2020年山东省泰安市中考数学模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 26 页） 2020 年山东省泰安市中考数学模拟试卷（年山东省泰安市中考数学模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）下列计算中正确的是（ ） A3a2+2a25a4 B （2a）2a24 C （2a2）32a6 Da（ab+1）a2ab 2 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2m3+3m25m5 Bm3（m）2m Cm （m2）3m6 D （m+n） （nm）m2n2 3 （4 分）把数 3160000 用科学记数法表示成 3.1610n，则正整数 n 为（ ） A4 B5 C6 D7 4

2、 （4 分）一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ） A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2 5 （4 分）抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ybx+b24ac 与反比例函 数 y= (+)(+) 在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D 6 （4 分）已知|a|2，|b|3，则|ab|5 的概率为（ ） A0 B1 2 C1 3 D1 4 第 2 页（共 26 页） 7 （4 分）关于 x 的分式方程;2 4; + 6 ;4 = 3 的解为正数，且关于 x 的不等式组 1 + 2 7 2 有解，则满足上述要求的所有

3、整数 a 的绝对值之和为（ ） A12 B14 C16 D18 8 （4 分）我校图书馆三月份借出图书 70 本，计划四、五月份共借出图书 220 本，设四、 五月份借出的图书每月平均增长率为 x，则根据题意列出的方程是（ ） A70（1+x）2220 B70（1+x）+70（1+x）2220 C70（1x）2220 D70+70（1+x）+70（1+x）2220 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为（ ） A43 + B23 + C23 + 4 3 D43 + 4 3 10 （4 分）下列命题正确

4、的是（ ） A三点确定一个圆 B等弧所对的圆心角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D圆心角相等，所对的弦也相等 11 （4 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0； 2a+b0；4a2b+c0；a+b+2c0，其中正确结论的个数为（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 12 （4 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点，AECF 于点 第 3 页（共 26 页） H，AD3，DC4，DE= 5 2，EDF90，则 DF 长是（ ） A15 8 B11 3 C10 3 D16 5 二填空题（共二填空题（共 6 小

5、题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）计算：4cos608 3 +（3）0 14 （4 分）若 tan（15）= 3，则锐角 的度数是 15 （4 分）点 P（a，b）是直线 yx2 上一点，则代数式 a22ab+b21 的值为 16 （4 分）在正方形 ABCD 中，CD2，若点 P 满足 PD= 2，且BPD90，则点 A 到 BP 的距离为 17 （4 分）使式子 1 2+3有意义的实数 x 的取值是 18 （4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC9，将矩形纸片 ABCD 折叠，使 C 与 点 A 重合，则折痕 EF 的长为 三解答题（

6、共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，后求值 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1，其中 x 是方程 x 2+2x30 的解 20 （10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y= 9 （x0）的图象上，过点 A 作 ACx 轴， 第 4 页（共 26 页） 垂足是 C，ACOC一次函数 ykx+b 的图象经过点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B （1）求点 A 的坐标； （2）若四边形 ABOC 的面积是15 2 ，求一次函数 ykx+b 的表达式 21 （10 分）为了解学生对传统节目的喜爱情况，某学校随机抽取了部分学生进行调查，被 调查的学

7、生必须从我是演说家 （记为 A） 、 中国诗词大会 （记为 B） 、 朗读者 （记 为 C）中选择自己最喜爱的一个栏目， 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统 计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将统计图补充完整，并求出扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数； （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从 这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 22 （12 分） 如图， AB 为O 的直径， C 为O 上一点， 连接 CB， 过 C 作 CDA

8、B 于点 D， 过 C 作BCE，使BCEBCD，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）如图 2，点 F 在O 上，且满足FCE2ABC，连接 AF 并延长交 EC 的延长线 于点 G 第 5 页（共 26 页） ）试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系； ）若 CD4，tanBCE= 1 2，求线段 FG 的长 23 （10 分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多 15 元，王老师从该网店购买了 2 筒甲种羽毛球和 3 筒乙种羽毛球，共花费 255 元 （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）

9、根据消费者需求，该网店决定用不超过 8780 元购进甲、乙两种羽毛球共 200 筒， 且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3 5，已知甲种羽毛球每筒的进价为 50 元，乙 种羽毛球每筒的进价为 40 元 若设购进甲种羽毛球 m 筒，则该网店有哪几种进货方案？ 若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润 W（元）与甲种羽毛球进货量 m （筒）之间的函数关系式，并说明当 m 为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 24 （14 分）如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为 （6，0） 抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 经过点 A、C，与

