1、 专题八 函数综合题 类型一 一次函数与反比例函数综合题 (20192019粤西联考)已知，如图，一次函数 ykxb(k，b 为常数，k0) 的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数yn x(n为常数且n0) 的图象在第二象限交于点 C，CDx 轴，垂足为 D，若 OB2OA3OD6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kxbn x的解集 【分析】 (1)先求出 A，B，C 坐标，再利用待定系数法确定函数表达式 (2)两个函数的表达式作为方程组，解方程组即可解决问题 (3)根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即
2、可解决问题，注意等 号 【自主解答】 1 1(20192019中山模拟)如图，点 A(1，m)是双曲线 y1k x与直线 y 2x(k 1)在第二象限的交点，另一个交点 C 在第四象限，ABx 轴于 B，且 cosAOB 10 10 . (1)求 m 的值； (2)求AOC 的面积； (3)直接写出使 y1y2成立的 x 的取值范围 2 2如图，直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4，0)，与 y 轴交于点 B，且与反比例 函数 ym x(x1.若PAM 与DD1A 相似， 都是直角三角形， 必有一锐角相等 (i)若PAMDAD1，则点 P，A，D 共线， 而直线 AD 与抛物线只有两个交点
3、A，D， 这种情况不存在点 P，使得PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA，则 PM AD1 AM DD1， 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 4 m1 2 3 ， m1 或 m5 3，均不满足 m1， 当点 P 在点 A 右侧时，不存在点 P，使得PAM 与DD1A 相似 .如图，当点 P 在点 A 和点 B 之间，则7m1. (i)若PAMDAD1，则 AD 与 AP 重合，此时不存在点 P，使得PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA，则 PM AD1 AM DD1， （ 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 ） 4 1m 2 3 ， m1(不合题意，舍去)
4、或 m5 3， 当 m5 3时，PAM 与DD 1A 相似 .如图，当点 P 在点 B 左侧时，则 m7. (i)若PAMDAD1，则 PM DD1 AM AD1， 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 2 3 1m 4 ， m1(不合题意，舍去)或 m11， 当 m11 时，PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA，则 PM AD1 AM DD1， 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 4 1m 2 3 ， m1(不合题意，舍去)或 m37 3 ， 当 m37 3 时，PAM 与DD1A 相似 综上所述，点 P 的横坐标为5 3，11， 37 3 . 一共存在三个点 P，使得P
5、AM 与DD1A 相似 跟踪训练 6解：(1)将 C(0，8)代入 yax 2bxc 得 c8. 将点 A(2，0)和 B(4，0)代入 yax 2bx8 得 4a2b80， 16a4b80， 解得 a1， b2， 抛物线的表达式为 yx 22x8. (2)A(2，0)，C(0，8)，OA2，OC8. lx 轴，PEAAOC90， PAECAO， 只有当PAEACO 时，PEAAOC， 此时AE CO PE AO，即 AE 8 PE 2 ，AE4PE. 设点 P 的纵坐标为 k，则 PEk，AE4k， OE4k2， P 点的坐标为(4k2，k) 将 P(4k2，k)代入 yx 22x8 得 (
6、4k2) 22(4k2)8k， 解得 k10(舍去)，k223 16. 当 k23 16时，4k24 23 162 15 4 ， P 点的坐标为(15 4 ，23 16) (3)在 RtPFD 中，PFDCOB90. ly 轴，PDFOCB， RtPFDRtBOC， S PFD SBOC( PD BC) 2，S PFD(PD BC) 2S BOC. 由 B(4，0)知，OB4. 又 OC8，BC OB 2OC2 42824 5. 又 SBOC1 2OBOC 1 24816， SPFD PD 2 （4 5） 216 1 5PD 2， 当 PD 最大时，SPFD最大 由 B(4，0)，C(0，8)可得 BC 所在直线的表达式为 y2x8. 设 P(m，m 22m8)，则 D(m，2m8)， PDm 22m8(2m8)m24m(m2)24. 当 m2 时，PD 有最大值 4， 当 PD4 时，SPFD 最大1 54 216 5 .
