1、 高三八校联考数学试卷 第 1 页 共 11 页 2021 届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试卷 2020.10 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1 已知集合 12 1 216 ,40 2 x AxNBx xxm ，若1AB，则AB =（ ） A.1，2，3 B.1，2，3，4 C.0，1，2 D.0，1，2，3 2命题“(0,1),x 2 0 xx ”的否定是（ ） A 0 (0,1),x 2 00 0 xx B 0 (0,1),x 2 00 0 xx C
2、 0 (0,1),x 2 00 0 xx D 0 (0,1),x 2 00 0 xx 3 1 cos x f x x 的部分图象大致是（ ） 4函数 2 (ln1)yxx 在1x 处的切线方程为（ ） A. 42yx B. 24yx C. 42yx D. 24yx 5在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2 2sinsin1BAC，则B的 最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 6如图直角坐标系中，角(0) 2 、角(0) 2 的终边分别交 单位圆于 A,B 两点，若 B 点的纵坐标为 5 13 ，且满足 3 4 AOB S，则 1 sin( 3cossin
3、) 2222 的值为（ ） A 5 13 B12 13 C 12 13 D 5 13 7已知0,0,1abab，则（ ） A. ba ab B. ba ab C. 1 2 ab ab D. 1 ab ab 8函数 2222 16sin9cos16cos9sinf xxxxx的值域为（ ） A5,10 B5 2,10 C7,10 D 7,5 2 高三八校联考数学试卷 第 2 页 共 11 页 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9下面命题正确的是（ ） A“1
4、a ”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 B在ABC中，“sincossin cosAABB”是“AB”的充要条件 C设, x y R,则“ 2x且 2y ”是“ 22 4xy”的必要而不充分条件 D设, a bR,则“0a ”是“0ab”的必要不充分条件 10已知函数 sincosf xxx， g x是 f x的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A函数 f x的值域与 g x的值域不相同 B把函数 f x的图象向右平移 2 个单位长度，就可以得到函数 g x的图象 C函数 f x和 g x在区间 , 4 4 上都是增函数 D若 0 x是函数 f x的极值点，则 0 x是函数 g x的零点
5、 11设 0,0ab ，称 2ab ab 为 a,b 的调和平均数，称 22 2 ab 为 a,b 的加权平均数.如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a,CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆，过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD,AD,BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则（ ） AOD 的长度是 a,b 的几何平均数 BDE 的长度是 a,b 的调和平均数 CCD 的长度是 a,b 的算术平均数 DFC 的长度是 a,b 的加权平均数 12关于函数 2 lnf xx x ，下列判断正确的是（ ） A2x是 f
6、x的极大值点 B函数 yf xx 有且只有 1 个零点 C存在正实数k，使得 f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 12 xx，若 12 f xf x，则 12 4xx. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对 的给 5 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . 13若关于 x 的不等式0ax b 的解集是1,，则关于 x 的不等式 0 2 axb x 的解集是 . 14已知函数 ,0 1,0 x x f x xx ，则5ff ；若实数a满足 ff aa，则a的取 值范围是 . 15如图，在 P
7、地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正 北方向的公路 AC 和 BD， 现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设 (0) 2 EPA ，为了节省建设成本，要使得PEPF的值最 小，则当PEPF的值最小时，AE= km. 16已知,(,) 4 2 ，且 22 sinsinsin() coscos， 高三八校联考数学试卷 第 3 页 共 11 页 则tan的最大值为 . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤
8、. 17(本小题满分 10 分) （1）已知2lglglg 2 xy xy ，求 x y 的值； （2）求值： 1 4sin80 tan10 . 18(本小题满分 12 分) 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，2c .有以下 3 个条件： 2 coscAb；22 cosbacA；2abc. 请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19(本小题满分 12 分) 如图，A、B 是一矩形 OEFG 边界上不同的两点，且45AOB,OE=1,EF=3，设AOE=. （1）写出AOB 的面积关于的函数关系式( )
