1、 第 1 页(共 26 页) 2020 年山东省泰安市中考数学模拟试卷(年山东省泰安市中考数学模拟试卷(3) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 48 分,每小题分,每小题 4 分)分) 1 (4 分)下列计算中正确的是( ) A3a2+2a25a4 B (2a)2a24 C (2a2)32a6 Da(ab+1)a2ab 2 (4 分)下列运算正确的是( ) A2m3+3m25m5 Bm3(m)2m Cm (m2)3m6 D (m+n) (nm)m2n2 3 (4 分)把数 3160000 用科学记数法表示成 3.1610n,则正整数 n 为( ) A4 B5 C6 D7 4
2、 (4 分)一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形,则这个圆锥的侧面积等于( ) A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2 5 (4 分)抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示,那么一次函数 ybx+b24ac 与反比例函 数 y= (+)(+) 在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 6 (4 分)已知|a|2,|b|3,则|ab|5 的概率为( ) A0 B1 2 C1 3 D1 4 第 2 页(共 26 页) 7 (4 分)关于 x 的分式方程;2 4; + 6 ;4 = 3 的解为正数,且关于 x 的不等式组 1 + 2 7 2 有解,则满足上述要求的所有
3、整数 a 的绝对值之和为( ) A12 B14 C16 D18 8 (4 分)我校图书馆三月份借出图书 70 本,计划四、五月份共借出图书 220 本,设四、 五月份借出的图书每月平均增长率为 x,则根据题意列出的方程是( ) A70(1+x)2220 B70(1+x)+70(1+x)2220 C70(1x)2220 D70+70(1+x)+70(1+x)2220 9 (4 分)如图,在菱形 ABCD 中,已知 AB4,B60,以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交,则图中阴影部分的面积为( ) A43 + B23 + C23 + 4 3 D43 + 4 3 10 (4 分)下列命题正确
4、的是( ) A三点确定一个圆 B等弧所对的圆心角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D圆心角相等,所对的弦也相等 11 (4 分)已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:abc0; 2a+b0;4a2b+c0;a+b+2c0,其中正确结论的个数为( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 12 (4 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点,AECF 于点 第 3 页(共 26 页) H,AD3,DC4,DE= 5 2,EDF90,则 DF 长是( ) A15 8 B11 3 C10 3 D16 5 二填空题(共二填空题(共 6 小
5、题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 4 分)分) 13 (4 分)计算:4cos608 3 +(3)0 14 (4 分)若 tan(15)= 3,则锐角 的度数是 15 (4 分)点 P(a,b)是直线 yx2 上一点,则代数式 a22ab+b21 的值为 16 (4 分)在正方形 ABCD 中,CD2,若点 P 满足 PD= 2,且BPD90,则点 A 到 BP 的距离为 17 (4 分)使式子 1 2+3有意义的实数 x 的取值是 18 (4 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB6,BC9,将矩形纸片 ABCD 折叠,使 C 与 点 A 重合,则折痕 EF 的长为 三解答题(
6、共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 78 分)分) 19 (8 分)先化简,后求值 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1,其中 x 是方程 x 2+2x30 的解 20 (10 分)如图,已知点 A 在反比例函数 y= 9 (x0)的图象上,过点 A 作 ACx 轴, 第 4 页(共 26 页) 垂足是 C,ACOC一次函数 ykx+b 的图象经过点 A,与 y 轴的正半轴交于点 B (1)求点 A 的坐标; (2)若四边形 ABOC 的面积是15 2 ,求一次函数 ykx+b 的表达式 21 (10 分)为了解学生对传统节目的喜爱情况,某学校随机抽取了部分学生进行调查,被 调查的学
