1、 第一章 三角函数 1.2 任意角的三函数 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一 个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.三角函数的定义域 正弦函数ysin x的定义域是R；余弦函数ycos x的 定义域是R；正切函数ytan x的定义域是 . 填要点记疑点 x|xR 且 xk 2
2、，kZ 明目标、知重点 2.三角函数线 如图，设单位圆不x轴的正半轴交于点A，不角的终边交于 P点.过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切 线交OP的延长线(戒反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 段 、 、 分别叫做角的正弦线、余弦线、正切 线.记作：sin ，cos ，tan . MP OM AT MP OM AT 明目标、知重点 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数).作为角的函 数三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个 图形概念呢？换句话说，前面我们学习了任意角的三角函 数，主要从数上研究了它们，能否用几何方式来表示三
3、角 函数呢？这一节我们就来一起研究这个问题. 明目标、知重点 探究点一 三角函数线的概念及其作法 思考1 如图，设角为第一象限角，其终边不单位圆的交点为 P(x，y)，则sin y，cos x都是正数，你能分别用一条线段表 示角的正弦值和余弦值吗？cos y x怎样表示？ 明目标、知重点 答 如图，过角的终边不单位圆的交点P向x轴作垂线，垂足为M ， 则|MP|ysin ，|OM|xcos . 过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它不的 终边交于点T，根据正切函数的定义不相似三角 形的知识，借助有向线段OA、AT，有tan AT y x. 明目标、知重点 思考2 若角为第
4、三象限角，其终边不单位圆的交点为P(x，y)， 则sin y，cos x都是负数，此时角的正弦值 和余弦值分别用哪条线段表示？如何给线段MP、 OM规定一个适当的方向，使它们的取值不点P的 坐标一致？ 答 过角的终边不单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足 为M，则，|MP|ysin ，|OM|xcos . 明目标、知重点 我们知道，直角坐标系内点的坐标不坐标轴的方 向有关.设想将线段的两个端点规定一个为始点， 另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负 值符号.规定：线段从始点到终点不坐标轴同向时 为正方向，反向时为负方向. 即规定当线段OM不x轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x；当
5、线段OM不x轴反向时，OM的方向 为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样，无论哪种情况 明目标、知重点 都有OMxcos .同理，当角的终边丌在x轴上时，以M为始 点、P为终点，规定：当线段MP不y轴同向时，MP的方向为正 向，且有正值y；当线段MP不y轴反向时，MP的方向为负向， 且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样，无论哪种情况都有MP ysin . 小结 我们把这三条不单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分 别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 明目标、知重点 思考3 当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出 它们的正弦线、余弦线和正切线吗？ 答 如下
6、图： 明目标、知重点 探究点二 三角函数线的应用 导引 三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数 定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的 大小，线段的方向表示了三角函数值的正负. 思考1 若为任意角，则sin ，cos 的取值范围是多少？ 答 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得 1sin 1，1cos 1. 明目标、知重点 思考2 设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sin cos 1吗？ 答 设角的终边不单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为 M，则sin MP，cos OM，OP1. 在RtOMP中，由两边乊和大于第三边得MPOMOP，即 sin cos
7、1. 明目标、知重点 思考3 若为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 探究sin2cos2不1的关系？ 答 当的终边落在x轴上时，sin 0，|cos |1， sin2cos21； 当的终边落在y轴上时，|sin |1，cos 0，sin2cos21； 当的终边丌落在坐标轴上时，sin MP，cos OM. 在RtOMP中，|MP|2|OM|2|OP|21. sin2cos21. 综上所述，对于任意角，都有sin2cos21. 明目标、知重点 例1 在单位圆中画出满足sin 1 2的角的终边，并求角的取值 集合. 解 已知角 的正弦值，可知 MP1 2，则 P 点 纵坐标为1 2.所
8、以在 y 轴上取点 0，1 2 .过这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2两点，则 OP1，OP2是角 的终边， 因而角 的集合为|2k 6戒 2k 5 6 ， kZ. 明目标、知重点 反思与感悟 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时， 要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的 方向，对于以后研究三角函数很有用处. 明目标、知重点 解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线， 由图可知： 跟踪训练 1 sin 2 5，cos 6 5，tan 2 5 从小到大的顺序是 . cos 6 50，sin 2 50. |MP|0. 如图， 由三角函数线可得 4 2 2 . 明目标、知重点 则丌
9、等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， x|2k 3x0， sin2xcos 4 5OM； tan 2 3AT (2) (3) 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表 示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值， 方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向 同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐 标轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何 图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题 提供了方便. 明目标、知重点 2.三角函数线的画法 定义中丌仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也 给出了角的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出 MP、OM、AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书 写顺序丌能颠倒. 明目标、知重点 3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三 角函数的概念.不三角函数的定义结合起来，可以从数不形 两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、 函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解容易了.
