCAC，ACEG，3 分 而 BG，EG 均在平面 BEG 内，且 BGEG=G，AC平面 BEG，BEBEG 平面，ACBE；5 分（2）因为 AC平面 BEF，则 ACEF，ACFG，6 分 因此EFG 即为二面角 E-AC-D 的平面角，3cos3EFG=，而2AE=，7 分 在EFG 中，223EFAE
18、AF=，由余弦定理得2EG=，8 分 222EGFGEF+=，则 EGFG，9 分 EG平面 ABCD，PC平面 ABCD，2EG=，2 2PC=，由 ADAC，则ACD 的面积为 2，10 分 三棱锥 P-ACD 的体积14 2=22 2=33V；11 分（3）由 PC/EG，则直线 PC 与平面 ACE 所成角即为直线 EG 与平面 ACE 所成角，由（1）可知 AC平面 BEG，平面ACACE，平面 BEG平面 ACE，因此FEG 即为所求角，12 分 思路一：在EFG 中，3EF=，1FG=，由正弦定理：sinsinEFFGEGFFEG=，13 分 sinsin=3EGFFEG，14
19、分 当sin=1EGF，即如（2）中 EG平面 ABCD 时，15 分 sin3sin=33EGFFEG，16 分 直线 PC 与平面 ACE 所成角的正弦值为33 17 分 思路二：在EFG 中，3EF=，1FG=，故点 G 在以 F 为圆心，1 为半径的圆上，12 分 当 EG 与该圆相切时，即如（2）中 EG平面 ABCD 时，FEG 最大，14 分 此时13sin=33FEG，16 分 直线 PC 与平面 ACE 所成角的正弦值为33 17 分 解法二：（1）证明：易知ABC 为等边三角形在ACD 中，AC=AD=2，满足222ACADCD+=，ADAC，1 分 以 A 为坐标原点，建
20、立上如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，设点 P(x，y，z)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(1，3，0)，E(2x，22y+，2z)，易知=(2 0 0)ACuuu r，=(2)PCxyzuuu r，2=(3)222xyzBE+uuu r1，2 分 由 PCAC，则 2(2x)=0，则 x=2，3 分 则2=(03)22yzBE+uuu r，4 分=0AC BEuuu r uuu r，则 ACBE；5 分（2）由（1）可知 AC平面 BEG，ACABCD 平面，平面 BEG平面 ABCD，6 分 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，设点 E(1，m，n)
21、（m0），易知=(2 0 0)ACuuu r，=(1)，OEm nuuu r，设平面 ACE 的法向量为：n1=(x，y，z)，00 xxmynz=+=，不妨令zm=，则平面 ACE 的一个法向量为：n1=(0，n，m)，又平面 ACD 的一个法向量为 n2=(0，0，1)，7 分 cos=211222|3|31|n nnnmmn=+，8 分 22|=14AEmn+=uuu r，则223mn+=，解得：n=2，则点 E 到平面 ACD 的距离为2，由 E 为 PD 的中点，则点 P 到平面 ACD 的距离为2 2，9 分 在ACD 中，AC=AD=2，满足222ACADCD+=，ADAC，则A
22、CD 的面积为 2，10 分 三棱锥 P-ACD 的体积14 2=22 2=33V；11 分（3）由 PC/EG，则直线 PC 与平面 ACE 所成角即为直线 EG 与平面 ACE 所成角，设为，由=(1 1 0)，G，则=(0 1)，EGmnuuu r，12 分 122221|(1)|(1)|sin|3423(1)3(1)n=nEGnmmnnmmnnEGmmnmn=+uuu ruuu r 13 分 222223131(2)4(2)1sin3(42)3(42)6262nmmmmmmmm+=14 分 11(2)462mm=+1112(2)4623mm=（当且仅当 m=1 时，等号成立）16 分
23、即sin的最大值为33，直线 PC 与平面 ACE 所成角正弦值的最大值为33 17 分 19解：（1）由已知得，228 3ab=，即2 3ab=，1 分 又离心率为12ca=，则224ac=，222bca+=，所以2234ab=，即32ab=，2 分 2a=，3b=，3 分 椭圆 的标准方程为：22143xy+=；4 分（2）设点 M(x0，y0)，则点 M 满足：2200143xy+=，则2020334yx=，由已知可得 F(0，3)，H(0，3)，设直线 MF 与 MH 的斜率分别为1k，2k，0103ykx+=，0203ykx=，5 分 直线 MF 与 MH 的斜率之积满足：20001
24、2200033334yyykkxxx+=6 分（i）D(2，3)，G(2，0)，则|3DG=，|2OG=，直线 PF 的方程为：13yk x=，令0y=，则13(0)，Pk，13|OPk=，7 分 直线 HQ 的方程为：23yk x=+，令2x=，可得 Q(2，223k+)，2|2|DQk=，1133|3|OPDGkk=，8 分 且221133|2 2|4|44|OGDQkkkk=，9 分|OPDGOGDQ=；10 分(ii)存在22 3()55，K，使得|TK|定值45，理由如下：11 分 设点00()S xy，11()I xy，22()J xy，当过椭圆上点11(,)I x y的直线 l
25、斜率存在时，设直线 l 方程为：ykxm=+，带入椭圆 的方程：2234120 xy+=，化简并整理得：222(43)84120kxkmxm+=，直线 l 与椭圆仅有一个公共点，222(8)4(43)(412)0kmkm=+=，化简得：22430km+=，12 分 124443kmkxmk=+，代入ykxm=+，得13ym=，111344mxxky=，从而直线 l 的方程为：111334xyxyy=+，即11143xxyy+=，13 分 当过1(0)I x，的直线 l 斜率不存在且与椭圆 仅有一个公共点时，直线 l 的方程为：12xx=，满足上式 同理：当过椭圆上点22()J xy，的直线：2
26、2143xxyy+=与椭圆 仅有一个公共点，这两条直线都过点 S，所以有1 01 0143x xy y+=，2 020143x xy y+=，直线 IJ 的方程为00143x xy y+=14 分 由（i）则直线 PF 的方程为：13yk x=，令3y=，则 R(12 3k，3)，又 Q(2，223k+)，RQ 的中点 S(131k+，23k+)，即0131xk=+，0213334ykk=+=直线 IJ 的方程表示为：11333(1)4(3)1204xykk+=，即13(3)34 3120 xyxyk+=，15 分 令3034 3120 xyxy=+=，解得：454 35xy=，16 分 直线 IJ 恒过定点 N(44 355，)，又OTIJ，点 T 在以 ON 为直径的圆上，即 K(22 355，)，|TK|定值45 17 分