7、生必须从我是演说家 (记为 A) 、 中国诗词大会 (记为 B) 、 朗读者 (记 为 C)中选择自己最喜爱的一个栏目, 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统 计图 请根据图中信息解答下列问题: (1)在这项调查中,共调查了多少名学生? (2)将统计图补充完整,并求出扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数; (3)张老师在班上随机抽取了 4 名学生,其中 A 类 1 人,B 类 2 人,C 类 1 人,若再从 这 4 人中随机抽取 2 人,请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 22 (12 分) 如图, AB 为O 的直径, C 为O 上一点, 连接 CB, 过 C 作 CDA
8、B 于点 D, 过 C 作BCE,使BCEBCD,其中 CE 交 AB 的延长线于点 E (1)求证:CE 是O 的切线; (2)如图 2,点 F 在O 上,且满足FCE2ABC,连接 AF 并延长交 EC 的延长线 于点 G 第 5 页(共 26 页) )试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系; )若 CD4,tanBCE= 1 2,求线段 FG 的长 23 (10 分)某网店销售甲、乙两种羽毛球,已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多 15 元,王老师从该网店购买了 2 筒甲种羽毛球和 3 筒乙种羽毛球,共花费 255 元 (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元? (2)
9、根据消费者需求,该网店决定用不超过 8780 元购进甲、乙两种羽毛球共 200 筒, 且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3 5,已知甲种羽毛球每筒的进价为 50 元,乙 种羽毛球每筒的进价为 40 元 若设购进甲种羽毛球 m 筒,则该网店有哪几种进货方案? 若所购进羽毛球均可全部售出,请求出网店所获利润 W(元)与甲种羽毛球进货量 m (筒)之间的函数关系式,并说明当 m 为何值时所获利润最大?最大利润是多少? 24 (14 分)如图,在矩形 OABC 中,点 O 为原点,点 A 的坐标为(0,8) ,点 C 的坐标为 (6,0) 抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 经过点 A、C,与
10、AB 交于点 D (1)求抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合) ,点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ CP,连接 PQ,设 CPm,CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式; 当 S 最大时,在抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 的对称轴 l 上,若存在点 F,使DFQ 为直角 三角形,请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由 第 6 页(共 26 页) 25 (14 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 的中点,AEF90,EF 交正 方形外角的平分线 CF 于 F,连接 AC、AF、DF,求
11、证: (1)AEEF; (2)ABEACF; (3)DFC 是等腰直角三角形 第 7 页(共 26 页) 2020 年山东省泰安市中考数学模拟试卷(年山东省泰安市中考数学模拟试卷(3) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 48 分,每小题分,每小题 4 分)分) 1 (4 分)下列计算中正确的是( ) A3a2+2a25a4 B (2a)2a24 C (2a2)32a6 Da(ab+1)a2ab 【解答】解:A、原式5a2,不符合题意; B、原式4,符合题意; C、原式8a6,不符合题意; D、原式a2ab+a,不符合题意, 故选:B 2