9、f； （2）求（1）中函数( )f的值域. 高三八校联考数学试卷 第 4 页 共 11 页 20(本小题满分 12 分) 对于函数( )f x，若在定义域内存在实数 x，满足 ()fxf x，则称( )f x为“局部奇函数” （1）已知二次函数 2 24f xaxxa aR，试判断( )f x是否为“局部奇函数”？并说明理由； （2）若 12 423 xx f xmm 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围 21(本小题满分 12 分) 在非直角三角形 ABC 中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， （1）若2acb ，求角 B 的最大值； （2）若1acmb
10、m ， （i）证明： 1 tantan 221 ACm m ； （可能运用的公式有sinsin2sincos 22 ） （ii）是否存在函数 m，使得对于一切满足条件的 m，代数式 coscos coscos ACm mAC 恒为定值？ 若存在，请给出一个满足条件的 m，并证明之；若不存在，请给出一个理由. 22(本小题满分 12 分) 已知函数 ,1 x f xe g xax，其中2.71828e为自然对数的底数. （1）设aN， f xg x恒成立，求a的最大值； （2）设0a，讨论函数 1 cos a h xf g xxe 在0, 2 上的零点个数. （参考数据：ln2 0.69,ln3
11、1.10 ） 高三八校联考数学试卷 第 5 页 共 11 页 2021 届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测 数学参考答案 2020.10 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.试题中包含两个空的，只答对 1 个给 3 分，全部答对 的给 5
12、分. 13. (1,2) 14. 2；,1 15. 4 16. 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域 内作答。解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 17.解： （1）由2lglglg 2 xy xy 可得： 2 lg()lg() 2 xy xy 且x y ， 所以， 222 (),60 2 xy xy xxyy 即 22 ( )6( ) 10,(3)8,32 2,21 xxxxx yyyyy .5 分 （2） 因为 14sin80 sin10cos10 4sin80 tan10sin10 2sin20cos10 sin10 2sin(3010 )cos10
13、 sin10 3 10 分 18.解：若选择 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可将2 coscAb化为：2sincossinCAB3 分 又AB C，所以sin sin()BAC 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B C D 题号 9 10 11 12 答案 AD CD BD BD 高三八校联考数学试卷 第 6 页 共 11 页 所以2sin cossin()CAAC 即sincoscossin0ACAC，7 分 sin()0AC， AC2ac 9 分 所以 1 sin2sin2 2 ABC SacBB （当 2 B 时取到等号） 所以ABC面积的
14、最大值为 2. 12 分 若选择 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可将22 cosbacA化为：2sinsin2sincosBACA 3 分 又AB C，所以sin sin()BAC 所以2sin()sin2sincosACACA 即2sincossinACA，6 分 1 cos 2 C 又(0, )C， 3 C 8 分 又由余弦定理 222 2coscababC可得： 22 42ababababab（当且仅当ab时取等号）10 分 1 sin2sin3 2 ABC SabCC 所以ABC面积的最大值为3.12 分 若选择 因为2c ，所以 242abcab 4ab（当且仅当a
15、b时取等号）3 分 又由余弦定理 222 cos 2 abc C ab 得： 22222 31 ()() 1 242 cos 2222 ab ababab ab C ababab （当且仅当ab时取等号）8 分 0 3 C 高三八校联考数学试卷 第 7 页 共 11 页 11 sin4 sin3 223 ABC SabC （当且仅当ab时取等号） 所以ABC面积的最大值为3.12 分 19. 解： （1）OE=1，EF=3 EOF=60 当0，15 时，AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上， 且 AE=tan ,BE=tan(45 + ) f()=SAOB= 2 1 tan(45 + )t
16、an = sin45 2coscos(45) = 2 2cos(245 )2 3 分 当（15 ,45 时，A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA= cos 1 ，OB= 3 cos(45) )(f=SAOB= 2 1 OA OB sin45 = cos2 1 3 cos(45) sin45 = 6 2cos(2 )2 4 6 分 综上得：f()= 2 0, 12 2cos(2)2 4 6 (, 12 4 2cos(2)2 4 7 分 （2）由（1）得：当0， 12 时 f()= 2 2cos(2)2 4 2 1 ,31 且当=0 时，f()min= 2 1 ；= 12 时，f()m
17、ax=31；9 分 当 4 , 12 ( 时, 12 2 4 4 ，f（）= 6 2cos(2)2 4 63, 2 3 且当= 8 时，f() min=63；当= 4 时，f() max= 2 3 11 分 所以 f() 2 1 , 2 3 .12 分 20. 解：（1）当 时， 方程 即有解 ， 所以 为“局部奇函数” 4 分 （2）当 时， 可化为 高三八校联考数学试卷 第 8 页 共 11 页 设 ，则 ，6 分 从而 在 有解即可保证 为“局部奇函数” 令 ， 1 当 ， 在 有解， 由 ，即 ，解得 ； 8 分 2 当 时， 在 有解等价于 解得 11 分 （说明：也可转化为大根大于
