2021年新高考数学模拟试卷（23）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（23） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （ ） A1 B0 C1 D2 2 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 3 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 （5 分

2、）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 5 （5 分）已知函数 f（x）= 7 2 ，0 2， 0 ，令函数() = () 3 2 ，若函数 g （x）有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A( 9 16 ，) B （，0） C(，0) ( 9 16 ，) D(，0) 9 16， 6 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余 弦值为（ ） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 7 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2

3、 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F，C 的条渐近线为 l，以 F 为圆心的圆与 l 相交于 M，N 两点，MFNF，O 为坐标原点， = （25） ， 则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A 5 2 ，2) B 5 2 ， 13 3 C 10 3 ， 13 3 D 10 3 ， 34 5 8 （5 分）从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 2，从两袋各 摸出一个球，则 2 个球中恰有 1 个红球的概率是（ ） 第 2 页（共 18 页） A5 6 B1 2 C2 3 D1 6 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小

4、题 5 分）分） 9 （5 分）已知向量 =（2cos2x，3） ， =（1，sin2x） ，设函数 f（x）= ，则下列关 于函数 yf（x）的性质描述不正确的是（ ） A关于直线 x= 12对称 B关于点（5 12，0）对称 C周期为 2 Dyf（x）在（ 3，0）上是增函数 10 （5 分）已知函数() = 2 + (2 + 3)，则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于( 3 ，0)对称 Cf（x）的最大值为3 D曲线 yf（x）关于 = 6对称 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5， ，其中从第三项起，

5、每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一 列数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正 确的是（ ） Aa68 BS733 Ca1+a3+a5+a2019a2020 D1 2:22:20192 2019 = 2020 12 （5 分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接 管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要 的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和 高均为 8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 3（细管长度忽略不计） 假设该 沙漏

6、每秒钟漏下 0.02cm3的沙， 且细沙全部漏入下部后， 恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆 第 3 页（共 18 页） 锥形沙堆以下结论正确的是（ ） A沙漏中的细沙体积为1024 81 cm3 B沙漏的体积是 128cm3 C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4cm D该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒（ 3.14 ） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1，则 2xy 的最小值为 14 （5 分）已知 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（x） ；当

7、 x（1，1）时， () = 2 + 2，(0 1) 2+ ，(10)则( ) + () + (2019 ) = 15（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 16 （5 分）已知直线 ykx 与圆1：2+ 2 2 = 0及圆2：2+ 2 2 8 = 0从左到 右依次交于点 M，N，P，Q，且|MN|NP|PQ|，则|NP| 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知an是公比为 q（q0）的等比数列，bn是公差为 2 的等差数列，满足 a

8、1b13，a3b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和为 Sn 18 （12 分）在锐角ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知（2c2b）cosA acosBc （1）求证：b2c； （2）若 sinA= 15 4 ，a2，求ABC 的面积 19 （12 分）图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD= 3， 第 4 页（共 18 页） =2 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1= 6，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED； （2）求直线BC

9、1与平面AC1D所成角的正弦 值 20 （12 分）某校从 2011 年到 2018 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生（每位 学生只能参加“北约” ， “华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来 （为了方便 计算，将 2011 年编号为 1，2012 年编号为 2，依此类推） 年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 y 2 3 4 4 7 7 6 6 （1）据悉，该校 2018 年获得加分的 6 位同学中，有 1 位获得加 20 分，2 位获得加 15 分，3 位获得加 10 分，从该 6 位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为 X， 求 X 的分布列及期望

10、 （2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预 测该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数 （结果要求四舍五入 至个位） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 22 （12 分

11、）已知函数 f（x）（x+1）lnx，g（x）a（x1） ，aR （1）求直线 yg（x）与曲线 yf（x）相切时，切点 T 的坐标； 第 5 页（共 18 页） （2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（23） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （ ） A1 B0 C1 D2 【解答】解：

12、a 为实数，且复数 z（1i） （1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上， z1+a+（a1）i 的实部 1+a0，解得 a1 故选：A 2 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（ ） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 【解答】解：集合 AxN|x1，Bx|x5， ABxN|1x52，3，4 故选：C 3 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，若 P（4）0.9，则 P（2 1）（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N（1，2） ， 正态分布曲线的对称轴方程为 x1， 由 P（4）0.9

13、，得 P（4）P（2）0.1， 则 P（21）= 1 2P（24）= 1 2 0.8 = 0.4 故选：C 4 （5 分）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】解； = 3 1 2（1，2） ， = 2 3 22 = 1 2， 2 3 22 = 1， 1 2 1， clog92log93= 1 2， 第 7 页（共 18 页） 则 abc， 故选：A 5 （5 分）已知函数 f（x）= 7 2 ，0 2， 0 ，令函数() = () 3 2 ，若函数 g （x）有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是