12、 (4 分)下列运算正确的是( ) A2m3+3m25m5 Bm3(m)2m Cm (m2)3m6 D (m+n) (nm)m2n2 【解答】解:A2m3与 3m2不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; Bm3(m)2m,正确; Cm (m2)3m7,故本选项不合题意; D (m+n) (nm)n2m2,故本选项不合题意 故选:B 3 (4 分)把数 3160000 用科学记数法表示成 3.1610n,则正整数 n 为( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解:31600003.16106, 所以正整数 n 为 6, 故选:C 4 (4 分)一个圆锥的主视图是边长为 4cm 的正三角形,
13、则这个圆锥的侧面积等于( ) A16cm2 B12cm2 C8cm2 D4cm2 【解答】解:根据题意得圆锥的母线长为 4,底面圆的半径为 2, 所以这个圆锥的侧面积= 1 2 4228(cm2) 故选:C 第 8 页(共 26 页) 5 (4 分)抛物线 yax2+bx+c 的图象如图所示,那么一次函数 ybx+b24ac 与反比例函 数 y= (+)(+) 在同一坐标系内的图象大致是( ) A B C D 【解答】解:二次函数图象开口向上, a0, 对称轴为直线 x= 20, b0, 当 x1 时,ab+c0,当 x1 时,ab+c0, (a+b+c) (ab+c)0, 抛物线与 x 轴有
14、两个交点, b24ac0, 一次函数图象经过第一、二、四象限,反比例函数图象经过第二四象限 故选:D 6 (4 分)已知|a|2,|b|3,则|ab|5 的概率为( ) A0 B1 2 C1 3 D1 4 【解答】解:|a|2,|b|3, a2,b3, 第 9 页(共 26 页) 有|ab|1,|ab|5,|ab|1,|ab|5 四种情况, |ab|5 的概率为2 4 = 1 2 故选:B 7 (4 分)关于 x 的分式方程;2 4; + 6 ;4 = 3 的解为正数,且关于 x 的不等式组 1 + 2 7 2 有解,则满足上述要求的所有整数 a 的绝对值之和为( ) A12 B14 C16
15、D18 【解答】解:解分式方程得 x= 4 3, 因为分式方程的解为正数, 所以 4 3; 0 且 4 3; 4, 解得:a3 且 a2, 解不等式: 2 x 7 2,得:xa+7, 不等式组有解, a+71, 解得:a6, 综上,6a3,且 a2, 则满足上述要求的所有整数 a 绝对值之和为 5+4+3+2+1+0+116, 故选:C 8 (4 分)我校图书馆三月份借出图书 70 本,计划四、五月份共借出图书 220 本,设四、 五月份借出的图书每月平均增长率为 x,则根据题意列出的方程是( ) A70(1+x)2220 B70(1+x)+70(1+x)2220 C70(1x)2220 D7
16、0+70(1+x)+70(1+x)2220 【解答】解:四月份共借出图书量为 70(1+x) ,五月份共借出图书量为 70(1+x) (1+x) ,那么 70(1+x)+70(1+x)2220 故选:B 9 (4 分)如图,在菱形 ABCD 中,已知 AB4,B60,以 AC 为直径的O 与菱形 第 10 页(共 26 页) ABCD 相交,则图中阴影部分的面积为( ) A43 + B23 + C23 + 4 3 D43 + 4 3 【解答】解:在菱形 ABCD 中,已知 AB4,B60,以 AC 为直径的O 与菱形 ABCD 相交, EAO60,OCF60,OAOEOFOCOGOH2, EO
17、FFOCCOGGOHHOAAOE60, 阴影部分的面积为:2260 2 4 + 6022 360 2 =43 + 4 3 , 故选:D 10 (4 分)下列命题正确的是( ) A三点确定一个圆 B等弧所对的圆心角相等 C平分弦的直径垂直于弦 D圆心角相等,所对的弦也相等 【解答】解:A、不共线的三点确定一个圆,是假命题; B、弧相等,则弧所对的圆心角相等,是真命题; C、平分弦(非直径)的直径垂直于弦,是假命题; D、在同圆或等圆中,圆心角相等,所对的弦也相等,是假命题; 故选:B 11 (4 分)已知二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论:abc0; 2a+b0;4a2