10、AB 交于点 D （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ CP，连接 PQ，设 CPm，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式； 当 S 最大时，在抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角 三角形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 26 页） 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF90，EF 交正 方形外角的平分线 CF 于 F，连接 AC、AF、DF，求

11、证： （1）AEEF； （2）ABEACF； （3）DFC 是等腰直角三角形 第 7 页（共 26 页） 2020 年山东省泰安市中考数学模拟试卷（年山东省泰安市中考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）下列计算中正确的是（ ） A3a2+2a25a4 B （2a）2a24 C （2a2）32a6 Da（ab+1）a2ab 【解答】解：A、原式5a2，不符合题意； B、原式4，符合题意； C、原式8a6，不符合题意； D、原式a2ab+a，不符合题意， 故选：B 2

12、 （4 分）下列运算正确的是（ ） A2m3+3m25m5 Bm3（m）2m Cm （m2）3m6 D （m+n） （nm）m2n2 【解答】解：A2m3与 3m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Bm3（m）2m，正确； Cm （m2）3m7，故本选项不合题意； D （m+n） （nm）n2m2，故本选项不合题意 故选：B 3 （4 分）把数 3160000 用科学记数法表示成 3.1610n，则正整数 n 为（ ） A4 B5 C6 D7 【解答】解：31600003.16106， 所以正整数 n 为 6， 故选：C 4 （4 分）一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形，

13、则这个圆锥的侧面积等于（ ） A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2 【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 2， 所以这个圆锥的侧面积= 1 2 4228（cm2） 故选：C 第 8 页（共 26 页） 5 （4 分）抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ybx+b24ac 与反比例函 数 y= (+)(+) 在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：二次函数图象开口向上， a0， 对称轴为直线 x= 20， b0， 当 x1 时，ab+c0，当 x1 时，ab+c0， （a+b+c） （ab+c）0， 抛物线与 x 轴有

14、两个交点， b24ac0， 一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限 故选：D 6 （4 分）已知|a|2，|b|3，则|ab|5 的概率为（ ） A0 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解：|a|2，|b|3， a2，b3， 第 9 页（共 26 页） 有|ab|1，|ab|5，|ab|1，|ab|5 四种情况， |ab|5 的概率为2 4 = 1 2 故选：B 7 （4 分）关于 x 的分式方程;2 4; + 6 ;4 = 3 的解为正数，且关于 x 的不等式组 1 + 2 7 2 有解，则满足上述要求的所有整数 a 的绝对值之和为（ ） A12 B14 C16

15、D18 【解答】解：解分式方程得 x= 4 3， 因为分式方程的解为正数， 所以 4 3; 0 且 4 3; 4， 解得：a3 且 a2， 解不等式: 2 x 7 2，得：xa+7， 不等式组有解， a+71， 解得：a6， 综上，6a3，且 a2， 则满足上述要求的所有整数 a 绝对值之和为 5+4+3+2+1+0+116， 故选：C 8 （4 分）我校图书馆三月份借出图书 70 本，计划四、五月份共借出图书 220 本，设四、 五月份借出的图书每月平均增长率为 x，则根据题意列出的方程是（ ） A70（1+x）2220 B70（1+x）+70（1+x）2220 C70（1x）2220 D7

16、0+70（1+x）+70（1+x）2220 【解答】解：四月份共借出图书量为 70（1+x） ，五月份共借出图书量为 70（1+x） （1+x） ，那么 70（1+x）+70（1+x）2220 故选：B 9 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 第 10 页（共 26 页） ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为（ ） A43 + B23 + C23 + 4 3 D43 + 4 3 【解答】解：在菱形 ABCD 中，已知 AB4，B60，以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交， EAO60，OCF60，OAOEOFOCOGOH2， EO

17、FFOCCOGGOHHOAAOE60， 阴影部分的面积为：2260 2 4 + 6022 360 2 =43 + 4 3 ， 故选：D 10 （4 分）下列命题正确的是（ ） A三点确定一个圆 B等弧所对的圆心角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D圆心角相等，所对的弦也相等 【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，是假命题； B、弧相等，则弧所对的圆心角相等，是真命题； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是假命题； D、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等，是假命题； 故选：B 11 （4 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0； 2a+b0；4a2

