1、三角函数最值问题的几种常见解法三角函数最值问题的几种常见解法 一一 配方法配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数， 切它们次数是 2 时， 一般就需要通过配方 或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例例 1 函数3cos3sin 2 xxy的最小值为（ ）. A 2 B . 0 C . 4 1 D . 6 分析分析本题可通过公式xx 22 cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy， 因含有 cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t，则, 23, 11 2 ttyt配方，得 4 1 2 3 2 ty, , 11t当 t=1 时,即 cosx=1 时，0 m
2、in y,选 B. 例例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值 分分 析析 ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍 角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 4 8 33 16 1 2, 2 21sin 6 8 33 16 81 2, 2 2, 1sin, 1sin1 8 33 4 5 sin21sin5sin2sin21sin5 max min 2 22 yzkkxx yzkkxxx xxxxxy 二二 引入辅助角法引入辅助角法 例例 3 已知函数Rxxxxy1cossin 2 3 cos 2 1 2 当函数 y 取得最大值时，求自变 量 x 的集合
3、。 分析分析 此类问题为xcxxbxay 22 coscossinsin的三角函数求最值问题， 它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。 解： . 4 7 , 6 ,2 26 2, 4 5 6 2sin 2 1 4 5 2sin 2 3 2cos 2 1 2 1 4 5 2sin 4 3 2cos 4 1 1 2 2sin 2 3 2 2cos1 2 1 max yzkkxkxx xxxx xx y 三三 利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性， 利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
4、例例 4 求函数 1cos2 1cos2 x x y的值域 分析分析 此为 dxc bxa y cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、 同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反 解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为1cos, 1cos2 2 1 x x y，可直接得到：3y或. 3 1 y 解法一：原函数变形为 , 1 12 1 , 1cos, 12 1 cos y y x y y x3y或. 3 1 y 例例 5 （2003 年高考题）已知函数 )cos(sinsin2xxxxf，求函数 f(x)的最小正周
5、期和 最大值。 分析分析 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二 次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： 4 2212sin2cos1cossin2sin2 2 xsnxxxxxxf f(x)的最小正周期为，最大值为21。 四四 引入参数法（换元法）引入参数法（换元法） 对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx ， 与sinxcosx的 函 数 ， 运 用 关 系 式 ,cossin21cossin 2 xxxx 一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但 必须要注意换元后新变量的取值范围。
6、例例 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。 分析分析解：.cossin21cossin 2 xxxx令sinx+cosx=t，则 t t yt t xx 2 1 ,2, 2 2 1 cossin 22 ，其中2,2t 当. 2 2 1 , 1 4 sin,2 max yxt 五五 利用基本不等式法利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值， 要合理的拆添项， 凑常数， 同时要注意等号成立的条件， 否则会陷入误区。 例例 7 求函数 xx y 22 cos 4 sin 1 的最值。 解： xx y 22 cos 4 sin 1 =9225tan4cot5tan14c
7、ot1 2222 xxxx 当且仅当,tan4cot 22 xx 即2cotx时，等号成立，故9 min y。 六六 利用函数在区间内的单调性利用函数在区间内的单调性 例例 8 已知, 0 x，求函数 x xy sin 2 sin的最小值。 分析分析 此题为 x a x sin sin型三角函数求最值问题，当 sinx0,a1，不能用均值不等式求最 值，适合用函数在区间内的单调性来求解。 设 t tyttx 1 ,10,sin，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，3 min y。 七七 数形结合数形结合 由于1cossin 22 xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这
8、样对一类既含 有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。 例例 9 求函数 x x x y0 cos2 sin 的最小值。 分析分析 法一：将表达式改写成, cos2 sin0 x x y y 可看成连接两点 A(2,0)与点(cosx,sinx) 的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图） ，所以求 y 的最小值就是 在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。 设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则. 0 ykAB 可求得. 3 3 6 5 tan AB k 所以 y 的最小值为 3 3 （此时 3 x）. 法二：该题也可利用关系式
