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1、第 1 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（23）一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i）（1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （） A1 B0 C1 D2 2 （5 分）已知集合 AxN|x1，Bx|x5，则 AB（） Ax|1x5 Bx|x1 C2，3，4 D1，2，3，4，5 3 （5 分）已知随机变量服从正态分布 N（1，2），若 P（4）0.9，则 P（2 1）（） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 4 （5 分

2、）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（） Aabc Bacb Cbac Dcba 5 （5 分）已知函数 f（x）= 7 2 ，0 2， 0 ，令函数() = () 3 2 ，若函数 g （x）有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是（） A( 9 16 ，) B （，0） C(，0) ( 9 16 ，) D(，0) 9 16， 6 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余弦值为（） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 7 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2

3、 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F，C 的条渐近线为 l，以 F 为圆心的圆与 l 相交于 M，N 两点，MFNF，O 为坐标原点， = （25），则双曲线 C 的离心率的取值范围是（） A 5 2 ，2) B 5 2 ， 13 3 C 10 3 ， 13 3 D 10 3 ， 34 5 8 （5 分）从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 2，从两袋各摸出一个球，则 2 个球中恰有 1 个红球的概率是（）第 2 页（共 18 页） A5 6 B1 2 C2 3 D1 6 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小

4、题 5 分）分） 9 （5 分）已知向量 =（2cos2x，3）， =（1，sin2x），设函数 f（x）= ，则下列关于函数 yf（x）的性质描述不正确的是（） A关于直线 x= 12对称 B关于点（5 12，0）对称 C周期为 2 Dyf（x）在（ 3，0）上是增函数 10 （5 分）已知函数() = 2 + (2 + 3)，则（） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于( 3 ，0)对称 Cf（x）的最大值为3 D曲线 yf（x）关于 = 6对称 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，，其中从第三项起，

5、每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（） Aa68 BS733 Ca1+a3+a5+a2019a2020 D1 2:22:20192 2019 = 2020 12 （5 分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 3（细管长度忽略不计）假设该沙漏

6、每秒钟漏下 0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆第 3 页（共 18 页）锥形沙堆以下结论正确的是（） A沙漏中的细沙体积为1024 81 cm3 B沙漏的体积是 128cm3 C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4cm D该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒（ 3.14 ）三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1，则 2xy 的最小值为 14 （5 分）已知 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（x）；当

7、 x（1，1）时， () = 2 + 2，(0 1) 2+ ，(10)则( ) + () + (2019 ) = 15（5 分）已知（x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1） +a2（x1） 2+a11 （x1） 11，则 a1+a2+a3+ +a11的值为 16 （5 分）已知直线 ykx 与圆1：2+ 2 2 = 0及圆2：2+ 2 2 8 = 0从左到右依次交于点 M，N，P，Q，且|MN|NP|PQ|，则|NP| 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知an是公比为 q（q0）的等比数列，bn是公差为 2 的等差数列，满足 a

8、1b13，a3b13 （1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和为 Sn 18 （12 分）在锐角ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知（2c2b）cosA acosBc （1）求证：b2c；（2）若 sinA= 15 4 ，a2，求ABC 的面积 19 （12 分）图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD= 3，第 4 页（共 18 页） =2 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1= 6，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED；（2）求直线BC

9、1与平面AC1D所成角的正弦值 20 （12 分）某校从 2011 年到 2018 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生（每位学生只能参加“北约” ， “华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来（为了方便计算，将 2011 年编号为 1，2012 年编号为 2，依此类推）年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 y 2 3 4 4 7 7 6 6 （1）据悉，该校 2018 年获得加分的 6 位同学中，有 1 位获得加 20 分，2 位获得加 15 分，3 位获得加 10 分，从该 6 位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为 X，求 X 的分布列及期望

10、（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预测该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数（结果要求四舍五入至个位）参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程；（）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 22 （12 分

