1、教材同步复习第一部分 第三章 函数第12讲二次函数的图象与性质知识要点知识要点 归纳归纳人教:九上第二十二章人教:九上第二十二章P27P48;北师大:九下第二章北师大:九下第二章P29P45,P51P57.知识点知识点1二次函数及其解析式二次函数及其解析式1二次函数的概念二次函数的概念一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数其中x是自变量,a,b,c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项2二次函数的三种表达式二次函数的三种表达式(1)一般式:yax2bxc(a0,a,b,c为常数);(2)顶点式:ya(xh)2k(a0),对称轴为直线xh,顶点坐标为(h
2、,k),最大(小)值为k;(3)交点式:ya(xx1)(xx2)(a0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标D1当函数y(a1)x2bxc是二次函数时,a的取值为()Aa1Ba1Ca1 Da12将二次函数yx26x8化成ya(xm)2k的形式是_y(x3)21知识点知识点2二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质函数二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,a0)a的符号a0a0)平移后的解析式简记yax2bxc(a0)向左平移m个单位ya(x_)2b(x_)c左加向右平移m个单位ya(x_)2b(x_)c右减向上平移m个单位yax2bxc_上加向下平移m个单位yax2bxc_下减mmm
3、mmm2.二次函数顶点式的平移二次函数顶点式的平移(1)平移的步骤a将抛物线解析式转化为顶点式ya(xh)2k,确定其顶点坐标;b.保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可(2)平移的规律【易错提示易错提示】点坐标的平移规律:“左减右加,上加下减”;函数图象的平移规律:“左加右减,上加下减”,两者要区分开(3)其他变换方式求解析式变换方式a变换后的顶点坐顶点坐标标变换后的解析式沿x轴翻折a变为原来的相反数(h,k)ya(xh)2k沿y轴翻折a保持不变(h,k)ya(xh)2k绕顶点旋转180 a变为原来的相反数(h,k)ya(xh)2k绕原点旋转180 a变为原来的相反数(h,k)ya
4、(xh)2k【温馨提示温馨提示】若将抛物线沿平行于y轴的直线翻折,则开口方向未变,对称轴改变,相当于左右平移,不改变a值的大小及符号,b,c都变化;若将抛物线沿平行于x轴的直线翻折,则开口方向改变,对称轴未变,a,c变为原来的相反数4将抛物线yx21向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为_5若将抛物线yx2x先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,则平移后的抛物线所对应的函数解析式为_y(x1)21yx2x2知识点知识点4二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定1对于二次函数yax2bxc,若系数a,b,c中有一个未知,则代入任意一点坐标;若有两个未知,则代入任
5、意两点坐标;若三个都未知,根据下表所给点坐标选择适当的表达式:已知所设表达式顶点别的点ya(xh)2k与x轴的两个交点别的点 ya(xx1)(xx2)与x轴的一个交点对称轴别的点任意三个点yax2bxc2.联立一次方程(组),求得系数或常数项;3.将所得系数或常数项代入解析式即可6若二次函数yax2bxc图象的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则此函数的解析式为_7已知二次函数的图象过(0,1),(1,0)(2,0)三点,则此二次函数的解析式是_yx24x3211122yxx 知识点知识点5二次函数的图象与字母系数二次函数的图象与字母系数a,b,c的关系的关系字母或代数式符号图象的特征
6、aa0开口向_|a|越大,开口越_;|a|越小,开口越_a0(b与a同号)对称轴在y轴_侧ab0与y轴 _半轴相交c0与x轴有 _交点b24ac0,即当x1时,y _0;若abc0的解集函数yax2bxc的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围ax2bxc0)过(2,0),(2,3)两点,那么抛物线的对称轴()A只能是x1B可能是y轴C可能在y轴右侧且在直线x2的左侧D可能在y轴左侧且在直线x2的右侧重点难点重点难点 突破突破重难点重难点1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质(重点重点)例1题图已知二次函数yax2bxc的图象如图所示(1)抛物线的开口向_;(2)与x轴的交点坐标为_;(