14、（ ） A( 9 16 ，) B （，0） C(，0) ( 9 16 ，) D(，0) 9 16， 【解答】解：令 F（x）f（x） 3 2 = 2 ，0 2 3 2 ， 0， 当 x0 时，函数 F（x）2（lnx+1）1lnx， 由 F（x）0 得 1lnx0 得 lnx1，得 0xe， 由 F（x）0 得 1lnx0 得 lnx1，得 xe，当 x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于 负无穷大，即当 xe 时，函数 F（x）取得极大值，极大值为 F（e）2eelne2ee e， 当 x0 时，() = 2 3 2 = ( + 3 4) 2 + 9 16，是二次函数， 在轴处取得最大值 9

15、 16，作出函数 F（x）的图象如图： 要使 F（x）a（a 为常数）有两个不相等的实根，则 a0 或 9 16 ， 即若函数 g（x）有两个不同零点，实数 a 的取值范围是(，0) ( 9 16，)， 故选：C 6 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余 弦值为（ ） 第 8 页（共 18 页） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 【解答】解由题意知：分别取中点如图所示， = = ，所以 = ，所以 DO 与 OF 所成的角即为所成的角，设 AB2a，则 AA14a，ODB1 2 1 =6，OF AE=

16、1 2 1= 5a，DF= 2+ 2= 5a， 在三角形 ODF 中，余弦定理可得，cosFOD= 2+22 2 = (5+65)2 2562 = 30 10 ， 故选：D 7 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F，C 的条渐近线为 l，以 F 为圆心的圆与 l 相交于 M，N 两点，MFNF，O 为坐标原点， = （25） ， 则双曲线 C 的离心率的取值范围是（ ） A 5 2 ，2) B 5 2 ， 13 3 C 10 3 ， 13 3 D 10 3 ， 34 5 【解答】解：由题意做出图象，如图所示，由题意知 MFNF，且设 MFNFr， 第 9

17、页（共 18 页） 取 Q 为 MN 的中点， 结合MNF 为等腰直角三角形， 则 FQMN， FQNQMQ= 2 2 又在 RtOFQ 中， = = = 2. 10 9 2 2 13 9 = = 2 ( )， = + = 2 (+ ) 又 = （25） ， 2 (: ) = 2 (; )， 整理得： = + 2，5， 2 3 3 ，即4 2 92 2 92 4 2 9(2 2) 2 9(2 2) 10 9 2 2 13 9 10 9 2 13 9 10 3 13 3 故选：C 8 （5 分）从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 2，从两袋各 摸出一个球，则 2

18、 个球中恰有 1 个红球的概率是（ ） A5 6 B1 2 C2 3 D1 6 【解答】解：从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3， 从乙袋中摸出一个红球的概率是1 2， 从两袋各摸出一个球，则 2 个球中恰有 1 个红球的概率是： P= 1 3 1 2 + 2 3 1 2 = 1 2 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知向量 =（2cos2x，3） ， =（1，sin2x） ，设函数 f（x）= ，则下列关 于函数 yf（x）的性质描述不正确的是（ ） A关于直线 x= 12对称 B关于点（5 12，0）对称

19、C周期为 2 Dyf（x）在（ 3，0）上是增函数 【解答】解：() = 22 + 32 = 2 + 32 + 1 = 2(2 + 6) + 1， 第 10 页（共 18 页） 令2 + 6 = 2 + ， ，解得 = 6 + 2 ， ，若 = 12，则 = 1 6 ，故选 项 A 描述不正确； 令2 + 6 = ， ， 解得 = 2 12 ， ， 则函数 f （x） 关于点( 2 12 ，1)( )堆成，故选项 B 描述不正确； 函数 f（x）的周期为2 2 = ，故选项 C 描述不正确； 令 2 + 2 2 + 6 2 + 2， ，解得 3 + 6 + ， ，故函数 f （x）在( 3 ，

20、0)上是增函数，故选项 D 描述正确 故选：ABC 10 （5 分）已知函数() = 2 + (2 + 3)，则（ ） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于( 3 ，0)对称 Cf（x）的最大值为3 D曲线 yf（x）关于 = 6对称 【解答】解：() = 2 + (2 + 3) =sin2x+ 1 2sin2x+ 3 2 cos2x= 3sin（2x+ 6） ， 对于 A，由于 f（x）的最小正周期 T= 2 2 =，故正确； 对于 B，由于 f（ 3）= 3sin（2 3 + 6）= 3 2 0，故错误； 对于 C，由于 f（x）max= 3，故正确； 对于 D，由于 f（ 6

21、）= 3sin（2 6 + 6）= 3，故正确； 故选：ACD 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5， ，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一 列数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正 确的是（ ） Aa68 BS733 Ca1+a3+a5+a2019a2020 第 11 页（共 18 页） D1 2:22:20192 2019 = 2020 【解答】解：A由 a1a2，a3a4a2，a5a6a4，可得 a68 成立； B由 a1a2，a3a4a2，a5a6