18、b+c0;a+b+2c0,其中正确结论的个数为( ) 第 11 页(共 26 页) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解:抛物线开口向下,与 y 轴的交点在 x 轴上方, a0,c0, 0 21, b0,且 b2a, abc0,2a+b0, 故不正确,正确, 当 x2 时,y0,当 x1 时,y0, 4a2b+c0,a+b+c0, a+b+2c0,故都正确, 综上可知正确的有, 故选:B 12 (4 分)如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点,AECF 于点 H,AD3,DC4,DE= 5 2,EDF90,则 DF 长是( ) A15 8 B1
19、1 3 C10 3 D16 5 【解答】解:设 DF 和 AE 相交于 O 点, 四边形 ABCD 是矩形, ADC90, EDF90, 第 12 页(共 26 页) ADC+FDAEDF+FDA, 即FDCADE, AECF 于点 H, F+FOH90, E+EOD90,FOHEOD, FE, ADECDF, AD:CDDE:DF, AD3,DC4,DE= 5 2, DF= 10 3 故选:C 二填空题(共二填空题(共 6 小题,满分小题,满分 24 分,每小题分,每小题 4 分)分) 13 (4 分)计算:4cos608 3 +(3)0 1 【解答】解:原式4 1 2 2+122+11,
20、故答案为:1 14 (4 分)若 tan(15)= 3,则锐角 的度数是 75 【解答】解:tan(15)= 3, 1560, 75 故答案为:75 15 (4 分)点 P(a,b)是直线 yx2 上一点,则代数式 a22ab+b21 的值为 3 【解答】解:点(a,b)在一次函数 yx2 上, ba2,即 ab2, 第 13 页(共 26 页) 原式(ab)21221413 故答案为:3 16 (4 分)在正方形 ABCD 中,CD2,若点 P 满足 PD= 2,且BPD90,则点 A 到 BP 的距离为 6;2 2 或6:2 2 【解答】解:点 P 满足 PD= 2, 点 P 在以 D 为
21、圆心,2为半径的圆上, BPD90, 点 P 在以 BD 为直径的圆上, 如图,点 P 是两圆的交点, 若点 P 在 AD 上方,连接 AP,过点 A 作 AHBP, CD2BC,BCD90 BD22, BPD90 BP= 2 2= 6, BPD90BAD 点 A,点 B,点 D,点 P 四点共圆 APBADB45,且 AHBP HAPAPH45 AHHP 第 14 页(共 26 页) 在 RtAHB 中,AB2AH2+BH2, 4AH2+(6 AH)2, AH= 6+2 2 (不合题意) ,或 AH= 62 2 若点 P 在 CD 的右侧, 同理可得 AH= 6+2 2 综上所述:点 A 到
22、 BP 的距离为:6;2 2 或6:2 2 故答案为:6;2 2 或6:2 2 17 (4 分)使式子 1 2+3有意义的实数 x 的取值是 x 3 2 【解答】解:二次根式 1 2+3在实数范围内有意义, 2x+30, 解得:x 3 2 故答案为:x 3 2 18 (4 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB6,BC9,将矩形纸片 ABCD 折叠,使 C 与 点 A 重合,则折痕 EF 的长为 213 【解答】解:连接 AC 交 EF 于点 O,由折叠可知,EF 垂直平分 AC, 易证 RtAOERtCOF, OEOF, 在 RtABC 中,AC= 2+ 2= 36 + 81 =313 OA
23、OC= 313 2 , 设 AEx,则 EGED(9x) , 在 RtAGE 中,由勾股定理得: 62+(9x)2x2,解得:x= 13 2 第 15 页(共 26 页) 在 RtAOE 中,OE= 2 2= 13 EF2OE213 故答案为:213 三解答题(共三解答题(共 7 小题,满分小题,满分 78 分)分) 19 (8 分)先化简,后求值 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1,其中 x 是方程 x 2+2x30 的解 【解答】解: 2;2:1 2;1 2; :1 1 :1 = (1)2 (+1)(1) +1 (1) 1 +1 = 1 1 +1 = +1 (+1) = 1 (+1)
24、, 由 x2+2x30 得 x13,x21, 当 x1 时原分式无意义, 当 x3 时,原式= 1 (3)(3+1) = 1 6 20 (10 分)如图,已知点 A 在反比例函数 y= 9 (x0)的图象上,过点 A 作 ACx 轴, 垂足是 C,ACOC一次函数 ykx+b 的图象经过点 A,与 y 轴的正半轴交于点 B (1)求点 A 的坐标; (2)若四边形 ABOC 的面积是15 2 ,求一次函数 ykx+b 的表达式 第 16 页(共 26 页) 【解答】解: (1)点 A 在反比例函数 y= 9 (x0)的图象上,ACx 轴,ACOC, ACOC9, ACOC3, 点 A 的坐标为
