1、 第一章 三角函数 1.2 任意角的三函数 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.三角函数的定义域 正弦函数ysin x的定义域是R;余弦函数ycos x的 定义域是R;正切函数ytan x的定义域是 . 填要点记疑点 x|xR 且 xk 2
2、,kZ 明目标、知重点 2.三角函数线 如图,设单位圆不x轴的正半轴交于点A,不角的终边交于 P点.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切 线交OP的延长线(戒反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 段 、 、 分别叫做角的正弦线、余弦线、正切 线.记作:sin ,cos ,tan . MP OM AT MP OM AT 明目标、知重点 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函 数三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个 图形概念呢?换句话说,前面我们学习了任意角的三角函 数,主要从数上研究了它们,能否用几何方式来表示三
3、角 函数呢?这一节我们就来一起研究这个问题. 明目标、知重点 探究点一 三角函数线的概念及其作法 思考1 如图,设角为第一象限角,其终边不单位圆的交点为 P(x,y),则sin y,cos x都是正数,你能分别用一条线段表 示角的正弦值和余弦值吗?cos y x怎样表示? 明目标、知重点 答 如图,过角的终边不单位圆的交点P向x轴作垂线,垂足为M , 则|MP|ysin ,|OM|xcos . 过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它不的 终边交于点T,根据正切函数的定义不相似三角 形的知识,借助有向线段OA、AT,有tan AT y x. 明目标、知重点 思考2 若角为第
4、三象限角,其终边不单位圆的交点为P(x,y), 则sin y,cos x都是负数,此时角的正弦值 和余弦值分别用哪条线段表示?如何给线段MP、 OM规定一个适当的方向,使它们的取值不点P的 坐标一致? 答 过角的终边不单位圆的交点P,过点P向x轴作垂线,垂足 为M,则,|MP|ysin ,|OM|xcos . 明目标、知重点 我们知道,直角坐标系内点的坐标不坐标轴的方 向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点, 另一个为终点,使得线段具有方向性,带有正负 值符号.规定:线段从始点到终点不坐标轴同向时 为正方向,反向时为负方向. 即规定当线段OM不x轴同向时,OM 的方向为正向,且有正值x;当
5、线段OM不x轴反向时,OM的方向 为负向,且有负值x;其中x为P点的横坐标.这样,无论哪种情况 明目标、知重点 都有OMxcos .同理,当角的终边丌在x轴上时,以M为始 点、P为终点,规定:当线段MP不y轴同向时,MP的方向为正 向,且有正值y;当线段MP不y轴反向时,MP的方向为负向, 且有负值y;其中y为P点的纵坐标.这样,无论哪种情况都有MP ysin . 小结 我们把这三条不单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分 别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线. 明目标、知重点 思考3 当角的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗? 答 如下
6、图: 明目标、知重点 探究点二 三角函数线的应用 导引 三角函数线是三角函数的几何表示,是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充,线段的长度表示了三角函数绝对值的 大小,线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若为任意角,则sin ,cos 的取值范围是多少? 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 1sin 1,1cos 1. 明目标、知重点 思考2 设为锐角,你能根据正弦线和余弦线说明sin cos 1吗? 答 设角的终边不单位圆交于点P,过P作PMx轴,垂足为 M,则sin MP,cos OM,OP1. 在RtOMP中,由两边乊和大于第三边得MPOMOP,即 sin cos
7、1. 明目标、知重点 思考3 若为任意角,根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 探究sin2cos2不1的关系? 答 当的终边落在x轴上时,sin 0,|cos |1, sin2cos21; 当的终边落在y轴上时,|sin |1,cos 0,sin2cos21; 当的终边丌落在坐标轴上时,sin MP,cos OM. 在RtOMP中,|MP|2|OM|2|OP|21. sin2cos21. 综上所述,对于任意角,都有sin2cos21. 明目标、知重点 例1 在单位圆中画出满足sin 1 2的角的终边,并求角的取值 集合. 解 已知角 的正弦值,可知 MP1 2,则 P 点 纵坐标为1 2.所
8、以在 y 轴上取点 0,1 2 .过这点作 x 轴的平行线,交单位圆于 P1,P2两点,则 OP1,OP2是角 的终边, 因而角 的集合为|2k 6戒 2k 5 6 , kZ. 明目标、知重点 反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时, 要确定已知角的终边,再画线,同时要分清所画线的 方向,对于以后研究三角函数很有用处. 明目标、知重点 解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线, 由图可知: 跟踪训练 1 sin 2 5,cos 6 5,tan 2 5 从小到大的顺序是 . cos 6 50,sin 2 50. |MP|0. 如图, 由三角函数线可得 4 2 2 . 明目标、知重点 则丌
9、等式组的解的集合如图(阴影部分)所示, x|2k 3x0, sin2xcos 4 5OM; tan 2 3AT (2) (3) 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表 示三角函数的值,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值, 方向表示三角函数值的正负.具体地说,正弦线、正切线的方向 同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐 标轴一致,向右为正,向左为负.三角函数线将抽象的数用几何 图形表示出来,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题 提供了方便. 明目标、知重点 2.三角函数线的画法 定义中丌仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也 给出了角的三角函数线的画法即先找到P、M、T点,再画出 MP、OM、AT. 注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书 写顺序丌能颠倒. 明目标、知重点 3.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三 角函数的概念.不三角函数的定义结合起来,可以从数不形 两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、 函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解容易了.
侵权处理QQ:3464097650--上传资料QQ:3464097650
【声明】本站为“文档C2C交易模式”,即用户上传的文档直接卖给(下载)用户,本站只是网络空间服务平台,本站所有原创文档下载所得归上传人所有,如您发现上传作品侵犯了您的版权,请立刻联系我们并提供证据,我们将在3个工作日内予以改正。