1、教材同步复习第一部分 第三章 函数第12讲二次函数的图象与性质知识要点知识要点 归纳归纳人教：九上第二十二章人教：九上第二十二章P27P48；北师大：九下第二章北师大：九下第二章P29P45，P51P57.知识点知识点1二次函数及其解析式二次函数及其解析式1二次函数的概念二次函数的概念一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数其中x是自变量，a，b，c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项2二次函数的三种表达式二次函数的三种表达式(1)一般式：yax2bxc(a0，a，b，c为常数)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，对称轴为直线xh，顶点坐标为(h
2、，k)，最大(小)值为k；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标D1当函数y(a1)x2bxc是二次函数时，a的取值为()Aa1Ba1Ca1 Da12将二次函数yx26x8化成ya(xm)2k的形式是_y(x3)21知识点知识点2二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)a的符号a0a0)平移后的解析式简记yax2bxc(a0)向左平移m个单位ya(x_)2b(x_)c左加向右平移m个单位ya(x_)2b(x_)c右减向上平移m个单位yax2bxc_上加向下平移m个单位yax2bxc_下减mmm
3、mmm2.二次函数顶点式的平移二次函数顶点式的平移(1)平移的步骤a将抛物线解析式转化为顶点式ya(xh)2k，确定其顶点坐标；b.保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可(2)平移的规律【易错提示易错提示】点坐标的平移规律：“左减右加，上加下减”；函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，两者要区分开(3)其他变换方式求解析式变换方式a变换后的顶点坐顶点坐标标变换后的解析式沿x轴翻折a变为原来的相反数(h，k)ya(xh)2k沿y轴翻折a保持不变(h，k)ya(xh)2k绕顶点旋转180 a变为原来的相反数(h，k)ya(xh)2k绕原点旋转180 a变为原来的相反数(h，k)ya
4、(xh)2k【温馨提示温馨提示】若将抛物线沿平行于y轴的直线翻折，则开口方向未变，对称轴改变，相当于左右平移，不改变a值的大小及符号，b，c都变化；若将抛物线沿平行于x轴的直线翻折，则开口方向改变，对称轴未变，a，c变为原来的相反数4将抛物线yx21向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为_5若将抛物线yx2x先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为_y(x1)21yx2x2知识点知识点4二次函数解析式的确定二次函数解析式的确定1对于二次函数yax2bxc，若系数a，b，c中有一个未知，则代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任
5、意两点坐标；若三个都未知，根据下表所给点坐标选择适当的表达式：已知所设表达式顶点别的点ya(xh)2k与x轴的两个交点别的点 ya(xx1)(xx2)与x轴的一个交点对称轴别的点任意三个点yax2bxc2.联立一次方程(组)，求得系数或常数项；3.将所得系数或常数项代入解析式即可6若二次函数yax2bxc图象的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则此函数的解析式为_7已知二次函数的图象过(0，1)，(1，0)(2，0)三点，则此二次函数的解析式是_yx24x3211122yxx 知识点知识点5二次函数的图象与字母系数二次函数的图象与字母系数a，b，c的关系的关系字母或代数式符号图象的特征
6、aa0开口向_|a|越大，开口越_；|a|越小，开口越_a0(b与a同号)对称轴在y轴_侧ab0与y轴 _半轴相交c0与x轴有 _交点b24ac0，即当x1时，y _0；若abc0的解集函数yax2bxc的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围ax2bxc0)过(2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴()A只能是x1B可能是y轴C可能在y轴右侧且在直线x2的左侧D可能在y轴左侧且在直线x2的右侧重点难点重点难点 突破突破重难点重难点1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质(重点重点)例1题图已知二次函数yax2bxc的图象如图所示(1)抛物线的开口向_；(2)与x轴的交点坐标为_；(