25、(3,3) ; (2)四边形 ABOC 的面积是15 2 , (OB+3)32= 15 2 , 解得 OB2, 点 B 的坐标为(0,2) , 依题意有 = 2 3 + = 3, 解得 = 1 3 = 2 故一次函数 ykx+b 的表达式为 y= 1 3x+2 21 (10 分)为了解学生对传统节目的喜爱情况,某学校随机抽取了部分学生进行调查,被 调查的学生必须从我是演说家 (记为 A) 、 中国诗词大会 (记为 B) 、 朗读者 (记 为 C)中选择自己最喜爱的一个栏目, 根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统 计图 请根据图中信息解答下列问题: (1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
26、 (2)将统计图补充完整,并求出扇形统计图中“C”所在扇形圆心角的度数; (3)张老师在班上随机抽取了 4 名学生,其中 A 类 1 人,B 类 2 人,C 类 1 人,若再从 这 4 人中随机抽取 2 人,请用画树状图或列表法求出全是 B 类学生的概率 第 17 页(共 26 页) 【解答】解: (1)全班学生总人数为 1025%40(人) ; (2)C 类人数为 40(10+24)6, C 类所占百分比为 6 40 100%15%, B 类百分比为24 40 100%60%, C 所在扇形圆心角的度数36015%54; 补全图形如下: (3)列表如下: A B B C A BA BA CA
27、 B AB BB CB B AB BB CB C AC BC BC 由表可知,共有 12 种等可能结果,其中全是 B 类的有 2 种情况, 所以全是 B 类学生的概率= 2 12 = 1 6 22 (12 分) 如图, AB 为O 的直径, C 为O 上一点, 连接 CB, 过 C 作 CDAB 于点 D, 过 C 作BCE,使BCEBCD,其中 CE 交 AB 的延长线于点 E (1)求证:CE 是O 的切线; 第 18 页(共 26 页) (2)如图 2,点 F 在O 上,且满足FCE2ABC,连接 AF 并延长交 EC 的延长线 于点 G )试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系
28、; )若 CD4,tanBCE= 1 2,求线段 FG 的长 【解答】 (本小题满分 10 分) (1)证明:如图 1,连接 OC, OBOC, OBCOCB, (1 分) CDAB, OBC+BCD90, (2 分) BCEBCD, OCB+BCE90,即 OCCE, CE 是O 的切线; (3 分) (2)解:i)线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系是:CF2CD, (4 分) 理由如下: 如图 2,过 O 作 OHCF 于点 H, CF2CH, FCE2ABC2OCB,且BCDBCE, OCHOCD, OC 为公共边, COHCOD(AAS) , CHCD, CF2CD; (6 分)
29、 ii)BCDBCE,tanBCE= 1 2, 第 19 页(共 26 页) tanBCD= 1 2 CD4, BDCDtan12, BC= 2+ 2=25, 由 i)得:CF2CD8, 设 OCOBx,则 ODx2, 在 RtODC 中,OC2OD2+CD2, x2(x2)2+42, 解得:x5,即 OB5, OCGE, OCF+FCG90, OCD+COD90,FCOOCD, GCFCOB, 四边形 ABCF 为O 的内接四边形, GFCABC, GFCCBO, = , 25 = 8 5, FG= 165 5 (10 分) 第 20 页(共 26 页) 23 (10 分)某网店销售甲、乙两
30、种羽毛球,已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多 15 元,王老师从该网店购买了 2 筒甲种羽毛球和 3 筒乙种羽毛球,共花费 255 元 (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元? (2)根据消费者需求,该网店决定用不超过 8780 元购进甲、乙两种羽毛球共 200 筒, 且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的3 5,已知甲种羽毛球每筒的进价为 50 元,乙 种羽毛球每筒的进价为 40 元 若设购进甲种羽毛球 m 筒,则该网店有哪几种进货方案? 若所购进羽毛球均可全部售出,请求出网店所获利润 W(元)与甲种羽毛球进货量 m (筒)之间的函数关系式,并说明当 m 为何值时所获利润最大?