18、b+c0；a+b+2c0，其中正确结论的个数为（ ） 第 11 页（共 26 页） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：抛物线开口向下，与 y 轴的交点在 x 轴上方， a0，c0， 0 21， b0，且 b2a， abc0，2a+b0， 故不正确，正确， 当 x2 时，y0，当 x1 时，y0， 4a2b+c0，a+b+c0， a+b+2c0，故都正确， 综上可知正确的有， 故选：B 12 （4 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点，AECF 于点 H，AD3，DC4，DE= 5 2，EDF90，则 DF 长是（ ） A15 8 B1

19、1 3 C10 3 D16 5 【解答】解：设 DF 和 AE 相交于 O 点， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， EDF90， 第 12 页（共 26 页） ADC+FDAEDF+FDA， 即FDCADE， AECF 于点 H， F+FOH90， E+EOD90，FOHEOD， FE， ADECDF， AD：CDDE：DF， AD3，DC4，DE= 5 2， DF= 10 3 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）计算：4cos608 3 +（3）0 1 【解答】解：原式4 1 2 2+122+11，

20、故答案为：1 14 （4 分）若 tan（15）= 3，则锐角 的度数是 75 【解答】解：tan（15）= 3， 1560， 75 故答案为：75 15 （4 分）点 P（a，b）是直线 yx2 上一点，则代数式 a22ab+b21 的值为 3 【解答】解：点（a，b）在一次函数 yx2 上， ba2，即 ab2， 第 13 页（共 26 页） 原式（ab）21221413 故答案为：3 16 （4 分）在正方形 ABCD 中，CD2，若点 P 满足 PD= 2，且BPD90，则点 A 到 BP 的距离为 6;2 2 或6:2 2 【解答】解：点 P 满足 PD= 2， 点 P 在以 D 为

21、圆心，2为半径的圆上， BPD90， 点 P 在以 BD 为直径的圆上， 如图，点 P 是两圆的交点， 若点 P 在 AD 上方，连接 AP，过点 A 作 AHBP， CD2BC，BCD90 BD22， BPD90 BP= 2 2= 6， BPD90BAD 点 A，点 B，点 D，点 P 四点共圆 APBADB45，且 AHBP HAPAPH45 AHHP 第 14 页（共 26 页） 在 RtAHB 中，AB2AH2+BH2， 4AH2+（6 AH）2， AH= 6+2 2 （不合题意） ，或 AH= 62 2 若点 P 在 CD 的右侧， 同理可得 AH= 6+2 2 综上所述：点 A 到

22、 BP 的距离为：6;2 2 或6:2 2 故答案为：6;2 2 或6:2 2 17 （4 分）使式子 1 2+3有意义的实数 x 的取值是 x 3 2 【解答】解：二次根式 1 2+3在实数范围内有意义， 2x+30， 解得：x 3 2 故答案为：x 3 2 18 （4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC9，将矩形纸片 ABCD 折叠，使 C 与 点 A 重合，则折痕 EF 的长为 213 【解答】解：连接 AC 交 EF 于点 O，由折叠可知，EF 垂直平分 AC， 易证 RtAOERtCOF， OEOF， 在 RtABC 中，AC= 2+ 2= 36 + 81 =313 OA

23、OC= 313 2 ， 设 AEx，则 EGED（9x） ， 在 RtAGE 中，由勾股定理得： 62+（9x）2x2，解得：x= 13 2 第 15 页（共 26 页） 在 RtAOE 中，OE= 2 2= 13 EF2OE213 故答案为：213 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （8 分）先化简，后求值 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1，其中 x 是方程 x 2+2x30 的解 【解答】解： 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1 = (1)2 (+1)(1) +1 (1) 1 +1 = 1 1 +1 = +1 (+1) = 1 (+1)

24、， 由 x2+2x30 得 x13，x21， 当 x1 时原分式无意义， 当 x3 时，原式= 1 (3)(3+1) = 1 6 20 （10 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y= 9 （x0）的图象上，过点 A 作 ACx 轴， 垂足是 C，ACOC一次函数 ykx+b 的图象经过点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B （1）求点 A 的坐标； （2）若四边形 ABOC 的面积是15 2 ，求一次函数 ykx+b 的表达式 第 16 页（共 26 页） 【解答】解： （1）点 A 在反比例函数 y= 9 （x0）的图象上，ACx 轴，ACOC， ACOC9， ACOC3， 点 A 的坐标为