11、）已知函数 f（x）（x+1）lnx，g（x）a（x1），aR （1）求直线 yg（x）与曲线 yf（x）相切时，切点 T 的坐标；第 5 页（共 18 页）（2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，求 a 的取值范围第 6 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（23）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 a 为实数，且复数 z（1i）（1+ai）在复平面内对应的点位于虚轴上，则 a （） A1 B0 C1 D2 【解答】解：

13、，得 P（4）P（2）0.1，则 P（21）= 1 2P（24）= 1 2 0.8 = 0.4 故选：C 4 （5 分）已知 = 3 1 2， = 23，clog92，则 a，b，c 的大小关系为（） Aabc Bacb Cbac Dcba 【解答】解； = 3 1 2（1，2）， = 2 3 22 = 1 2， 2 3 22 = 1， 1 2 1， clog92log93= 1 2，第 7 页（共 18 页）则 abc，故选：A 5 （5 分）已知函数 f（x）= 7 2 ，0 2， 0 ，令函数() = () 3 2 ，若函数 g （x）有两个不同零点，则实数 a 的取值范围是

14、（） A( 9 16 ，) B （，0） C(，0) ( 9 16 ，) D(，0) 9 16，【解答】解：令 F（x）f（x） 3 2 = 2 ，0 2 3 2 ， 0，当 x0 时，函数 F（x）2（lnx+1）1lnx，由 F（x）0 得 1lnx0 得 lnx1，得 0xe，由 F（x）0 得 1lnx0 得 lnx1，得 xe，当 x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大，即当 xe 时，函数 F（x）取得极大值，极大值为 F（e）2eelne2ee e，当 x0 时，() = 2 3 2 = ( + 3 4) 2 + 9 16，是二次函数，在轴处取得最大值 9

15、 16，作出函数 F（x）的图象如图：要使 F（x）a（a 为常数）有两个不相等的实根，则 a0 或 9 16 ，即若函数 g（x）有两个不同零点，实数 a 的取值范围是(，0) ( 9 16，)，故选：C 6 （5 分）正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 AD1与 B1D 所成角的余弦值为（）第 8 页（共 18 页） A 1 10 B 1 10 C 30 10 D 30 10 【解答】解由题意知：分别取中点如图所示， = = ，所以 = ，所以 DO 与 OF 所成的角即为所成的角，设 AB2a，则 AA14a，ODB1 2 1 =6，OF AE=

16、1 2 1= 5a，DF= 2+ 2= 5a，在三角形 ODF 中，余弦定理可得，cosFOD= 2+22 2 = (5+65)2 2562 = 30 10 ，故选：D 7 （5 分）设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右焦点为 F，C 的条渐近线为 l，以 F 为圆心的圆与 l 相交于 M，N 两点，MFNF，O 为坐标原点， = （25），则双曲线 C 的离心率的取值范围是（） A 5 2 ，2) B 5 2 ， 13 3 C 10 3 ， 13 3 D 10 3 ， 34 5 【解答】解：由题意做出图象，如图所示，由题意知 MFNF，且设 MFNFr，第 9

17、页（共 18 页）取 Q 为 MN 的中点，结合MNF 为等腰直角三角形，则 FQMN， FQNQMQ= 2 2 又在 RtOFQ 中， = = = 2. 10 9 2 2 13 9 = = 2 ( )， = + = 2 (+ ) 又 = （25）， 2 (: ) = 2 (; )，整理得： = + 2，5， 2 3 3 ，即4 2 92 2 92 4 2 9(2 2) 2 9(2 2) 10 9 2 2 13 9 10 9 2 13 9 10 3 13 3 故选：C 8 （5 分）从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是 1 2，从两袋各摸出一个球，则 2

18、个球中恰有 1 个红球的概率是（） A5 6 B1 2 C2 3 D1 6 【解答】解：从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3，从乙袋中摸出一个红球的概率是1 2，从两袋各摸出一个球，则 2 个球中恰有 1 个红球的概率是： P= 1 3 1 2 + 2 3 1 2 = 1 2 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）已知向量 =（2cos2x，3）， =（1，sin2x），设函数 f（x）= ，则下列关于函数 yf（x）的性质描述不正确的是（） A关于直线 x= 12对称 B关于点（5 12，0）对称