18、等于 2 求解） 综上，所求实数 m 的取值范围为 12 分 21.解： （1）因为2acb ， 所以由余弦定理 222 cos 2 acb B ac 可得： 22222 31 ()() 1 242 cos 2222 ac acacac ac B acacac （当且仅当ac时取等号）2 分 又(0, )B，(0, 3 B 所以角 B 的最大值为 3 .3 分 （2） （i）由acmb 及正弦定理 sinsinsin abc ABC 得sinsinsinACmB， 所以2sincos2sincos 2222 ACACBB m 4 分 （或者由sin()sin()2sincos 222222 A
19、CACACACBB m 可得上式） 因为 222 ACB ，所以有coscos 22 ACAC m ，6 分 展开整理得(1)sinsin(1)coscos 2222 ACAC mm， 故 1 tantan 221 ACm m 7 分 （ii）由 1 tantan 221 ACm m 及半角正切公式 1 cossin tan 2sin1cos 可得 2 2 2 1 cossin1 cossin1 cos1 cos(1) (tantan) 22sin1 cossin1 cos1 cos1 cos(1) ACAACCACm AACCACm ， 9 分 对其展开整理得 高三八校联考数学试卷 第 9
20、页 共 11 页 2 42(1)(coscos)4coscosmmACmAC 即 2 421 coscos 4 coscos mmAC m AC ， 即 2 2 2 coscos 2 1 coscos1 m AC m m ACm ，即 2 2 2 coscos 1 1 2 coscos 1 m AC m m AC m 11 分 与原三角式作比较可知( )m存在且 2 2 ( ) 1 m m m 12 分 22.解： （1）设函数( )( )( )1 x F xf xg xeax， 所以 x Fxea，令 0Fx得lnxa， （a0） 且当lnxa时， 0Fx；当lnxa时， 0Fx 所以( )
21、F x在,lna上单调递减，在ln , a 上单调递增， 所以 min ( )(ln )ln1F xFaaaa2 分 因为要使得( )( )f xg x恒成立，只要( )0F x 恒成立 即 min ( )(ln )ln10F xFaaaa 设( )ln1G aaaa，1a 且aN ( )l n0Gaa ，( )G a在1a 上单调递减 又(3)33ln3 143.30G ，(4)44ln4 155.520G ， 且( )G a图象连续不断，所以满足的a的最大值为 3. 4 分 （2） 1 1 ( )cos ax a h xexe ，0, 2 x 设 1 ( )cos ax H xex ，则
22、111 ( )cossincostan axaxax H xaexexx eax ， 因为0a，所以在(0,) 2 内必存在唯一的实数 0 x，使得 0 tanxa 所以 0 0,( )0,( )xxH xH x为增函数 0 (,) 2 xx ， 0Hx， H x为减函数 高三八校联考数学试卷 第 10 页 共 11 页 （说明 h x单调性同样给分）6 分 下面先证明： 1 0 () a H xe . 因为 0 tanxa，所以 00 22 1 cos,sin 11 a xx aa ， （法一）当0 x时，有1,sin x exxx， （不证明不扣分不证明不扣分） 00 11 11 cosc
23、os 0 0 1 ,cos cos xx exe x ， 00 000 11 sin 1coscos 00 cos axax axxx H xexee 下证 0 0 1 1 sin cos ax x a ee ，即证 0 0 11 sin cos ax xa ，即证 2 2 2 1 1 1 a a a a . 2 2 22 11 1 11 a a a aa 0 H x 1 a e .8 分 （法二）当0 x时，有1,sin x exxx， （不证明不扣分不证明不扣分） 0 1 00 sin ax eaxax ， 0 2 1 0000 2 cossincos 1 ax a H xexaxx a
24、下证 12 2 1 a a e a ，令 1 t a ，则0t 即证 2 1 (0) 1 t e t t ，即证 2 1100 t tet 令 2 11 t tte，则 2 10 t tte t为单调递增函数 当0t 时， 00t 2 1100 t tet 0 H x 1 a e .8 分 （法三）欲证 0 1 1 0 cos ax a exe ，即证 0 1 1 0 1 cos ax a e x 因为 0 1 1 0 1 ax a eax a ，所以只需证 0 0 11 cos ax ax ， 高三八校联考数学试卷 第 11 页 共 11 页 即证 00 00 11 tan tancos x
25、x xx ， 即证 000 000 sincos1 cossincos xxx xxx 即证 22 0000 sincossinxxxx，又 00 sinxx 只需证 32 000 sincossinxxx，即证 32 000 sinsinsin10 xxx 即证 2 00 sin1sin10 xx 又 0 (0,) 2 x ，所以 2 00 sin1sin10 xx显然成立. 0 H x 1 a e .8 分 接下来，求函数 h x在 0, 2 x 上的零点个数 1 0 0,0 2 a heh x ，且函数 h x在 0, 2 x 上单调递减 h x在 0, 2 x 上有唯一零点，即函数 h
26、 x在 0, 2 x 上的零点个数为 19 分 最后，求函数 h x在 0 0,x上的零点个数 1 1 0 0,0 a heeh x ，且函数 h x在 0 0,x上单调递增 1 当01a时， 1 1 00 a hee ，所以函数 h x在 0 0,x上没有零点， 即函数 h x在 0 0,x上的零点个数为 010 分 2当1a 时， 1 1 00 a hee ，所以函数 h x在 0 0,x上有唯一零点， 即函数 h x在 0 0,x上的零点个数为 111 分 综上所述：当01a时， h x在0, 2 上的零点个数为 1 ； 当1a 时， h x在0, 2 上的零点个数为 2 . 12 分