25、（3，3） ； （2）四边形 ABOC 的面积是15 2 ， （OB+3）32= 15 2 ， 解得 OB2， 点 B 的坐标为（0，2） ， 依题意有 = 2 3 + = 3， 解得 = 1 3 = 2 故一次函数 ykx+b 的表达式为 y= 1 3x+2 21 （10 分）为了解学生对传统节目的喜爱情况，某学校随机抽取了部分学生进行调查，被 调查的学生必须从我是演说家 （记为 A） 、 中国诗词大会 （记为 B） 、 朗读者 （记 为 C）中选择自己最喜爱的一个栏目， 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统 计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？

26、 （2）将统计图补充完整，并求出扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数； （3）张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中 A 类 1 人，B 类 2 人，C 类 1 人，若再从 这 4 人中随机抽取 2 人，请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 第 17 页（共 26 页） 【解答】解： （1）全班学生总人数为 1025%40（人） ； （2）C 类人数为 40（10+24）6， C 类所占百分比为 6 40 100%15%， B 类百分比为24 40 100%60%， C 所在扇形圆心角的度数36015%54； 补全图形如下： （3）列表如下： A B B C A BA BA CA

27、 B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中全是 B 类的有 2 种情况， 所以全是 B 类学生的概率= 2 12 = 1 6 22 （12 分） 如图， AB 为O 的直径， C 为O 上一点， 连接 CB， 过 C 作 CDAB 于点 D， 过 C 作BCE，使BCEBCD，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； 第 18 页（共 26 页） （2）如图 2，点 F 在O 上，且满足FCE2ABC，连接 AF 并延长交 EC 的延长线 于点 G ）试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系

28、； ）若 CD4，tanBCE= 1 2，求线段 FG 的长 【解答】 （本小题满分 10 分） （1）证明：如图 1，连接 OC， OBOC， OBCOCB， （1 分） CDAB， OBC+BCD90， （2 分） BCEBCD， OCB+BCE90，即 OCCE， CE 是O 的切线； （3 分） （2）解：i）线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系是：CF2CD， （4 分） 理由如下： 如图 2，过 O 作 OHCF 于点 H， CF2CH， FCE2ABC2OCB，且BCDBCE， OCHOCD， OC 为公共边， COHCOD（AAS） ， CHCD， CF2CD； （6 分）

29、 ii）BCDBCE，tanBCE= 1 2， 第 19 页（共 26 页） tanBCD= 1 2 CD4， BDCDtan12， BC= 2+ 2=25， 由 i）得：CF2CD8， 设 OCOBx，则 ODx2， 在 RtODC 中，OC2OD2+CD2， x2（x2）2+42， 解得：x5，即 OB5， OCGE， OCF+FCG90， OCD+COD90，FCOOCD， GCFCOB， 四边形 ABCF 为O 的内接四边形， GFCABC， GFCCBO， = ， 25 = 8 5， FG= 165 5 （10 分） 第 20 页（共 26 页） 23 （10 分）某网店销售甲、乙两

30、种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多 15 元，王老师从该网店购买了 2 筒甲种羽毛球和 3 筒乙种羽毛球，共花费 255 元 （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过 8780 元购进甲、乙两种羽毛球共 200 筒， 且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3 5，已知甲种羽毛球每筒的进价为 50 元，乙 种羽毛球每筒的进价为 40 元 若设购进甲种羽毛球 m 筒，则该网店有哪几种进货方案？ 若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润 W（元）与甲种羽毛球进货量 m （筒）之间的函数关系式，并说明当 m 为何值时所获利润最大？

31、最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设甲种羽毛球每筒的售价为 x 元，乙种羽毛球每筒的售价为 y 元， 根据题意可得 = 15 2 + 3 = 255，解得 = 60 = 45， 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为 60 元，乙种羽毛球每筒的售价为 45 元； （2）若购进甲种羽毛球 m 筒，则乙种羽毛球为（200m）筒， 根据题意可得 50 + 40(200 ) 8780 3 5 (200 ) ，解得 75m78， m 为整数， m 的值为 76、77、78， 进货方案有 3 种，分别为： 方案一，购进甲种羽毛球 76 筒，乙种羽毛球为 124 筒， 方案二，购进甲种羽毛球 77 筒，乙种羽