19、C周期为 2 Dyf（x）在（ 3，0）上是增函数【解答】解：() = 22 + 32 = 2 + 32 + 1 = 2(2 + 6) + 1，第 10 页（共 18 页）令2 + 6 = 2 + ，，解得 = 6 + 2 ，，若 = 12，则 = 1 6 ，故选项 A 描述不正确；令2 + 6 = ，，解得 = 2 12 ，，则函数 f （x）关于点( 2 12 ，1)( )堆成，故选项 B 描述不正确；函数 f（x）的周期为2 2 = ，故选项 C 描述不正确；令 2 + 2 2 + 6 2 + 2，，解得 3 + 6 + ，，故函数 f （x）在( 3 ，

20、0)上是增函数，故选项 D 描述正确故选：ABC 10 （5 分）已知函数() = 2 + (2 + 3)，则（） Af（x）的最小正周期为 B曲线 yf（x）关于( 3 ，0)对称 Cf（x）的最大值为3 D曲线 yf（x）关于 = 6对称【解答】解：() = 2 + (2 + 3) =sin2x+ 1 2sin2x+ 3 2 cos2x= 3sin（2x+ 6），对于 A，由于 f（x）的最小正周期 T= 2 2 =，故正确；对于 B，由于 f（ 3）= 3sin（2 3 + 6）= 3 2 0，故错误；对于 C，由于 f（x）max= 3，故正确；对于 D，由于 f（ 6

21、）= 3sin（2 6 + 6）= 3，故正确；故选：ACD 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列” ，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（） Aa68 BS733 Ca1+a3+a5+a2019a2020 第 11 页（共 18 页） D1 2:22:20192 2019 = 2020 【解答】解：A由 a1a2，a3a4a2，a5a6a4，可得 a68 成立； B由 a1a2，a3a4a2，a5a6

22、a4，可得 a68，a713； s71+1+2+3+5+8+1333 成立； C由 a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a2019a2020a2018，可得：a1+a3+a5+ +a2019a2020 故 a1+a3+a5+a2019是斐波那契数列中的第 2020 项即答案 C 成立； D斐波那契数列总有 an+2an+1+an，则1 2 = 21， 2 2 = 2(3 1) = 23 21， 3 2 = 3(4 2) = 34 23，， 2018 2 = 2018(2019 2017) = 20182019 20172018， 2019 2 = 20192020 20192018； 1

23、 2 + 2 2 + 3 2 + + 2019 2 = 20192020；即答案 D 成立故选：ABCD 12 （5 分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2 3（细管长度忽略不计）假设该沙漏每秒钟漏下 0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是（） A沙漏中的细沙体积为1024 81 cm

24、3 B沙漏的体积是 128cm3 C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4cm D该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒（ 3.14 ）【解答】解：开始时沙漏上部分圆锥的高为 H= 2 3 6 = 16 3 ，底面半径为 r= 2 3 4 = 8 3，第 12 页（共 18 页） V= 1 3 2 = 1024 81 ，A 对；B 错；沙漏的一个沙时大约是 0.02 1985s，D 对；细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约 V= 1 3 4 2 ，H= 64 27 2.4，C 对；故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5

25、分）分） 13 （5 分）已知正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1，则 2xy 的最小值为 3+22 【解答】解：正实数 x，y 满足 xy，且2 + 1 ; =1， 2xyx+（xy）x+（xy）（2 + 1 ;）3+ + 2() 3 + 22，当且仅当 ; = 2(;) 时取等号，此时取得最小值 3+22 故答案为：3+22 14 （5 分）已知 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（x）；当 x（1，1）时， () = 2 + 2，(0 1) 2+ ，(10)则( ) + () + (2019 ) = 3 4 【解答】解：根据题意，设 0x1，则1x0，则有 f