9、 asinx+bcosx=xbasin 22 （即引入辅助角法）和有 界性来求解。 八八 判别式法判别式法 例例 10 求函数 xx xx y tansec tansec 2 2 的最值。 分析分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。 解： kkxxy yxyxy xx xx xx xx y , 0tan, 1 01tan1tan1 1tantan 1tantan tansec tansec 2 2 2 2 2 1y时此时一元二次方程总有实数解 . 3 3 1 0313, 0141 22 y yyyy 由 y=3，tanx=-1，3, 4 max yzkkx 由. 3
10、1 , 4 , 1tan, 3 1 min ykxxy 九九 分类讨论法分类讨论法 含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。 例例 11 设 2 0 2 1 4 sincos2 x a xaxxf，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a). 解： . 2 1 4 sinsin 2 a xaxxf令 sinx=t,则, 10 t . 2 1 4422 1 4 2 2 2 aaa t a attxftg （1） 当1 2 a ，即 tga, 2在0，1上递增， ; 2 1 4 3 1 a gaM （2） 当, 1 2 0 a 即20 a时 ， tg在 0 ， 1 上 先 增 后 减 ， ;
11、 2 1 442 2 aaa gaM （3） 当, 0 2 a 即 tga, 0在0，1上递减， . 42 1 0 a gaM 0, 42 1 20 , 2 1 44 2, 2 1 4 3 2 a a a aa a a aM 三角函数求值域专题三角函数求值域专题 求三角函数值域及最值的常用方法：求三角函数值域及最值的常用方法： （1） 一次函数型一次函数型：或利用：或利用为：为：xbxaycossin)sin( 22 xba， 利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式， （1）：5) 12 3sin(2 xy，xxycossin （2）xxycos3sin4 （3）.函数xx
12、ycos3sin在区间0, 2 上的最小值为 1 （4）函数tan() 2 yx ( 44 x 且0)x 的值域是_(, 11,) （2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及换元及 图像法求解；图像法求解； 二倍角公式的应用二倍角公式的应用： 如： （1） xxy2cossin （2）函数)(2cos 2 1 cos)(Rxxxxf的最大值等于 4 3 （3）.当 2 0 x时，函数 x xx xf 2sin sin82cos1 )( 2 的最小值为 4 （4）.已知 k4，则函数 ycos
13、2xk(cosx1)的最小值是 1 （5）.若2，则cos6siny的最大值与最小值之和为_2_ （3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解借助直线的斜率的关系用数形结合求解； 型如型如 dxc bxa xf cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： 转化为cxbxa cossin再利用辅助角公式求其最值； 利用万能公式求解； 采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例例 1：求函数 sin cos2 x y x 的值域。 解法解法 1 1： 数形结合法： 求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0) 所确定的直线的斜率的范围。作出如图
14、得图象，当过 Q 点的 直线与单位圆相切时得斜率便是函数 sin cos2 x y x 得最值， 由几何知识， 易求得过 Q 的两切线得斜率分别为 3 3 、 3 3 。 结合图形可知，此函数的值域是 33 , 33 。 解法解法 2 2： 将函数 sin cos2 x y x 变形为cossin2yxxy， 2 2 s i n () 1 y x y 由 2 |2 | |sin()|1 1 y x y 22 (2 )1yy ，解得： 33 33 y，故值域是 33 , 33 解法解法 3 3：利用万能公式求解：由万能公式 2 1 2 sin t t x ， 2 2 1 cos 1 t x t
15、，代入 sin cos2 x y x 得到 2 2 13 t y t 则有 2 320ytty知：当0t ，则0y ，满足条 x Q P y O 件； 当0t ， 由 2 4 1 20y ， 33 33 y ， 故所求函数的值域是 33 , 33 。 解法解法4 4： 利用重要不等式求解： 由万能公式 2 1 2 sin t t x ， 2 2 1 cos 1 t x t ， 代入 sin cos2 x y x 得到 2 2 13 t y t 当0t 时，则0y ，满足条件；当0t 时， 22 11 3(3 ) y tt tt ，如果 t 0，则 2223 11 32 3 3(3 ) y tt
16、 tt ， 此时即有 3 0 3 y；如果 t 0，则 223 1 31 ()( 3 ) 2 ()( 3 ) y t t t t ，此时有 3 0 3 y。综上：此函数的值域是 33 , 33 。 例 2.求函数 2cos (0) sin x yx x 的最小值 分析：利用函数的有界性求解 解 法 一 ： 原 式 可 化 为s i nco s2 ( 0)yxxx， 得 2 1s i n ()2yx， 即 2 2 s i n () 1 x y ， 故 2 2 1 1y ，解得3y 或3y （舍） ，所以y的最小值为3 解法二： 2cos (0) sin x yx x 表示的是点(0,2)A与(