7、3)与y轴的交点坐标为_；(4)对称轴为直线_；下下(1，0)，(3，0)(0，3)x1(5)二次函数的解析式化为顶点式为_；(6)抛物线的顶点坐标为_；(7)二次函数的最大值为_；y(x1)24(1，4)4(8)当x1时，y随x的增大而_；(9)当x1时，y随x的增大而_；(10)b24ac_0；(11)abc_0；(12)2ab_0；(13)2ab_0；(14)abc_0；(15)abc_0；(16)4a2bc_0；(17)4a2bc_0；减小减小增大增大(18)若点M(，m)与点N(，n)是二次函数图象上两点，则m_n；(19)方程ax2bxc0的解为_；(20)不等式ax2bxc0的解
8、集为_；(21)将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数的解析式为_；(22)在(21)的条件下，由所得到的平移后二次函数解析式，知当2x4时，平移后二次函数的最大值为_，最小值为_x11，x231x3y(x3)23或或yx26x63223212重难点重难点2二次函数的解析式的确定(重点)已知抛物线yax2bxc(a0)的顶点为P，且经过A，B两点(1)若b2，点P的坐标为(1，3)，求抛物线的解析式【解答】【解答】b2，顶点，顶点P的坐标为的坐标为(1，3)，1，3，1，解得，解得a1.把把a1，b2代入代入 3，解得，解得c2，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y
9、x22x2.2ba244acba 2ba244acba(2)若点A的坐标为(2，0)，点P的坐标为(1，3)，求抛物线的解析式【解答】【解答】顶点顶点P的坐标为的坐标为(1，3)，抛物线的解析式为抛物线的解析式为ya(x1)23.将将A(2，0)代入解析式，代入解析式，得得0a(21)23，解得，解得a ，抛抛物线的解析式为物线的解析式为y (x1)23.1313(3)若a1，点A，B的坐标分别为(2，0)，(1，3)，求抛物线的解析式【解答】【解答】将将a1，A(2，0)，B(1，3)代入解析式，代入解析式，得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x.2(2)20,13,bcb
10、c2,0,bc (4)将(3)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求平移后的抛物线的解析式【解答】【解答】将将(3)中的抛物线化为顶点式，得中的抛物线化为顶点式，得yx22x(x1)21.将此抛物线先向左平移将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，再向上平移3个单位长度，个单位长度，平平移后的抛物线的解析式为移后的抛物线的解析式为y(x12)213(x3)22x26x11.(5)若点A，B的坐标分别为(2，0)，(1，3)，且抛物线与y轴交于点C(0，2)，求抛物线的解析式【解答】【解答】将将A(2，0)，B(1，3)，C(0，2)代入解析式，代入解析式，
11、得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y2x23x2.420,3,2,abcabcc 2,3,2,abc (6)若点A，B的坐标分别为(2，0)，(1，3)，且抛物线的对称轴为直线x1，求抛物线的解析式【解答】【解答】抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，1，即，即b2a.将将A(2，0)，B(1，3)代入解析式，得代入解析式，得化简，得化简，得 解得解得 b ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2 x .420,3,abcabc80,3,acac 1,38,3ac 231323832ba(7)若点A，B的坐标分别为(2，0)，(1，0)，且抛物线经过点C(4，5)，求抛物
12、线的解析式【解答】【解答】设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x2)()(x1)将将(4，5)代入解析式，代入解析式，得得5a(42)(41)，解得，解得a ，即抛物线的即抛物线的解析式为解析式为y (x2)()(x1)x2 x .5185185185185920212021权威权威 预测预测D1.已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：x1013y3131下列判断中正确的是()A抛物线开口向上 B抛物线与y轴交于负半轴C当x4时，y0D方程ax2bxc0的正根在3与4之间2已知抛物线的顶点坐标为(3，1)，且点(5，3)在抛物线上，求抛物线的解析式解：解：设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为ya(x3)21.把把(5，3)代入，得代入，得a(53)213，解得，解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x3)21.
