人教版高中数学必修四《平面向量的实际背景及基本概念》教案+课件（赛课一等奖）.zip

第 1 页 人教版必修 4平面向量的实际背景及基本概念教学设计 一、教学内容 本课时的数学知识及其由内容所反映的数学思想方法主要有： 1、向量的概念； 概念抽象需要典型丰富的实例，通过教师举例引导，随即启发学生联系既有经验，主 动找寻实际生活中所存在的既有大小又有方向的量，让学生充分感知生活中的确存在这样 的“量”，从而提炼出“向量”的概念。让学生充分经历概念的形成过程，让学生体会到 我们所获得的新的数学研究对象向量，是水到渠成的，让学生感受到获得数学研究对 象的基本方法。 2、向量的表示方法； 接触到一个全新的“量”，自然而然会想到用合情合理的方式对其表示。通过引导学 生从向量的两个要素出发，启发学生联想到物理学中表示力的方式，逐步引导学生借助有 向线段来表示向量，并进一步启发学生，用类比的思想，将对线段（直线）的表示方法做 合理改进之后，迁移到对向量的表示。将“用绝对值表示距离”类比到“对向量的模的表 示”。此处反复渗透向量的两个要素，尤其是体现出方向是向量的本质属性之一。 3、特殊向量：零向量，单位向量； 当我们建立起了一个向量的集合之后，自然会想到向量这个“大家庭”里非常特殊的 “成员”，此处，继续用类比的思想，联系的观点，启发学生回忆在学习实数时，0 与 1 的特殊性，从而启发学生去发现长度为零的向量（零向量），长度为 1 的向量（单位向量） 是特殊的，并进一步引导，让学生主动认识这两个特殊向量是从“模”的角度体现其特殊， 至于方向，启发学生之间互相争论，抓住向量本质属性，得出其方向的任意性（并非没有 方向） 4、相等向量的概念；平行向量（共线向量）的概念 教师通过出示已经准备好的含有多个向量的 PPT，让学生主动探求向量之间的特殊位 置关系，仍然用类比的思想、联系的观点，启发学生去得出平行向量、相等向量、共线向 量的概念。 二、教学目标 （一）知识和能力： 第 2 页 （1）理解向量的概念； （2）掌握向量的表示方法：几何表示、字母表示； （3）理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量； （4）理解特殊的向量：零向量、单位向量； （5）在学习的过程中，学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力 都能得到一定程度培养和提高。 （二）过程与方法： 学生经历向量学习的过程，能体会出向量来自于客观现实； 能体会到研究一个新的量的基本套路、能体会认识数学新对象的基本方法。 学生经历向量概念、表示，特殊向量的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学 探究中常用的手段。 （三）情感、态度与价值观： 学生经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美。 在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能力。 三、学生学情分析 学生已经具备的认知基础及达成教学目标所需要具备的认知基础： （1）在物理学中，已经知道重力、弹力、摩擦力等是既有大小又有方向的物理量（矢量）； （2）知道可以借助有向线段来求作力的图示； （3）对实数的形成过程有一定了解； （4）能够对实际生活中的一些常见的量作是否具有大小、方向的识别； （5）在以前的学习中，对类比的思想有所了解。 但是，由于学生处于高一年级，在思维辨析方面，总体情况不是很好。所以在分辨对 向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。 虽然学生具备以上的认知基础，但对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、 零向量、相等向量、共线向量等概念，仍然需要做策略性引导，主要策略是： （1）通过大量实例引导、启发学生联系既有生活经验，从众多实例中归纳抽象出“向量” 这一概念及其所具备的两个要素。 第 3 页 （2）通过类比的思想、联系的观点，引导学生从认识实数中特殊的 0，结合向量的两个要 素来理解零向量。 （3）通过类比的思想，引导学生从数的相等，结合向量的本质属性，启发学生突破相等向 量、共线向量的概念。 四、教学策略分析 教学方法：启导式教学、讨论式教学、多媒体辅助教学 教学方法的分析： 一方面，学生在物理学中已经具备了一些感性经验（既有大小又有方向的量），在生 活实际中亦大量存在既有大小又有方向的量。