26、（x）x2+2x，f（x） a（x）2+b（x）ax2bx，又由 f（x）f（x），则有（x2+2x）（ax2bx），则 a1，b2；又由函数 f（x）满足 f（1+x）f（x），则有 f（x+2）f（x+1）f（x），即函数 f （x）是周期为 2 的周期函数，则() + () + (2019 ) =f （log21） +f （1） +f （2019 2 ） f （0） +f （1） +f （1009+ 1 2） f （0） + （f（0））+f（1+ 1 2）f（ 1 2）= 3 4；故答案为： 3 4 15（5 分）已知（x2+1）（x2） 9a0+a1 （x1）

27、 +a2（x1） 2+a11 （x1） 11，则 a1+a2+a3+ +a11的值为 2 【解答】解：已知(2+ 1)( 2)9= 0+ 1( 1) + 2( 1)2+ + 11( 1)11，令 x1，可得 a02，第 13 页（共 18 页）再令 x2，可得 02+a1+a2+a11，求得 a1+a2+a112，故答案为：2 16 （5 分）已知直线 ykx 与圆1：2+ 2 2 = 0及圆2：2+ 2 2 8 = 0从左到右依次交于点 M，N，P，Q，且|MN|NP|PQ|，则|NP| 2 【解答】解：由题意，两个圆有共同的圆心（1，0），由|MN|NP|PQ|可得|M

28、Q|3|NP|，设|NP|m，则|MQ|3m，设圆心（1，0）到直线 ykx 的距离为 d，由两圆半径分别为 1，3，可得2= 12 ( 2) 2 = 32 (3 2) 2，解得，m2 （负值舍去），所以|NP|2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知an是公比为 q（q0）的等比数列，bn是公差为 2 的等差数列，满足 a1b13，a3b13 （1）求数列an和bn的通项公式；（2）若数列 cnanbn，求数列cn的前 n 项和为 Sn 【解答】解：（1）由题意，bnb1+（n1）d3+2（n1）2n+1，则 a3b1

29、327，2= 3 1 = 27 3 = 9，得 q3（q0） = 1;1= 3；（2）cnanbn（2n+1） 3n = 3 31+ 5 32+ 7 33+ + (2 1) 3;1+ (2 + 1) 3， 3= 3 32+ 5 33+ + (2 1) 3+ (2 + 1) 3:1，两式作差可得：2= 3 + 2(31+ 32+ 33+ + 3) (2 + 1) 3:1 = 3 + 2 3(13) 13 (2 + 1) 3:1= 2n3n+1 = 3:1 18 （12 分）在锐角ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知（2c2b）cosA acosBc （1）求证：b2

30、c；第 14 页（共 18 页）（2）若 sinA= 15 4 ，a2，求ABC 的面积【解答】（1）证明：（2c2b）cosAacosBc 由正弦定理可得，2sinCcosA2sinBcosAsinAcosBsinCsinAcosBsinAcosB sinBcosA，即 2sinCcosAsinBcosA0， A 为锐角，则 cosA0， 2sinCsinB，由正弦定理可得 b2c，（2）由题意可得 cosA=1 15 16 = 1 4，由余弦定理可得，2+ 2 2 1 4 = 4，因为 b2c，解可得，b2，c1，故ABC 的面积1 2 2 15 4 = 15 4 19

31、（12 分）图 1 是直角梯形 ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD= 3， =2 以 BE 为折痕将BCE 折起，使点 C 到达 C1的位置，且 AC1= 6，如图 2 （1）证明：平面 BC1E平面 ABED；（2）求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值【解答】（1）证明：如图所示，连接 AC 与 BE 相交于点 O，过点 B 作 BFEC 交 EC 于点 F DC3，CE2ED，则 DE1，EC2 四边形 ABFD 为矩形，可得 BFAD= 3，FC1 BC= 2+ 2=2 BCF60BCE 是等边三角形 OC= 3，ECAB，ECAB2，OCEB 第 15 页