32、毛球为 123 筒， 方案一，购进甲种羽毛球 78 筒，乙种羽毛球为 122 筒； 根据题意可得 W（6050）m+（4540） （200m）5m+1000， 50， 第 21 页（共 26 页） W 随 m 的增大而增大，且 75m78， 当 m78 时，W 最大，W 最大值为 1390， 答：当 m78 时，所获利润最大，最大利润为 1390 元 24 （14 分）如图，在矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为 （6，0） 抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 经过点 A、C，与 AB 交于点 D （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 P 为线

33、段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ CP，连接 PQ，设 CPm，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式； 当 S 最大时，在抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 的对称轴 l 上，若存在点 F，使DFQ 为直角 三角形，请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线，得 = 8 4 9 36 + 6 + = 0， 解得： = 4 3 = 8 ， 抛物线的解析式为 y= 4 9x 2+4 3x+8； （2）OA8，OC6， AC= 2+ 2=10， 过点 Q 作 QE

34、BC 与 E 点，则 sinACB= = = 3 5， 10; = 3 5， 第 22 页（共 26 页） QE= 3 5（10m） ， S= 1 2CPQE= 1 2m 3 5（10m）= 3 10m 2+3m； S= 1 2CPQE= 1 2m 3 5（10m）= 3 10m 2+3m= 3 10（m5） 2+15 2 ， 当 m5 时，S 取最大值； 在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形， 抛物线的解析式为 y= 4 9x 2+4 3x+8 的对称轴为 x= 3 2， D 的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ， 当FDQ90时，F1（3 2，8） ， 当FQD90时，

35、则 F2（3 2，4） ， 当DFQ90时，设 F（3 2，n） ， 则 FD2+FQ2DQ2， 即9 4 +（8n）2+ 9 4 +（n4）216， 解得：n6 7 2 ， F3（3 2，6+ 7 2 ） ，F4（3 2，6 7 2 ） ， 满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为 F1（3 2，8） ，F2（ 3 2，4） ，F3（ 3 2，6+ 7 2 ） ，F4（3 2，6 7 2 ） 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 的中点，AEF90，EF 交正 方形外角的平分线 CF 于 F，连接 AC、AF、DF，求证： （1）AEEF； 第 23 页（共 2

36、6 页） （2）ABEACF； （3）DFC 是等腰直角三角形 【解答】证明： （1）如图（1） ， 取 AB 中点 M，连接 ME， 则 AMBMBECE= 1 2正方形边长， 在 RtBME 中，BMEBEM45， AME135，1+245 AEF90， 1+345 23 CF 是正方形外角的平分线， DCF= 1 2 9045， ECF90+45AME 在AME 和ECF 中， 2 =3 = = AMEECF（ASA） AEEF 第 24 页（共 26 页） （2）如图（1） ， AEF90，AEEF， AEF 是等腰直角三角形， EAF45，即4+545 AC 为正方形 ABCD 的对

37、角线， BAC45，即2+545， 24 DCFDCA= 1 2 9045， ACF45+4590B， ABEACF （3） （法一）如图（2） ， 设正方形 ABCD 边长为 2a，则 BEa，AEEF= 5a AEF 是等腰直角三角形， AF= 2AE= 10a 过 F 作 FNBC 的延长线于 N， 则FNE90B 又由（1）知，32，EFAE， 在FNE 和EBA 中， = 3 = 2 = ， FNEEBA（AAS） ， FNBEa FCN 是等腰直角三角形， 第 25 页（共 26 页） CF= 2FN= 2a， = = 10 2 1+345，4+545，324， 51， 易证四边形 FNCP 为矩形（正方形） ， ADFFCE135， ADFFCE135， FDC45DCF， DFC 是等腰直角三角形 （法二）如图（3） ，过 F 分别作 FNBC 的延长线于 N，FPCD 于 P， 则FNE90B 由（1）知，32，EFAE， 在FNE 和EBA 中， = 3 = 2 = FNEEBA（AAS） ， FNBE= 1 2BC= 1 2CD 易证四边形 FNCP 为矩形（正方形） ， 则 CPFN= 1 2CD， FP 垂直平分 CD， FDFC DCF= 1 2 9045， 第 26 页（共 26 页） FDCDCF45， DFC 是等腰直角三角形