1、 专题八 函数综合题 类型一 一次函数与反比例函数综合题 (20192019粤西联考)已知,如图,一次函数 ykxb(k,b 为常数,k0) 的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数yn x(n为常数且n0) 的图象在第二象限交于点 C,CDx 轴,垂足为 D,若 OB2OA3OD6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)求两函数图象的另一个交点坐标; (3)直接写出不等式:kxbn x的解集 【分析】 (1)先求出 A,B,C 坐标,再利用待定系数法确定函数表达式 (2)两个函数的表达式作为方程组,解方程组即可解决问题 (3)根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即
2、可解决问题,注意等 号 【自主解答】 1 1(20192019中山模拟)如图,点 A(1,m)是双曲线 y1k x与直线 y 2x(k 1)在第二象限的交点,另一个交点 C 在第四象限,ABx 轴于 B,且 cosAOB 10 10 . (1)求 m 的值; (2)求AOC 的面积; (3)直接写出使 y1y2成立的 x 的取值范围 2 2如图,直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4,0),与 y 轴交于点 B,且与反比例 函数 ym x(x1.若PAM 与DD1A 相似, 都是直角三角形, 必有一锐角相等 (i)若PAMDAD1,则点 P,A,D 共线, 而直线 AD 与抛物线只有两个交点
3、A,D, 这种情况不存在点 P,使得PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA,则 PM AD1 AM DD1, 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 4 m1 2 3 , m1 或 m5 3,均不满足 m1, 当点 P 在点 A 右侧时,不存在点 P,使得PAM 与DD1A 相似 .如图,当点 P 在点 A 和点 B 之间,则7m1. (i)若PAMDAD1,则 AD 与 AP 重合,此时不存在点 P,使得PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA,则 PM AD1 AM DD1, ( 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 ) 4 1m 2 3 , m1(不合题意,舍去)
4、或 m5 3, 当 m5 3时,PAM 与DD 1A 相似 .如图,当点 P 在点 B 左侧时,则 m7. (i)若PAMDAD1,则 PM DD1 AM AD1, 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 2 3 1m 4 , m1(不合题意,舍去)或 m11, 当 m11 时,PAM 与DD1A 相似 (ii)若PAMD1DA,则 PM AD1 AM DD1, 3 8 m 23 3 4 m7 3 8 4 1m 2 3 , m1(不合题意,舍去)或 m37 3 , 当 m37 3 时,PAM 与DD1A 相似 综上所述,点 P 的横坐标为5 3,11, 37 3 . 一共存在三个点 P,使得P
5、AM 与DD1A 相似 跟踪训练 6解:(1)将 C(0,8)代入 yax 2bxc 得 c8. 将点 A(2,0)和 B(4,0)代入 yax 2bx8 得 4a2b80, 16a4b80, 解得 a1, b2, 抛物线的表达式为 yx 22x8. (2)A(2,0),C(0,8),OA2,OC8. lx 轴,PEAAOC90, PAECAO, 只有当PAEACO 时,PEAAOC, 此时AE CO PE AO,即 AE 8 PE 2 ,AE4PE. 设点 P 的纵坐标为 k,则 PEk,AE4k, OE4k2, P 点的坐标为(4k2,k) 将 P(4k2,k)代入 yx 22x8 得 (
6、4k2) 22(4k2)8k, 解得 k10(舍去),k223 16. 当 k23 16时,4k24 23 162 15 4 , P 点的坐标为(15 4 ,23 16) (3)在 RtPFD 中,PFDCOB90. ly 轴,PDFOCB, RtPFDRtBOC, S PFD SBOC( PD BC) 2,S PFD(PD BC) 2S BOC. 由 B(4,0)知,OB4. 又 OC8,BC OB 2OC2 42824 5. 又 SBOC1 2OBOC 1 24816, SPFD PD 2 (4 5) 216 1 5PD 2, 当 PD 最大时,SPFD最大 由 B(4,0),C(0,8)可得 BC 所在直线的表达式为 y2x8. 设 P(m,m 22m8),则 D(m,2m8), PDm 22m8(2m8)m24m(m2)24. 当 m2 时,PD 有最大值 4, 当 PD4 时,SPFD 最大1 54 216 5 .