32、（共 18 页）可得：OAOC= 3，OAEB OA2+1 2 =6= 1 2，OAOC1 又 OBOC1O，OA平面 BC1E 又 OA平面 ABED，平面 BC1E平面 ABED （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系O（0，0，0），A（3，0，0），B（0，1，0）， D（ 3 2 ， 3 2，0），C1（0，0，3）， 1 =（3，0，3）， =（ 3 2 ， 3 2，0），1 =（0，1，3），设平面 AC1D 的法向量为： =（x，y，z），则 1 = =0， 3x+3z0， 3 2 x 3 2y0，取 =（3，1，3）直线 BC1与平面 AC1D 所成

33、角的正弦值|cos ， 1 |= 4 27 = 27 7 20 （12 分）某校从 2011 年到 2018 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生（每位学生只能参加“北约” ， “华约”一种考试）人数可以通过以下表格反映出来（为了方便计算，将 2011 年编号为 1，2012 年编号为 2，依此类推）年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 人数 y 2 3 4 4 7 7 6 6 （1）据悉，该校 2018 年获得加分的 6 位同学中，有 1 位获得加 20 分，2 位获得加 15 分，3 位获得加 10 分，从该 6 位同学中任取两位，记该两位同学获得的加分之和为 X，

34、求 X 的分布列及期望（2）根据最近五年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预测该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数（结果要求四舍五入至个位）第 16 页（共 18 页）参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 【解答】解：（1）由题意，随机变量所有可能的值为 20，25，30，35 20）= 3 2 6 2 = 1 5，P（X25）= 3 1 2 1 6 2 = 2 5， P（X30）= 6 2+ 3 1 6 2 = 4 15，P（X35）= 2 1 6 2 = 2 15， X 20

35、25 30 35 P 1 5 2 5 4 15 2 15 E（X）= 20 1 5 + 25 2 5 + 30 4 15 + 35 2 15 = 80 3 ；（2）由表中的数据，得 = 6， = 6， 8 1 = 183， 8 1 2 = 190，故 = 183566 190536 = 3 10， a= = 6 6 3 10 = 21 5 ，故线性回归方程为 y0.3x+4.2，当 x9 时，y0.39+4.26.9，故该校 2019 年参加“北约” ， “华约”考试而获得加分的学生人数 7 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆

36、 C 的方程；（）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围【解答】解：（）由题意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1；（）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 yk（x1），直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 第 17 页

37、（共 18 页）由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1，直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1），同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ，将代入并化简得：1 1 = 721 821，依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0，解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2

38、 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 22 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）lnx，g（x）a（x1），aR （1）求直线 yg（x）与曲线 yf（x）相切时，切点 T 的坐标；（2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，求 a 的取值范围【解答】解：（1）设切点坐标为（x0，y0），() = + 1 + 1，则 0+ 1 0 + 1 = (0+ 1)0= (0 1) ，20 0+ 1 0 = 0 令() = 2 + 1 ，() = 22+1 2 0，h（x）在（0， +）上单调递减， h（x）0 最多有一个实数根又h（1）0，x01，此时 y00，

39、即切点 T 的坐标为（1，0）（2）当 x（0，1）时，g（x）f（x）恒成立，等价于 (1) +1 0对 x（0，1）恒成立令() = (1) +1 ，则() = 1 2 (+1)2 = 2+2(1)+1 (+1)2 ，h（1）0 当 a2，x（0，1）时，x2+2（1a）x+1x22x+10， h（x）0，h（x）在 x（0，1）上单调递增，因此 h（x）0 当 a2 时，令 h （x） 0 得1= 1 ( 1)2 1，2= 1 + ( 1)2 1 第 18 页（共 18 页）由 x21 与 x1x21 得，0x11 当 x（x1，1）时，h（x）0，h（x）单调递减，当 x（x1，1）时，h（x）h（1）0，不符合

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