另一方面，向量作为一个全新的概念，需要 大量实例的引导、铺垫来抽象出这个概念。故可以采取启发、引导式教学，让学生从生活 实例中抽象、提炼出向量的概念。 在讲解向量的表示方法、认识特殊的向量、相等向量、共线向量等概念时，可以借助 曾经学习过的绝对值、实数中的特殊元素 0 或 1、两条直线的位置关系等，用类比的思想 来研究向量。从这一点出发，同样需要用到启导式教学，讨论式教学来启发学生突破难点， 让学生之间互相讨论来突破难点。 在学习了相关概念之后，可以借助多媒体出示相关概念辨析题目，从而立即获取学生 学习效果的反馈。 五、教学过程 1.情景引入 结合 PPT，展示三个情景（1、与世界男子 100 米冠军博尔特“赛跑”；2、猫能抓到 老鼠吗；3、两车同样的速度（大小）和时间，为什么前后两种情景，两车距离悬殊这么大） ，教师提问、追问，学生思考、齐答的方式，让学生发现并讲出现实生活中存在着既有大 小又有方向的量。（让学生感受“既有大小又有方向的量”客观存在） 教师继续追问：“你能再举出类似既有大小又有方向的量吗？”（激活学生已有的相 关经验） 教师再次追问：“那你能举出只有大小没有方向的量吗？”（形成区别、对比不同的 量的必要性） 第 4 页 教师引入课题：像刚才同学们提到的如：位移、速度、力等既有大小又有方向的量在生活 中大量存在，类似于以前我们从一支笔、一本书、一张桌子、一个板凳抽象出了只有 大小的数量 1，数学中对以上既有大小又有方向的量进行抽象，就形成了一种新的量 向量【板书：1.概念： 大小 方向】 2.向量的表示 师：从向量的概念可以看出，它不同于我们之前学习研究的“数”。数只有大小，没 有方向。我们研究一个数学知识，认识概念之后，为进一步研究的方便，通常要先表示它， 向量也如此。结合已有的经验，你打算怎样形象的表示向量呢？（停顿片刻，若学生没有 思路，则进行启发引导） 师：见过这种既有大小，又有方向的量吗？我们是怎么表示力（位移）的大小和方向 的？ 生：讨论（让学生充分的讨论） 师：（请学生在黑板上画出图形）讲一讲你的想法？ 生 1：可以用箭头的指向表示方向，用它的长度表示大小。 生 2： 生 3： （教师适时引导启发，坚持让学生亲自得出向量的表示方法以及表示的合理性） 师：用准确的语言对向量的表示做准确的描述并加以强调 【板书：2.表示】刚才部分同学的想法和英国大科学家牛顿的想法不谋而合，牛顿是 第一个用有向线段表示向量的人。这是向量的“形”的表示方式，为了更简洁的表达，我 们也可用符号语言表示，有向线段有起点【板书：A】、终点【板书：B】、有箭头表示方 向。就用（在 AB 上面加上一个箭头，以区别于线段 AB）来表示这个向量。【板书：AB 】注意，起点在前，终点在后。更简洁的，也可用表示（同样在 a 的上面加上箭头） AB a ，写成。【板书：】。其中，大小用或者表示【板书：或】，向量的a a AB a AB a 大小也称为向量的长度或者模【板书：长度（模）】。 教师追问：向量 AB 与向量 BA 是一回事儿吗？（启发学生时刻注意向量的方向性，通 过类比线段的表示方法，结合向量的特殊性，从而加深对向量概念的进一步理解） 第 5 页 3.零向量与单位向量 师：现在我们会表示向量了，我们可以更直观的研究它，我们自然的可以想到先从特 殊入手，那么，在向量这个集合中，你认为哪些向量特殊呢？ 生：讨论 师：根据向量的概念，既有大小，又有方向，我们不妨先从大小考虑其特殊性。 师：什么才是“特殊”？你认为哪些向量的长度是最特殊的？（引导学生类比实数集 合中的特殊元素 0，从而想到长度为 0 的向量） 生：长度为 0 的向量，（反复引导学生，让学生亲自得出零向量的模为 0，方向 为任意方向） 师：强调零向量作为向量，同样需要具备两个要素（大小、方向），那么，还有特殊 的向量吗？（与前面类似，启发学生通过类比的方法，发现单位向量） 【板书：3.特殊向量 零向量： 0（写在大小的下方）；任意方向（写在方向的下方）0 】 【单位向量： 1（写在大小的下方）。】 师：有了单位长度的刻画，我们才有度量向量大小的标准。请看图形 师：指出图中各向量的模，也就是长度。 生：（学生练习）口答。 师：其中有没有单位向量，有几个？ 生：有，两个。 4.特殊位置关系 师：从方向上看，图形中，向量与向量之间形成了怎样的特殊关系？观察一下。 生：平行 师：哪些向量是平行的？你可以给两个向量平行下一个定义吗？ 生： 师：可不可以借助向量概念中的大小、方向对平行进行描述？ 生：方向相同或相反的向量。