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一元二次方程(知识点+考点+题型总结)精编版.doc

1、一元二次方程专题复习考点一、概念(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式: 难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”:该项系数不为“0”;未知数指数为“2”;若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A B C D 变式:当k 时,关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程,则m的值为 。针对练习:1、方程的一次项系数是 ,常数项是 。2、若方程是关于x的一元一次方程,求m的值;写出关于x的一元一次方程。3、若方程是关于x的

2、一元二次方程,则m的取值范围是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( )A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题:例1、已知的值为2,则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0,则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足,则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根,是方程的两个根,则m的值为 。针对练习:1、已知方程的一根是2,则k为 ,另一根是 。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值;

3、 方程的另一个解。3、已知m是方程的一个根,则代数式 。4、已知是的根,则 。5、方程的一个根为( )A B 1 C D 6、若 。考点三、解法方法:直接开方法;因式分解法;配方法;公式法关键点:降次类型一、直接开方法:对于,等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程: =0; 例2、若,则x的值为 。针对练习:下列方程无解的是( )A. B. C. D.类型二、因式分解法:方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式:如, ,典型例题:例1、的根为( )A B C D 例2、若,则4x+y的值为 。变式1: 。变式2:若,则x+y的值为 。变式3:若,则x+y的值为 。

4、例3、方程的解为( )A. B. C. D.例4、解方程: 例5、已知,则的值为 。变式:已知,且,则的值为 。针对练习:1、下列说法中:方程的二根为,则 . 方程可变形为正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、以与为根的一元二次方程是()A B C D3、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数: 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为相反数: 4、若实数x、y满足,则x+y的值为( )A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程:的解是 。6、已知,且,求的值。7、方程的较大根为r,方程的较小根为s,则s-r的值为 。类

5、型三、配方法在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数,求代数式的最小值。例3、 已知为实数,求的值。例4、 分解因式:针对练习:1、试用配方法说明的值恒小于0。2、已知,则 .3、若,则t的最大值为 ,最小值为 。4、如果,那么的值为 。类型四、公式法条件:公式: ,典型例题:例1、选择适当方法解下列方程: 例2、在实数范围内分解因式:(1); (2). 说明:对于二次三项式的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0,求出两根,再写成=.分解结果是否把二

6、次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值; 解二元二次方程组。典型例题:例1、 已知,求代数式的值。例2、如果,那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。例4、用两种不同的方法解方程组说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:先消元,再降次;先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用:定根的个数;求待定系数的值;应用于其它。典型例题:例1、若关于的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是( )A.

7、B. C. D.例3、已知关于x的方程(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式,试求的值.例5、为何值时,方程组有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?针对练习:1、当k 时,关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时,多项式是一个完全平方式?这个完全平方式是什么?3、已知方程有两个不相等的实数根,则m的值是 .4、为何值时,方程组(1)有两组相等的实数解,并求此解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解. 5、当取何值时,方程的根与均为有理数?考点五、方程类问题中的“

8、分类讨论”典型例题:例1、关于x的方程有两个实数根,则m为 ,只有一个根,则m为 。 例2、 不解方程,判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根,问这两方程是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题;“利率”问题;“几何”问题;“最值”型问题;“图表”类问题典型例题:1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功,促进了一批产业的迅速发展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场,根据计划,第

9、一年投入资金600万元,第二年比第一年减少,第三年比第二年减少,该产品第一年收入资金约400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回,还要盈利,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到0.1,)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?5、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的

10、长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少?6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后,甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提:对于而言,当满足、时,才能用韦达定理。主要内容:应用:整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根,则这个直角三角形的斜边是( ) A. B.3 C.6 D.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时,小明因看错常数项,而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少?例4、已知,求 变式:若,则的值为 。例5、已知是方程的两个根,那么 .针对练习:1、解方程组2已知,求的值。3、已知是方程的两实数根,求的值。

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