17、sin ,cos )Bxx连线的斜率，其 中点 B 在左半圆 22 1(0)aba上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，y最小，此时 3 AB k，所以y的最小值为3 点评： 解法一利用三角函数的有界性求解； 解法二从结构出发利用斜率公式， 结合图像求解 （4）换元法）换元法 代数换元法代换：xxxxycossincossin 令：t t ytxx 2 1 ,cossin 2 则再 用配方、 例题：求函数sincossincosyxxxx的最大值 解：设sincosxxt(22)t ，则 2 1 sincos 2 t xx ，则 2 11 22 ytt ， 当2t 时，y有最大值为 1 2 2
18、 （5 5）降幂法降幂法 型如型如)0(cossinsin 2 acxxbxay型。此类型可利用倍角公式、降幂公式进 行降次、整理为sin2cos2yAxBx型再利用辅助角公式求出最值。 例例 1：求函数) 24 7 4 (cossin4sin3cos35)( 22 xxxxxxf的最值，并 求取得最值时 x 的值。 分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意 角度的限定范围。 解：由降幂公式和倍角公式，得 x xx xf2sin2 2 2cos1 3 2 2cos1 35)( 332sin23cos32xx 33) 6 2cos(4 x 24 7 4 x，
19、4 3 6 2 3 2 x， 2 1 ) 6 2cos( 2 2 x ( )f x的最小值为2233，此时 24 7 x，( )f x无最大值。 例例 2. 已知函数 2 ( )2sin3cos2 4 f xxx ， 4 2 x ， （I）求( )f x的最大值和最小值； （II）若不等式( )2f xm在 4 2 x ，上恒成立，求实数m的取值范围 分析：观察角，单角二次型，降次整理为sincosaxbx形式 解： （） ( )1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 12sin 2 3 x 又 4 2 x ， 2 2 633 x，即 212sin 23 3 x ，
20、m a xm i n ( )3( )2fxfx， （）( )2( )2( )2f xmf xmf x， 4 2 x ， m a x ( )2mfx且 min ( )2mf x， 14m，即m的取值范围是(14)， （5）典型应用题典型应用题 扇形AOB的半径为 1，中心角为60，PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时， 矩形PQRS的面积最大，并求出最大值 分析：引入变量AOPx，建立目标函数 解：连接OP，设AOPx，则sinPSx，cosOSx， 3 cossin 3 RSxx 333 (cossin )sinsin(2) 3366 Sxxxx ， 0 3 x ，所以当 6 x 时，
21、P在圆弧中心位置， max 3 6 S 点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解 题的关键 类型类型 6：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束） 。：条件最值问题（不要忘了条件自身的约束） 。 例例 1. 已知 1 sinsin 3 xy，求 2 sincosyx的最大值与最小值 分析：可化为二次函数求最值问题 解： （1）由已知得： 1 sinsin 3 yx，sin 1,1y ，则 2 sin,1 3 x A B O R S P Q 22 111 sincos(sin) 212 yxx，当 1 sin 2 x 时， 2 sincosyx有最小值 11
22、 12 ；当 2 sin 3 x 时， 2 sincosyx有最小值 4 9 例例 2：已知sin2sin2sin3 22 ，求 22 sinsiny的取值范围。 分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于 sin，sin的二元条件等式求二元二次 函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。 解：解： sin2sin2sin3 22 ， s i ns i n 2 3 s i n 22 1sin0 2 3 2 sin0 1sinsin 2 3 0sinsin 2 3 2 2 解得 2 1 ) 1(sin 2 1 sinsin 2 1 sinsin 2222 y 3 2 sin0。 si
23、n=0 时，0 min y； 3 2 sin时， 9 4 max y 9 4 sinsin0 22 。 例例 3 ：求函数xxy1的最大值和最小值，并指出当 x 分别为何值时取到最大值和 最小值。 解：解：定义域为 0 x1，可设xx 2 cos且 2 0 22 sincos11 x， 2 0 ) 4 sin(2cossinsincos 22 y 2 0 ， 4 3 44 ，1) 4 sin( 2 2 即21 y 当 44 或 4 3 4 ，即 =0 或 2 （此时 x=1 或 x=0） ，y=1； 当 2 ，即 4 时， （此时 2 1 x） ，2y， 当 x=0 或 x=1 时，y 有最小
24、值 1；当 2 1 x时，y 有最大值2。 评析：评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域 相一致，尽量恰到好处。 【反馈演练】【反馈演练】 1函数)( 6 cos() 3 sin(2Rxxxy 的最小值等于_1_ 2已知函数( )3sinf xx， 3 ( )sin() 2 g xx ，直线mx 和它们分别交于 M，N，则 max MN_ 3当0 4 x 时，函数 2 2 cos ( ) cos sinsin x f x xxx 的最小值是_4 _ 4函数 sin cos2 x y x 的最大值为_，最小值为_. 5函数costanyxx的值域为 . 6已知函数 11 ( )(sincos )|sincos| 22 f xxxxx，则( )f x的值域是 . 7已知函数( )2sin(0)f xx在区间, 3 4 上的最小值是2，则的最小值等 于_ 3 2 8 （1）已知(0, )，函数 2 3sin 1 3sin y 的最大值是_. （2）已知(0, )x，函数 2 sin sin yx x 的最小值是_3_. 9在OAB 中，O 为坐标原点， 2 , 0(),1 ,(sin),cos, 1 ( BA，则当OAB 的面积达 最大值时，_ 2 1 2 3 3 3 3 ( 1,1) 22 , 22 10