（教师启发，由学生归纳出平行向量的定义） 【板书：平行向量：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量平行】（阐释规定0 是合乎情理的） 第 6 页 师：两个向量平行是从方向上对向量关系的刻画，与他们大小有关吗？（适时提醒和 加深对向量概念的认识） 生：没有。 师：在这一组平行向量中，有没有更特殊的？ 生： 师：理由是 生：两个向量方向相同，长度也相等。 师：我们称这样的两个向量为相等向量 【板书：相等向量 长度相等 方向相同】 师：两个向量是否相等，取决于 生：大小、方向。（进一步加深对向量概念的熟悉） 师：与他们的位置有关吗？ 生：无关。 师：说明任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线 段的起点无关。（手指图形） 师：如果任作一条与向量所在直线平行的直线 l，并在 l 上任取一点 O，以 O 为起点a 作有向线段，使其等于向量，可行吗？OPa 生：可行。 师：理由是 生：只要保证大小相等，方向相同。 师：相当于将向量平移到 OP 的位置。同理，我们也可以把向量平移到直线 l 上。这时a b 候，直线 l 上的两个向量形成了什么关系？ 生：共线向量。 师：还是平行向量吗？ 生：（通过引导，让学生体会并讲出共线向量与平行向量是一回事儿） 5.例题巩固概念（略） 6.总结+结束语 第 7 页 师：启发学生从所学到的知识（知识层面）的角度对本堂课做总结 生 1： 生 2： 师：这节课我们通过对现实世界中的一种量既有大小，又有方向的量（向量）进 行了数学的归纳、抽象和定义。并围绕着这个基本概念，探究了他的表示及特殊向量 零向量、单位向量，特殊关系平行（共线）、相等。实际上，今天我们不仅仅是在探 究向量体系的基础，也经历了建立一个数学知识体系的过程，即“归纳共性抽象定义 形象表示认识特殊研究一般” 师：继续启发同学们用类比的思想、联系的观点，来预见以后可以从哪些角度研究向 量？ 生 1： 生 2：（教师适时给予鼓励引导） 结束语：下课的铃声阻止我们本堂课的学习，但无法阻止我们继续探索向量的热情2.1 平面向量的实际背景及基本概念 普通高中课程标准实验教科书 人民教育出版社 必修 第四册 情境情境1归纳共性归纳共性 去哪儿了去哪儿了 ? 嘻嘻嘻嘻!大笨大笨 猫猫! A B 老鼠由老鼠由A向东北方向以每秒向东北方向以每秒 1米的速度逃窜米的速度逃窜， 猫由猫由B向正东方向以每秒向正东方向以每秒5 米的速度追赶米的速度追赶。 猫能抓到老鼠吗？为什么？猫能抓到老鼠吗？为什么？ 情境情境2归纳共性归纳共性 情境情境3归纳共性归纳共性 甲、乙两车分别以甲、乙两车分别以40千米千米/时、时、60千米千米/时时 的速度从同一地点出发；的速度从同一地点出发； （1）甲、乙两车都向东行驶，）甲、乙两车都向东行驶，1小时后，小时后， 它们相距它们相距 千米；千米； （2）甲车向东、乙车向西，）甲车向东、乙车向西，1小时后，小时后， 它们相距它们相距 千米。千米。 20 100 抽象定义抽象定义 向量：既有大小又有方向的量向量：既有大小又有方向的量 数数形形 形象表示形象表示 思考：如何表示向量？ 认识特殊（大小）认识特殊（大小） 特殊的向量（大小）特殊的向量（大小） 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 指出图中各向量的长度（模） AB CD EF G 1 H N M 相等向量：大小相等，方向相同的两个向量. 规定：零向量与任一向量平行. （共线向量 ） 平行向量 AB C D EF l O Q P ：方向相同或相反的非零向量. 认识特殊（方向）认识特殊（方向） （3）与向量）与向量 模相等的有：模相等的有： AB C D E F O 如图，如图，O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，则的中心，则 ： （1）与向量）与向量 相等的有相等的有 ： （2）与向量）与向量 平行的有平行的有 ： （ 与与 相等吗？相等吗？ ） 下面的说法正确吗？ 平面上，所有的单位向量都相等. 若 , , 则 . （不正确） （正确） 若 ， , 则 . 对向量 ，若 ，则 . （正确） （不正确） 辨析升华辨析升华 表示方法 几何表示 字母表示 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 向量的概念 特殊关系 特殊对象 大小、方向 抽象定义抽象定义形象表示形象表示 认识特殊认识特殊研究一般研究一般 归纳共性归纳共性