22、a4，可得 a68，a713； s71+1+2+3+5+8+1333 成立； C由 a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a2019a2020a2018，可得：a1+a3+a5+ +a2019a2020 故 a1+a3+a5+a2019是斐波那契数列中的第 2020 项即答案 C 成立； D斐波那契数列总有 an+2an+1+an， 则1 2 = 21， 2 2 = 2(3 1) = 23 21， 3 2 = 3(4 2) = 34 23， ， 2018 2 = 2018(2019 2017) = 20182019 20172018， 2019 2 = 20192020 20192018； 1

23、 2 + 2 2 + 3 2 + + 2019 2 = 20192020；即答案 D 成立 故选：ABCD 12 （5 分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接 管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要 的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和 高均为 8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 3（细管长度忽略不计） 假设该 沙漏每秒钟漏下 0.02cm3的沙， 且细沙全部漏入下部后， 恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆 锥形沙堆以下结论正确的是（ ） A沙漏中的细沙体积为1024 81 cm

24、3 B沙漏的体积是 128cm3 C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4cm D该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒（ 3.14 ） 【解答】解：开始时沙漏上部分圆锥的高为 H= 2 3 6 = 16 3 ，底面半径为 r= 2 3 4 = 8 3， 第 12 页（共 18 页） V= 1 3 2 = 1024 81 ，A 对；B 错； 沙漏的一个沙时大约是 0.02 1985s，D 对； 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约 V= 1 3 4 2 ，H= 64 27 2.4，C 对； 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5

25、分）分） 13 （5 分）已知正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1，则 2xy 的最小值为 3+22 【解答】解：正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1， 2xyx+（xy）x+（xy）（2 + 1 ;）3+ + 2() 3 + 22， 当且仅当 ; = 2(;) 时取等号，此时取得最小值 3+22 故答案为：3+22 14 （5 分）已知 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（x） ；当 x（1，1）时， () = 2 + 2，(0 1) 2+ ，(10)则( ) + () + (2019 ) = 3 4 【解答】解：根据题意，设 0x1，则1x0，则有 f

26、（x）x2+2x，f（x） a（x）2+b（x）ax2bx， 又由 f（x）f（x） ，则有（x2+2x）（ax2bx） ， 则 a1，b2； 又由函数 f（x）满足 f（1+x）f（x） ，则有 f（x+2）f（x+1）f（x） ，即函数 f （x）是周期为 2 的周期函数， 则() + () + (2019 ) =f （log21） +f （1） +f （2019 2 ） f （0） +f （1） +f （1009+ 1 2） f （0） + （f（0） ）+f（1+ 1 2）f（ 1 2）= 3 4； 故答案为： 3 4 15（5 分） 已知 （x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1）

27、 +a2（x1） 2+a11 （x1） 11， 则 a1+a2+a3+ +a11的值为 2 【解答】 解： 已知(2+ 1)( 2)9= 0+ 1( 1) + 2( 1)2+ + 11( 1)11， 令 x1，可得 a02， 第 13 页（共 18 页） 再令 x2，可得 02+a1+a2+a11，求得 a1+a2+a112， 故答案为：2 16 （5 分）已知直线 ykx 与圆1：2+ 2 2 = 0及圆2：2+ 2 2 8 = 0从左到 右依次交于点 M，N，P，Q，且|MN|NP|PQ|，则|NP| 2 【解答】解：由题意，两个圆有共同的圆心（1，0） ， 由|MN|NP|PQ|可得|M

28、Q|3|NP|， 设|NP|m，则|MQ|3m， 设圆心（1，0）到直线 ykx 的距离为 d， 由两圆半径分别为 1，3， 可得2= 12 ( 2) 2 = 32 (3 2) 2， 解得，m2 （负值舍去） ， 所以|NP|2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知an是公比为 q（q0）的等比数列，bn是公差为 2 的等差数列，满足 a1b13，a3b13 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和为 Sn 【解答】解： （1）由题意，bnb1+（n1）d3+2（n1）2n+1， 则 a3b1

29、327，2= 3 1 = 27 3 = 9，得 q3（q0） = 1;1= 3； （2）cnanbn（2n+1） 3n = 3 31+ 5 32+ 7 33+ + (2 1) 3;1+ (2 + 1) 3， 3= 3 32+ 5 33+ + (2 1) 3+ (2 + 1) 3:1， 两式作差可得：2= 3 + 2(31+ 32+ 33+ + 3) (2 + 1) 3:1 = 3 + 2 3(13) 13 (2 + 1) 3:1= 2n3n+1 = 3:1 18 （12 分）在锐角ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知（2c2b）cosA acosBc （1）求证：b2