31、最大利润是多少? 【解答】解: (1)设甲种羽毛球每筒的售价为 x 元,乙种羽毛球每筒的售价为 y 元, 根据题意可得 = 15 2 + 3 = 255,解得 = 60 = 45, 答:该网店甲种羽毛球每筒的售价为 60 元,乙种羽毛球每筒的售价为 45 元; (2)若购进甲种羽毛球 m 筒,则乙种羽毛球为(200m)筒, 根据题意可得 50 + 40(200 ) 8780 3 5 (200 ) ,解得 75m78, m 为整数, m 的值为 76、77、78, 进货方案有 3 种,分别为: 方案一,购进甲种羽毛球 76 筒,乙种羽毛球为 124 筒, 方案二,购进甲种羽毛球 77 筒,乙种羽
32、毛球为 123 筒, 方案一,购进甲种羽毛球 78 筒,乙种羽毛球为 122 筒; 根据题意可得 W(6050)m+(4540) (200m)5m+1000, 50, 第 21 页(共 26 页) W 随 m 的增大而增大,且 75m78, 当 m78 时,W 最大,W 最大值为 1390, 答:当 m78 时,所获利润最大,最大利润为 1390 元 24 (14 分)如图,在矩形 OABC 中,点 O 为原点,点 A 的坐标为(0,8) ,点 C 的坐标为 (6,0) 抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 经过点 A、C,与 AB 交于点 D (1)求抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线
33、段 BC 上一个动点(不与点 C 重合) ,点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ CP,连接 PQ,设 CPm,CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式; 当 S 最大时,在抛物线 y= 4 9x 2+bx+c 的对称轴 l 上,若存在点 F,使DFQ 为直角 三角形,请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由 【解答】解: (1)将 A、C 两点坐标代入抛物线,得 = 8 4 9 36 + 6 + = 0, 解得: = 4 3 = 8 , 抛物线的解析式为 y= 4 9x 2+4 3x+8; (2)OA8,OC6, AC= 2+ 2=10, 过点 Q 作 QE
34、BC 与 E 点,则 sinACB= = = 3 5, 10; = 3 5, 第 22 页(共 26 页) QE= 3 5(10m) , S= 1 2CPQE= 1 2m 3 5(10m)= 3 10m 2+3m; S= 1 2CPQE= 1 2m 3 5(10m)= 3 10m 2+3m= 3 10(m5) 2+15 2 , 当 m5 时,S 取最大值; 在抛物线对称轴 l 上存在点 F,使FDQ 为直角三角形, 抛物线的解析式为 y= 4 9x 2+4 3x+8 的对称轴为 x= 3 2, D 的坐标为(3,8) ,Q(3,4) , 当FDQ90时,F1(3 2,8) , 当FQD90时,
35、则 F2(3 2,4) , 当DFQ90时,设 F(3 2,n) , 则 FD2+FQ2DQ2, 即9 4 +(8n)2+ 9 4 +(n4)216, 解得:n6 7 2 , F3(3 2,6+ 7 2 ) ,F4(3 2,6 7 2 ) , 满足条件的点 F 共有四个,坐标分别为 F1(3 2,8) ,F2( 3 2,4) ,F3( 3 2,6+ 7 2 ) ,F4(3 2,6 7 2 ) 25 (14 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是 BC 的中点,AEF90,EF 交正 方形外角的平分线 CF 于 F,连接 AC、AF、DF,求证: (1)AEEF; 第 23 页(共 2
36、6 页) (2)ABEACF; (3)DFC 是等腰直角三角形 【解答】证明: (1)如图(1) , 取 AB 中点 M,连接 ME, 则 AMBMBECE= 1 2正方形边长, 在 RtBME 中,BMEBEM45, AME135,1+245 AEF90, 1+345 23 CF 是正方形外角的平分线, DCF= 1 2 9045, ECF90+45AME 在AME 和ECF 中, 2 =3 = = AMEECF(ASA) AEEF 第 24 页(共 26 页) (2)如图(1) , AEF90,AEEF, AEF 是等腰直角三角形, EAF45,即4+545 AC 为正方形 ABCD 的对
37、角线, BAC45,即2+545, 24 DCFDCA= 1 2 9045, ACF45+4590B, ABEACF (3) (法一)如图(2) , 设正方形 ABCD 边长为 2a,则 BEa,AEEF= 5a AEF 是等腰直角三角形, AF= 2AE= 10a 过 F 作 FNBC 的延长线于 N, 则FNE90B 又由(1)知,32,EFAE, 在FNE 和EBA 中, = 3 = 2 = , FNEEBA(AAS) , FNBEa FCN 是等腰直角三角形, 第 25 页(共 26 页) CF= 2FN= 2a, = = 10 2 1+345,4+545,324, 51, 易证四边形 FNCP 为矩形(正方形) , ADFFCE135, ADFFCE135, FDC45DCF, DFC 是等腰直角三角形 (法二)如图(3) ,过 F 分别作 FNBC 的延长线于 N,FPCD 于 P, 则FNE90B 由(1)知,32,EFAE, 在FNE 和EBA 中, = 3 = 2 = FNEEBA(AAS) , FNBE= 1 2BC= 1 2CD 易证四边形 FNCP 为矩形(正方形) , 则 CPFN= 1 2CD, FP 垂直平分 CD, FDFC DCF= 1 2 9045, 第 26 页(共 26 页) FDCDCF45, DFC 是等腰直角三角形