7、3)与y轴的交点坐标为_;(4)对称轴为直线_;下下(1,0),(3,0)(0,3)x1(5)二次函数的解析式化为顶点式为_;(6)抛物线的顶点坐标为_;(7)二次函数的最大值为_;y(x1)24(1,4)4(8)当x1时,y随x的增大而_;(9)当x1时,y随x的增大而_;(10)b24ac_0;(11)abc_0;(12)2ab_0;(13)2ab_0;(14)abc_0;(15)abc_0;(16)4a2bc_0;(17)4a2bc_0;减小减小增大增大(18)若点M(,m)与点N(,n)是二次函数图象上两点,则m_n;(19)方程ax2bxc0的解为_;(20)不等式ax2bxc0的解
8、集为_;(21)将抛物线向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得二次函数的解析式为_;(22)在(21)的条件下,由所得到的平移后二次函数解析式,知当2x4时,平移后二次函数的最大值为_,最小值为_x11,x231x3y(x3)23或或yx26x63223212重难点重难点2二次函数的解析式的确定(重点)已知抛物线yax2bxc(a0)的顶点为P,且经过A,B两点(1)若b2,点P的坐标为(1,3),求抛物线的解析式【解答】【解答】b2,顶点,顶点P的坐标为的坐标为(1,3),1,3,1,解得,解得a1.把把a1,b2代入代入 3,解得,解得c2,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y
9、x22x2.2ba244acba 2ba244acba(2)若点A的坐标为(2,0),点P的坐标为(1,3),求抛物线的解析式【解答】【解答】顶点顶点P的坐标为的坐标为(1,3),抛物线的解析式为抛物线的解析式为ya(x1)23.将将A(2,0)代入解析式,代入解析式,得得0a(21)23,解得,解得a ,抛抛物线的解析式为物线的解析式为y (x1)23.1313(3)若a1,点A,B的坐标分别为(2,0),(1,3),求抛物线的解析式【解答】【解答】将将a1,A(2,0),B(1,3)代入解析式,代入解析式,得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x.2(2)20,13,bcb
10、c2,0,bc (4)将(3)中的抛物线先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,求平移后的抛物线的解析式【解答】【解答】将将(3)中的抛物线化为顶点式,得中的抛物线化为顶点式,得yx22x(x1)21.将此抛物线先向左平移将此抛物线先向左平移2个单位长度,再向上平移个单位长度,再向上平移3个单位长度,个单位长度,平平移后的抛物线的解析式为移后的抛物线的解析式为y(x12)213(x3)22x26x11.(5)若点A,B的坐标分别为(2,0),(1,3),且抛物线与y轴交于点C(0,2),求抛物线的解析式【解答】【解答】将将A(2,0),B(1,3),C(0,2)代入解析式,代入解析式,
11、得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y2x23x2.420,3,2,abcabcc 2,3,2,abc (6)若点A,B的坐标分别为(2,0),(1,3),且抛物线的对称轴为直线x1,求抛物线的解析式【解答】【解答】抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1,1,即,即b2a.将将A(2,0),B(1,3)代入解析式,得代入解析式,得化简,得化简,得 解得解得 b ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x .420,3,abcabc80,3,acac 1,38,3ac 231323832ba(7)若点A,B的坐标分别为(2,0),(1,0),且抛物线经过点C(4,5),求抛物
12、线的解析式【解答】【解答】设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x2)()(x1)将将(4,5)代入解析式,代入解析式,得得5a(42)(41),解得,解得a ,即抛物线的即抛物线的解析式为解析式为y (x2)()(x1)x2 x .5185185185185920212021权威权威 预测预测D1.已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表:x1013y3131下列判断中正确的是()A抛物线开口向上 B抛物线与y轴交于负半轴C当x4时,y0D方程ax2bxc0的正根在3与4之间2已知抛物线的顶点坐标为(3,1),且点(5,3)在抛物线上,求抛物线的解析式解:解:设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x3)21.把把(5,3)代入,得代入,得a(53)213,解得,解得a1,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x3)21.
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