30、c； 第 14 页（共 18 页） （2）若 sinA= 15 4 ，a2，求ABC 的面积 【解答】 （1）证明：（2c2b）cosAacosBc 由正弦定理可得，2sinCcosA2sinBcosAsinAcosBsinCsinAcosBsinAcosB sinBcosA， 即 2sinCcosAsinBcosA0， A 为锐角，则 cosA0， 2sinCsinB， 由正弦定理可得 b2c， （2）由题意可得 cosA=1 15 16 = 1 4， 由余弦定理可得，2+ 2 2 1 4 = 4， 因为 b2c，解可得，b2，c1， 故ABC 的面积1 2 2 15 4 = 15 4 19

31、 （12 分）图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD= 3， =2 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1= 6，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED； （2）求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦 值 【解答】 （1）证明：如图所示，连接 AC 与 BE 相交于点 O，过点 B 作 BFEC 交 EC 于 点 F DC3，CE2ED，则 DE1，EC2 四边形 ABFD 为矩形，可得 BFAD= 3，FC1 BC= 2+ 2=2 BCF60BCE 是等边三角形 OC= 3，ECAB，ECAB2，OCEB 第 15 页

32、（共 18 页） 可得：OAOC= 3，OAEB OA2+1 2 =6= 1 2，OAOC1 又 OBOC1O，OA平面 BC1E 又 OA平面 ABED， 平面 BC1E平面 ABED （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系O（0，0，0） ，A（3，0，0） ，B（0，1，0） ， D（ 3 2 ， 3 2，0） ，C1（0，0，3） ， 1 =（3，0，3） ， =（ 3 2 ， 3 2，0） ，1 =（0，1，3） ， 设平面 AC1D 的法向量为： =（x，y，z） ，则 1 = =0， 3x+3z0， 3 2 x 3 2y0，取 =（3，1，3） 直线 BC1与平面 AC1D 所成

33、角的正弦值|cos ， 1 |= 4 27 = 27 7 20 （12 分）某校从 2011 年到 2018 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生（每位 学生只能参加“北约” ， “华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来 （为了方便 计算，将 2011 年编号为 1，2012 年编号为 2，依此类推） 年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 y 2 3 4 4 7 7 6 6 （1）据悉，该校 2018 年获得加分的 6 位同学中，有 1 位获得加 20 分，2 位获得加 15 分，3 位获得加 10 分，从该 6 位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为 X，

34、 求 X 的分布列及期望 （2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预 测该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数 （结果要求四舍五入 至个位） 第 16 页（共 18 页） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 【解答】解： （1）由题意，随机变量所有可能的值为 20，25，30，35 20）= 3 2 6 2 = 1 5，P（X25）= 3 1 2 1 6 2 = 2 5， P（X30）= 6 2+ 3 1 6 2 = 4 15，P（X35）= 2 1 6 2 = 2 15， X 20

35、25 30 35 P 1 5 2 5 4 15 2 15 E（X）= 20 1 5 + 25 2 5 + 30 4 15 + 35 2 15 = 80 3 ； （2）由表中的数据，得 = 6， = 6， 8 1 = 183， 8 1 2 = 190， 故 = 183566 190536 = 3 10， a= = 6 6 3 10 = 21 5 ， 故线性回归方程为 y0.3x+4.2， 当 x9 时，y0.39+4.26.9， 故该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数 7 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆

36、 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 【解答】解： （）由题意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 yk（x1） ， 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 第 17 页

37、（共 18 页） 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1） ， 同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 = 721 821， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2

38、 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 22 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx，g（x）a（x1） ，aR （1）求直线 yg（x）与曲线 yf（x）相切时，切点 T 的坐标； （2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）设切点坐标为（x0，y0） ，() = + 1 + 1， 则 0+ 1 0 + 1 = (0+ 1)0= (0 1) ，20 0+ 1 0 = 0 令() = 2 + 1 ，() = 22+1 2 0，h（x）在 （0， +）上单调递减， h（x）0 最多有一个实数根 又h（1）0，x01，此时 y00，

39、即切点 T 的坐标为（1，0） （2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，等价于 (1) +1 0对 x（0，1） 恒成立 令() = (1) +1 ，则() = 1 2 (+1)2 = 2+2(1)+1 (+1)2 ，h（1）0 当 a2，x（0，1）时，x2+2（1a）x+1x22x+10， h（x）0，h（x）在 x（0，1）上单调递增，因此 h（x）0 当 a2 时， 令 h （x） 0 得1= 1 ( 1)2 1，2= 1 + ( 1)2 1 第 18 页（共 18 页） 由 x21 与 x1x21 得，0x11 当 x（x1，1）时，h（x）0，h（x）单调递减， 当 x（x1，1）时，h（x）h（1）0，不符合